Una transformada de Laplace inversa de $F(s)$, designada por $\mathcal {L}^{\textbf - 1} \{ F(s)\}$ es otra función $f(t)$ que tiene la propiedad de que $\mathcal {L}\{f(t) \} = F(s)$.
La técnica más simple para identificar las transformadas inversas de Laplace, consiste en reconocerlas, ya sea de memoria o bien con una tabla como las mostradas en la tabla 1.
Si $F(s)$ no está en una forma que se pueda identificar, entonces se puede transformar mediante una manipulación algebraica.
Tabla 1. Transformadas de Laplace
Algunas transformadas inversas inversas que se pueden resolver sin problema son las siguientes:
EJEMPLO 1
Evalúa las transformadas inversas de las funcionesa) $F(s) = \frac{A}{s}$
b) $F(s) = \frac{s}{s^2 - 4}$
c) $F(s) = \frac{1}{s^2 + \sqrt{24}}$
d) $F(s) = \frac{1}{s^4}$
e) $F(s) = \frac{1}{s^2 - 1 } - \frac{5}{s^5}$
f) $F(s) = \frac{2s + 4}{s^2 + 3}$
SOLUCIÓN 1
a) Lo que tenemos que hacer es poner nuestra función $F(s)$ de la misma manera que alguna de las $F(s)$ de la tabla 1 y su transformada inversa es la $f(t)$ asociada. así que;
$$f(t) = \mathcal {L}^{ \textbf - 1}\{ F(s)\} = \mathcal{L}^{ \textbf - 1} \Big\{ \frac{A}{s} \Big\} = A$$
b) En esta no hay ningún problema ya que solo se pone en el mismo formato de alguna de la Tabla 1 y listo.$$f(t) = \mathcal{L}^{\textbf - 1} \Bigg \{ \frac{s}{s^2 - 4} \Bigg \} = \mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg\{ \frac{s}{s^2 - 2^2} \Bigg\}$$
Y ya puesta en un formato parecido a alguno de la Tabla 1 seleccionas su $f(t)$ que, es el del coseno hiperbólico: $cosh(\omega t)$, donde $\omega = 2$, así que
$$ \boxed{ \qquad \color {blue}{ f(t) = cosh(2 t) } \qquad }$$
c) En este caso paso lo mismo, hay que poner $F(s)$ en un formato adecuado y como necesitamos un cuadrado en lugar de $\sqrt{24}$ así que usando nuestros conocimientos avanzados que tenemos sobre exponentes pondremos esa raíz como un cuadrado de la siguiente manera: $\sqrt{24} = 24^{1/2} = \big( 24^{1/4}\big)^2$Así que con eso, nuestra $F(s)$ queda como
$$f(t) = \mathcal{L}^{ \textbf - 1}\{F(s)\} = \mathcal {L}^{ \textbf - 1}\bigg\{ \frac{1}{s^2 + \big( 24^{1/4} \big)^2}\bigg\}$$
Esta corresponde a un $sen(\omega t)$ pero falta en el numerador el $\omega = 24^{1/4}$ por lo que hay que completar
$$f(t) = \frac{1}{24^{1/4}} \mathcal{L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{24^{1/4}}{s^2 + \big( 24^{1/4} \big)^2}\bigg\} = \frac{1}{24^{1/4}} sen(24^{1/4} t)$$
$$\boxed{\qquad \color {blue}{ f(t) = \frac{1}{24^{1/4}} sen(24^{1/4} t)} \qquad }$$
$$\boxed{ \qquad \color {blue} { f(t) = \frac{1}{3!} \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{3!}{s^{3 + 1} }\bigg\} = t^3 } \qquad }$$
e) Aquí, lo que hay que hacer es simplemente, separar la función en dos monomios y proceder a sacar su transformada inversa.
$$f(t) = \mathcal {L}^{\textbf - 1}\{ F(s) \} = \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{1}{s^2 - 1} - \frac{5}{s^5} \bigg\} = \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{1}{s^2 - 1^2} \bigg\} - \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{5}{s^5}\bigg\}$$
$$f(t) = \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{1}{s^2 - 1^2} \bigg\} - 5\frac{1}{4!} \mathcal {L}^{\textbf - 1} \bigg\{ \frac{4!}{s^5}\bigg\} $$$$\boxed{\qquad \color {blue} {f(t) = senh(t) - \frac{5}{24} t^4 } \qquad }$$
f) Aquí lo que haremos es dividir un polinomio entre otro y luego buscar un formato similar al de la Tabla 1.
$$f(t) = \mathcal {L}^{\textbf - 1}\{F(s) \} = \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{2s + 4}{s^2 + 3} \bigg\} = \mathcal {L}^{\textbf - 1} \bigg \{ \frac{2s}{s ^2 + 3} \bigg\} + \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{4}{s^2 + 3} \bigg\} $$
$$ = 2 \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac {s}{s^2 + (\sqrt{3})^2} \bigg\} + \frac{4}{\sqrt{3}} \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{\sqrt{3}}{s^2 + (\sqrt{3})^2} \bigg\}$$
$$\boxed{ \qquad \color {blue} { f(t) = 2 cos(\sqrt{3} t) + \frac{4}{\sqrt{3}} sen (\sqrt{3} t) } \qquad }$$
Por supuesto que resolver una transformada de Laplace inversa no siempre es así de sencillo. Me imagino que en los ejemplos anteriores se sintieron como si fueran parte de Plaza Sésamo pero vamos a empezar a ver lo bueno.
