APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

Enfatizaremos aquí, en la solución de ecuaciones lineales de segundo orden
con coeficientes constantes, de la forma
$$ay'' +  by'  + cy = f(x) \qquad \qquad \qquad(1)$$
Donde $a$,  $b$  y  $c$ son constantes, y $f(x)$  es una función continua en el intervalo de interés.
Muchos problemas importantes en la ciencia y la ingeniería que no parecen relacionados, pueden describirse mediante esta ecuación, difiriendo solamente en la naturaleza de las cantidades representadas por $y$,   $x$, los coeficientes y la función $f(x)$. Pero el procedimiento de solución y la forma de la solución general son los mismos, sin importar lo que estos símbolos representen. Por tanto, no es coincidencia que personas en diferentes ramas de la ciencia tomen el mismo curso de ecuaciones diferenciales y usen la información para resolver problemas aparentemente no relacionados en sus propias disciplinas. Esto demuestra que las matemáticas son una herramienta poderosa e indispensable para los científicos y los ingenieros de todas las ramas.

Veremos ahora con detalle dos aplicaciones importantes en ingeniería mecánica y eléctrica que dan por resultado la ecuación (1): vibraciones mecánicas y circuitos eléctricos.

Vibraciones mecánicas

El momento de un cuerpo en cualquier dirección y en cualquier tiempo $t$  es el producto de su masa $m$  y la velocidad  $v$  en ese tiempo,  en esa dirección. Podemos expresar la segunda ley de Newton así:

"La rapidez de cambio del momento con respecto al tiempo en cualquier dirección es igual a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo en esa dirección."

Esto puede expresarse matemáticamente como
$$\frac{d(mv)}{dt} = F_{neta} = \sum_{i = 1}^{n} F_i, \qquad v = \frac{dx}{dt}$$
Donde $m$  es la masa del cuerpo  y  $F_{neta}$   es la fuerza neta en la dirección xe $x$
Si la masa $m$  es constantes entonces
$$\frac{d(mv)}{dt}  = m \frac{dv}{dt}$$ y entonces
$$m\frac{d^2x}{dt^2}  =   F_{neta}$$

 SISTEMAS DE RESORTE-MASA:  MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

Supongamos que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se le fija una masa  $m$  a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa;  masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferentes. 
Por la ley de Hooke$^1$, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora $F$ opuesta a la dirección de la elongación y proporcional a la cantidad de la elongación $s$  y  es expresada en forma simple como $F\  \alpha \ s$, Pero sabemos que esta expresión no nos sirve matemáticamente, por lo que usaremos una expresión que nos pueda servir para nuestros fines
$$F = ks$$ Donde $k$  es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. 
El resorte se caracteriza en esencia por el número $k$. Por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras hace que un resorte se alargue $\frac{1}{2}$ ft, entonces  $10 = k(\frac{1}{2})$ implica que $k = 20 \ \ lb/ft$. Entonces necesariamente una masa que pesa, digamos, 8 libras alarga el mismo resorte sólo $\frac{2}{5}  ft$.

$^1$ Es importante aclarar que está mal llamada ley de Hooke, no es en realidad una ley, ya que las leyes se usan para hechos mas concretos y trascendentes.

Después de que se une una masa $m$ a un resorte,  ésta alarga el resorte una cantidad $s$ y logra una posición de equilibrio en la cual su peso  $W$  se  equilibra mediante la fuerza restauradora $ks$.  Recuerden que el peso se define mediante  $W = mg$, donde la masa se mide en slugs, kilogramos o gramos y $g = 32 ft/s^2$ ,  $9.8 m/s^2$ ,  o bien $980 cm /s^2$,  respectivamente. 
Como se indica en la figura 1b,  la condición de equilibrio es  $mg = ks$  o  $mg  -  ks = 0$. 

a)                           b)                        c)
Fig 1.  Sistema masa - resorte

Si la masa se desplaza por una cantidad $x$  de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces  $k(x + s)$.  Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa  vibra libre de otras fuerzas externas.   se puede igualar la segunda  ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso.
$$m \frac{d^2x}{dt} = - k(s + x) + mg = -kx + \color {blue} {mg - ks} = - kx \qquad \qquad (2)$$ Lo que está en azul es igual a cero.

El signo negativo en (2) indica que la fuerza restauradora del resorte actúa opuesta a la
dirección de movimiento. Además, adoptaremos la convención de rotar el eje coordenado y el eje positivo $x$ ahora es hacia abajo y el que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos. Ve la figura 2.

Figura 2 Referencia de como se medirá aquí

Ahora nos avocaremos a encontrar la ecuación diferencial de un movimiento libre no amortiguado.
Si dividimos la ecuación (2) entre $m$,  se obtendrá la ecuación diferencial de segundo orden:
$$m \frac{d^2x}{dt^2}  =  -kx$$ $$\frac{d^2x}{dt^2}  + \frac{k}{m}x  = 0$$ $$\frac{d^2x}{dt^2}  + \omega^2 x =  0 \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$$

donde  $\omega^2  =  \frac{k}{m}$. Se dice que la ecuación (3) describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas con (3) son $x(0)  =  x_0$   y   $x'(0) =  x_1$ , el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la masa, respectivamente. 


Para resolver la ecuación (3), se observa que la solución de su ecuación característica $m^2 + \omega^2 = 0$, cuya solución es  $m_1 = \omega i$   y   $m_2 = - \omega i$
Así, la solución general es es:
$$x(t)  =  C_1 cos(\omega t)  +  C_2 sen(\omega t) \qquad \qquad \qquad (4)$$

El periodo del movimiento descrito por la ecuación (4) es $T =  2\pi/\omega$.  El número $T$
representa el tiempo (medido en segundos) que tarda la masa en ejecutar un ciclo
de movimiento. 
Un ciclo es una oscilación completa de la masa, es decir, la masa $m$ que se mueve, por ejemplo, al punto mínimo abajo de la posición de equilibrio hasta el punto más alto arriba de la misma y luego de regreso al punto mínimo. 

Desde un punto de vista gráfico, $T = 2\pi / \omega$   segundos es la longitud del intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos (o mínimos) de $x(t)$. 

Recordemos  que un máximo de $x(t)$ es el desplazamiento positivo correspondiente a la masa que alcanza su distancia máxima debajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de $x(t)$  es el desplazamiento negativo correspondiente a la masa que logra su altura máxima arriba de la posición de equilibrio. 

Se hace referencia a cualquier caso como un desplazamiento extremo de la masa. La frecuencia de movimiento es $f = 1/T = \omega/ 2\pi$  y es el número de ciclos completado cada segundo. 

Por ejemplo, si $x(t) =  2cos 3\pi t  +   4 sen 3\pi t$, entonces el periodo es  $T = 2\pi /3\pi  = 2/3 s$   y la frecuencia es $f = 3/2 ciclos/s$.   

Desde un punto de vista esquemático la gráfica de $x(t)$ se repite cada  $\frac{2}{3}$  de segundo, es decir,  $x ( t  +  \frac{2}{3})  = x ( t )$   y  3 / 2 ciclos de la gráfica se completan cada segundo (o, equivalentemente, tres ciclos de  la gráfica se completan cada dos segundos).    

El número   $\omega  =  \sqrt{k/m}$  (medido en radianes por segundo) se llama frecuencia circular del sistema.

Dependiendo de qué libro lean,   tanto $f = \omega / 2\pi$   como $\omega$   se conocen como frecuencia natural del sistema. 
Por último, cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes  $c_1$  y  $c_2$ en (4),  se dice que la solución particular resultante o respuesta es la ecuación de movimiento.

EJEMPLO  1    Una masa que pesa 2 lb  alarga 6 in un resorte. En   $t = 0$  se libera la masa  desde un punto que está 8 in  abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de  4/3 ft/s.    Determina a ecuación de movimiento 