FUNCIONES RACIONALES
Frecuentemente nos encontramos transformadas del tipo racional, esto es, que contienen fracciones del tipo:
$$F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} \qquad\qquad \qquad \qquad (1)$$
Donde $P(s)$ y $Q(s) \neq 0$ son polinomios sin factores comunes. Así que, para encontrar $\mathcal {L}^{\textbf - 1} {F(s)}$ debemos hallar primero el desarrollo en fracciones parciales de $F(s)$.
EJEMPLO 2
Encuentra $f(t)$ si $F(s) = \frac{3s + 2}{(s^2 + 4)(s^2 + 9)}$SOLUCIÓN 2
A simple vista, encontrar la transformada de Laplace inversa parece ser directa, pero, nada mas apartado de la realidad. Tenemos que separar de alguna manera los factores entre paréntesis del denominado y eso lo haremos usando la técnica de fracciones parciales.
$$F(s) = \frac{3s + 2}{(s^2 + 4)(s^2 + 9)} = \frac{As + B}{s^2 + 4} + \frac{Cs + D}{s^2 + 9} = \frac{(As + B)(s^2 + 9) + (Cs + D)(s^2 + 4)}{(s^2 + 4)(s^2 + 9)}$$
Recuerden que el grado del polinomio (o monomio, cualquiera que sea el caso) del denominador es el que da la pauta a lo que se debe de poner en el numerador.
Por ejemplo, si en el denominador tuviéramos $(3s + 2)$, en el numerador pondríamos $A$; Si tuviéramos $(s^2 + 4)$ en su numerador pondríamos $(As + B)$; y en general, si en el denominador tuviéramos $(5s^n + 8)$ o cualquier polinomio de grado $n$, en su numerador pondríamos: $(As^{n - 1} + Bs^{n - 2} + ..... + Rs + T)$ donde A, B, .... T son constantes.
Aclarado lo anterior, continuamos
$$F(s) = \frac{As^3 + Bs^2 + 9As + 9B + Cs^3 + Ds^2 + 4Cs + 4D}{(s^2 + 4)(s^2 + 9)} =$$
$$ =\frac{(A + C) s^3 + (B + D) s^2 + (9A + 4C) s + (9B + 4D)}{(s^2 + 4)(s^2 + 9)} = \frac{3s + 2}{(s^2 + 4)(s^2 + 9)}$$
Para que esta dos fracciones sean iguales es necesario que
$A + C = 0$
$B + D = 0$
$9A + 4C = 3$ y
$9B + 4D = 2$
Eso es así, recuerden que de las dos fracciones esas, para que sean iguales es necesario igualar los numeradores. Esto equivale a igualar los coeficientes de las $s$ de lado izquierdo y lado derecho.
Resolviendo el sistema de ecuaciones tendremos que $A = \frac{3}{5}$, $B = \frac{2}{5}$, $C = - \frac{3}{5}$ y $D = - \frac{2}{5}$ así que:
$$F(s) = \frac{3s + 2}{s^2 + 4)(s^2 + 9 )} = \frac{\frac{3}{5}s + \frac{2}{5}}{s^2 + 4} + \frac{- \frac{3}{5} s - \frac{2}{5}}{s^2 + 9} = \frac{1}{5} \bigg[ \frac{3s + 2}{s^2 + 2^2} - \frac{3s + 2}{s^2 + 3 ^2}\bigg] $$
Ahora hay que encontrar las transformada inversa de la nueva expresión:
$$f(t) = \mathcal {L}^{\textbf - 1}\{ F(s) \} = \frac{1}{5} \mathcal {L}^{\textbf - 1} \bigg\{ \frac{3s + 2}{s^2 + 2^2} - \mathcal {L}^{\textbf - 1} \frac{3s + 2}{s^2 + 3^2}\bigg\} = $$
$$= \frac{3}{5} \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{s}{s^2 + 2^2}\bigg\} + \frac{2}{5}\mathcal {L}^{\textbf - 1} \bigg\{ \frac{1}{s^2 + 2^2}\bigg\} - \frac{3}{5} \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{s}{s^2 + 3^2}\bigg\} - \frac{2}{5} \mathcal {L}^{\textbf - 1} \bigg\{ \frac{1}{s^2 + 3^2}\bigg\} =$$
Ya casi están en el formato necesario, solo a los términos dos y cuatro les hace falta cambiar ese 1 (uno) por un 2 y un 3 respectivamente, esto es, lo que decimos en cálculo: completar la integral, aquí sería completar la transformada. por lo que, ahora tendremos:
$$= \frac{3}{5} \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{s}{s^2 + 2^2}\bigg\} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} \mathcal {L}^{\textbf - 1} \bigg\{ \frac{2}{s^2 + 2^2}\bigg\} - \frac{3}{5} \mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{s}{s^2 + 3^2}\bigg\} - \frac{2}{5} \frac{1}{3}\bigg\{ \frac{3}{s^2 + 3^2}\bigg\}$$Y ya tenemos completa la transformada y su solución es:
$$\boxed { \qquad \color {blue} {f(t) = \frac{3}{5} cos(2t) + \frac{1}{5} sen(2t) - \frac{3}{5} cos(3t) - \frac{2}{15} sen(3t) } \qquad }$$
Por supuesto que este es uno de los tantos problemas que involucran a las fracciones parciales. Para hacer un poco más llevadera la solución de la transformada, introduciremos un método que nos será de mucha utilidad.
TEOREMA DE HEAVISIDE Supongamos que tenemos la relación:
$$F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{P(s)}{(s - s_{1})(s - s_{2}) ..... (s - s_{n})} \qquad \qquad (2)$$
donde $s_{1}. s_{2}, ... , s_{n}$ son distintos y $P(s)$ es un polinomio de grado menor que $n$. Entonces, $F(s)$ se puede desarrollar en fracciones parciales
$$F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{A_{1}}{s - s_{1}} + \frac{A_{2}}{s - s_{2}} ..... \frac{A_{n}}{s - s_{n}} \qquad \qquad (3)$$
Donde cualquiera de los coeficientes $A_{1}, A_{2}, ..... , A_{n}$ se puede evaluar multiplicando por el denominador de dicho coeficiente e igualando a $s_{j}\,\,\,\,(j = 1, 2, 3, ...., n)$ el valor de la raíz del denominador.
Expresado esto en una formula matemática:
$$A_{j} = \bigg[ (s - s_{j}) \frac{P(s)}{Q(s)}\bigg]_{s = s_{j}}$$
Parafraseando lo anterior en palabras de los mortales, es simplemente, tomar la expresión original y desarrollarla en fracciones parciales como se muestra:
$$F(s) = \frac{P(s)}{(s - s_{1})(s - s_{2}) ... (s - s_{n})} = \frac{A_1}{s - s_1} + \frac{A_2}{s - s_2} ..... \frac{A_n}{s - s_n}$$
Posteriormente, para encontrar cada uno de los coeficientes del desarrollo en fraciones parciales, vamos a tomar uno por uno de los denominadores del desarrollo en fracciones parciales y se multiplica por la expresión original y el resultado se evalúa en la raíz de ese denominador, esto es, si el denominador fue $s - s_{j}$, este se iguala a sero y se obtiene el valor o la raíz de: $s - s_{j} = 0$ o lo que es lo mismo $s = s_{j}$
Veamos un ejemplo para entender mejor esto.
EJEMPLO 3
Descomponer en fracciones parciales la expresión:
$$F(s) = \frac{s^2 + 4s - 1}{(s - 1)(s - 2)(s + 3)}$$
SOLUCIÓN 3
Lo primero que hacemos es hacer el desarrollo de fracciones parciales
$$F(s) = \frac{s^2 + 4s - 1}{(s - 1)(s - 2)(s + 3)} = \frac{A_{1}}{s - 1} + \frac{A_{2}}{s - 2} + \frac{A_{3}}{s + 3}$$
Para obtener $A_{1}$, tomamos el denominador del primer término y se multiplica por la expresión original y se evalúa en su raíz, esto es en $s - 1 = 0$ o $s = 1$
$$A_{1} = (s - 1)\frac{s^2 + 4s - 1}{(s - 1)(s - 2)(s + 3)}\Bigg|_{s = 1}$$
O lo que es equivalente a:
$$A_{1} = \frac{s^2 + 4s - 1}{(s - 2)(s + 3)}\Bigg|_{s = 1}$$
La expresión original menos el denominador de el coeficiente que se va a determinar.