SOLUCIÓN  1
Debido a que estamos usando el sistema de unidades de ingeniería, tendremos que usa las unidades de  pies (ft),  libras (lb)  y segundo (s), así que
$6\ in =  6\ in (\frac{1 ft}{12 in})  =  \frac{1}{2} ft$
$8\ in = 8\ in (\frac{1 ft}{12 in})  =  \frac{2}{3} ft$
Como se nos da una masa que pesa  2 lb, hay que obtener la mas de la fórmula  $m = \frac{W}{g}$,   pero sabemos que:  $9.8\ m/s^2\ \ = \ \ 980\ cm/s^2 \ \ 32 ft/s^2$
$m = \frac{2\ lb}{32\ ft/s^2 } =  \frac{1}{16}\ slugs$
Además, como se nos dan valores iniciales que involucran a k, podemos el valor de esta constante usando el principio (no ley)  de Hooke :
$$F = ks$$ $$2\ lb  =  k \bigg(\frac{1}{2} \bigg)\ ft$$ $$k = 4\ lb/ft$$
Así que usando la ecuación (2)  que obtuvimos:
$$\frac{1}{16} \frac{d^2x}{dt^2}  =  - 4 x\qquad\qquad o \qquad \qquad \frac{d^2x}{dt^2} + 64x = 0$$
La ecuación característica o ecuación auxiliar es
$$m^2 + 64 = 0$$
Que tiene raíces complejas
$$m = \pm \sqrt {\textbf - 64} = \pm\ 8i$$
$$x(t) =  c_1 cos8t  +  c_2 sen8t$$
Ahora, aplicando las condiciones iniciales:  $x(0) = \frac{2}{3}$   y   $x'(0) = \textbf - \frac{4}{3}$.    Recordemos que, debido a que se rotó el sistema de coordenadas, ahora hacia abajo son valores positivos y hacia arriba negativos.
Usando las solución general que encontramos
$$\frac{2}{3} = c_1 cos (8*0)  +  c_2 sen (8*0)$$ $$c_1 =  \frac{2}{3}$$
y para la velocidad, tenemos que derivar
$$x'(t) = \frac{d}{dt}(c_1cos 8t +  c_2 sen 8t) = - 8c_1 sen 8t  +  8c_2cos 8t$$ $$x'(0) = \textbf - \frac{4}{3}  =  \textbf - 8c_1 sen(8*0)  +  8c_2 cos(8*0)$$ $$\textbf - \frac{4}{3} = 8c_2$$ $$c_2 = \textbf - \frac{1}{6}$$
Y la ecuación de movimiento es
$$\boxed{\quad  x(t) =  \frac{2}{3} cos8t  -  \frac{1}{6} sen8t\quad}$$

Forma alternativa de  $x(t)$

Cuando  $c_1 \neq 0$   y   $c_2 \neq 0$,   la amplitud $A$  de las vibraciones libres no es evidente a partir de la inspección de la ecuación (4). 
Por ejemplo,  aunque la masa del ejemplo 1 se desplaza inicialmente 2/3 pie más allá de la posición de equilibrio, la amplitud de las vibraciones es un número mayor que  2/3 . Por tanto, suele ser conveniente convertir una solución de la forma (4) en una forma más simple
Si hacemos uso de la siguiente identidad:
$$c_1 cos(\omega t)  +  c_2 sen(\omega t) = \sqrt{(c_1)^2 + (c_2)^2} sen(\omega t + \phi)$$
Para ver esto mas claro, veámoslo  gráficamente

Fig. 3  Relación geométrica de $C_1$  y   $C_2$   

Donde  $\color {blue}{A = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} }$   y  $\phi$  es un ángulo de fase definido por:   
$$sen \phi  =  \frac{c_1}{A}\qquad \quad  cos \phi = \frac{c_2}{A}\qquad \quad tan \phi =  \frac{c_1}{c_2}$$
Ahora sustituimos estos resultados en (4)
$$x(t)  =  C_1 cos(\omega t)  +  C_2 sen(\omega t)$$ $$x(t)  =  (Asen \phi)cos(\omega t)  +  (Acos \phi)sen(\omega t)$$ $$=  A\ sen\ \omega t\  cos\ \phi  +  A\ cos\ \omega t\  sen\ \phi$$
Y usando la identidad trigonométrica
$$sen\ x\ cos\ y  +  cox\ x\ sen\ y   =  sen (x + y)$$ Por tanto
$$\boxed {\qquad x(t)  =  Asen (\omega t  +  \phi) \qquad }$$
Pero como sé que son muy pispiretos más de uno se estará preguntando y ¿qué pasaría si intercambiamos de lugar $c_1$  y  $c_2$ en la figura 3?.
Pues lo que pasará es que nos queden las relaciones ahora en esta forma
$$sen \phi  =  \frac{c_2}{A}\qquad \quad  cos \phi = \frac{c_1}{A}\qquad \quad tan \phi =  \frac{c_2}{c_1}$$
y nuestra solución general quedaría así
$$x(t)  =  Acos \omega t\ cos \phi  +  A sen \omega t\ sen \phi$$
y tendríamos que utilizar ahora la siguiente identidad trigonométrica
$$cos\ x\ cos\ y  +  sen\ x\ sen\ y   =  cos (x - y)$$
Y nuestra ecuación de la solución general sería de la forma
$$x(t)  =  A cos (\omega t - \phi)$$