Bien, procedamos a encontrar las $A_{j}$
$$A_{1} = \frac{s^2 + 4s - 1}{(s - 2)(s + 3)}\Bigg|_{s\, = \,1} = \frac{(1)^1 + 4(1) - 1}{(1 - 2)(1 + 3} = \frac{4}{(-1)(4)} = -1$$
$$A_{2} = \frac{s^2 + 4s - 1}{(s - 1)(s + 3)}\Bigg|_{s \,= \,2} = \frac{(2)^2 + 4(2) - 1}{(2 - 1)(2 + 3} = \frac{11}{(1)(5)} = \frac{11}{5}$$
$$A_{3} = \frac{s^2 + 4s - 1}{(s - 1)(s - 2)}\Bigg|_{s \,= \, -3} = \frac{(3)^2 + 4(-3) - 1}{(-3 - 1)(-3 - 2)} = \frac{-4}{(-4)(-5)} = - \frac{1}{5}$$
Así que, nuestra expresión original en términos de un desarrollo parcial quedará como:
$$F(s) = \frac{s^2 + 4s - 1}{(s - 1)(s - 2)(s + 3)} = \frac{-1}{s - 1} + \frac{\frac{11}{5}}{s - 2} + \frac{- \frac{1}{5}}{s + 3}$$$$\boxed { \color {blue} { F(s) = - \frac{1}{s - 1} + \frac{11}{5}\cdot\frac{1}{s - 2} - \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s + 3} } }$$
EJEMPLO 4
Encontrar la función $f(t)$ correspondiente a la transformada de Laplace:
$$F(s) = \frac{s + 1}{s^3 + s^2 - 6s}$$
SOLUCIÓN 4
Como el denominador de la expresión solo contiene un polinomio, procedemos a factorizar:
$$s^3 + s^2 - 6s = s(s ^2 + s - 6) = s(s - 2)(s + 3)$$
Por cuestión de facilitarme el escribir las fórmulas, sustituiré las $A_{j}$ por letras del alfabeto, tomando en cuenta lo siguiente: Estas serán en mayúsculas por cuestión de estandarización. Así que tendremos:
$$F(s) = \frac{s + 1}{s^3 + s^2 - 6s} = \frac{s + 1}{s(s - 2)(s + 3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 2} + \frac{C}{s + 3}$$
Ahora vamos a encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ y $C$
$$A = \frac{s + 1}{(s - 2)(s + 3)}\bigg|_{s \,= \,0} = \frac{1}{(- 2)(3)} = - \frac{1}{6}$$
$$B = \frac{s + 1}{s (s + 3)}\bigg|_{s \,= \,2} = \frac{(2) + 1}{(2)(2 + 3)} = \frac{3}{10}$$
$$C = \frac{s + 1}{s(s - 2)}\bigg|_{s \,= \,-\,3} = \frac{-3 + 1}{(- 3)(-3 - 2)} = - \frac{2}{15}$$como
$$F(s) = \frac{s + 1}{s^3 + s^2 - 6s} = -\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{s} + \frac{3}{10}\cdot\frac{1}{s - 2} - \frac{2}{15}\cdot\frac{1}{s + 3}$$Procedemos a sacar la transformada inversa
$$f(t) = \mathcal {L}^{\textbf - 1}\{F(s) \}=\mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg[ -\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{s} + \frac{3}{10}\cdot\frac{1}{s - 2} - \frac{2}{15}\cdot\frac{1}{s + 3} \bigg]$$
$$f(t) = \mathcal {L}^{\textbf - 1}\{F(s) \}=-\frac{1}{6}\mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{\frac{1}{s}\bigg\} + \frac{3}{10}\mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg \{ \frac{1}{s - 2} \bigg\} - \frac{2}{15}\mathcal {L}^{\textbf - 1}\bigg\{ \frac{1}{s + 3} \bigg\}$$
$$\boxed{ \qquad \color {blue} { f(t) = - \frac{1}{6} + \frac{3}{10}e^{2t} - \frac{2}{5}e^{-3t} } \qquad }$$
EJERCICIOS
1. Evalúa la transformada inversa de:
$$F(s) = \frac{(s + 1)(s - 1)}{s^3}$$
2. Evalúa la transformada inversa de:
$$F(s) = \frac{3}{(s - 7)^4}$$
3. Evalúa la transformada inversa de:
$$F(s) = \frac{s^2 - 1}{(s^2 + 1)^2}$$
4. Evalúa la transformada inversa de:
$$F(s) = \frac{3s + 4}{s^2 - 1}$$
5. Evalúa la transformada inversa de:
$$F(s) = \frac{e^{-3t} (s + 1)}{s^2 + 2s + 2}$$
6. Evalúa la transformada inversa de:
$$F(s) = \frac{e^{-s}}{s^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2}$$
7. Evalúa la transformada inversa de:
$$F(s) = \bigg(\frac{1}{s} + \frac{4}{(as)^2} \bigg) + e^{- 2s}\bigg( \frac{4}{s^2} - \frac{1}{s^2}\bigg) + e^{- 4s}\bigg( \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2}\bigg) $$
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