La primera opción es la más socorrida por los físicos, ingenieros y científicos.

Bueno, pues visto lo anterior, la solución del problema 1 en este formato sería:
$$x(t)  =  A\ sen(8t  +  \phi)$$
$A =  \sqrt{(\frac{2}{3} )^2   +  (- \frac{1}{6})^2 }  =  \sqrt{ \frac{17}{36}}$   Y para obtener $\phi$  hay que ser muy cuidadosos al calcularlo,  como $c_1  =  2/3$   y   $c_2 =  \textbf - 1/6$, entonces  $tan =  \textbf - 4$.   Con una calculadora  se obtiene  $tan^{\textbf - 1} (\textbf - 4)  =  \textbf -  1.326\ rad$,  pero este no es el ángulo ya que está en en cuarto cuadrante, pero  hay también una tangente  negativa en el segundo cuadrante, y ese debe ser el ángulo:  $\phi  =  \pi  +  (- 1.326)  =  1.816\ rad$
Así, la solución en este formato es:
$$\boxed {\qquad  x(t)  =  \frac{\sqrt{17}}{6}  sen\ (8t  +  1.816)\qquad }$$

MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

Ya se habrán dado cuenta que el movimiento armónico simple o no amortiguado es un poco irreal, porque el movimiento que describe la ecuación (2) supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre la masa en movimiento, a menos claro, que la masa se encuentre en un espacio con vacío perfecto. Algunas veces se da esto en la vida real, por ejemplo en el caso de las naves espaciales que apagan sus motores para ahorrar combustible,  pero si hay tiempo, ya veremos esos casos.

En la vida real, hay al menos una fuerza retardadora que es el medio circundante.  una de ellas es la resistencia del aire, otra es que esté suspendida en un medio viscoso o unida a un dispositivo amortiguador, como el de la figura 4.

Figura 4.  Dispositivos de amortiguamiento

ECUACIÓN DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO.

En el estudio de la mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo se consideran proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, en el análisis posterior se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de   $\frac{dx}{dt}$.
Cuando ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se tiene de la segunda ley de Newton aplicada de esta manera

$$m \frac{d^2x}{dt^2}  =  -kx - \beta \frac{dx}{dt}\qquad \qquad  \qquad (5)$$

Donde $\beta$  es una constante de amortiguamiento  positiva y el signo negativo es una consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección opuesta al movimiento.

Bueno, pues como les he dicho en repetidas ocaciones, debemos organizar la información que se tiene y poder identificar el tipo de ecuación diferencial que tenemos.

$$m\frac{d^2x}{dt^2}  +  \beta \frac{}{}  + kx  =  0$$ $$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{\beta}{m} \frac{dx}{dt}  +  \frac{k}{m}x  =  0$$ $$\color {blue}{\frac{d^2x}{dt^2} + 2\lambda \frac{dx}{dt}  + \omega ^2x  =  0 } \qquad \qquad (6)$$
Donde $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\lambda = \frac{\beta}{m}\quad  y  \quad \omega ^2 = \frac{k}{m}$

Estos cambios se hacen sólo por conveniencia algebraica para la ecuación característica o auxiliar nos quede como  $m^2 + 2\lambda  +  \omega ^2 = 0$   y sus raíces son:

$$m_{1,\ 2} =  \frac{- 2\lambda  \pm \sqrt{(2\lambda  - 4 (1)(\omega ^2} }{2 (1)}$$ $$m_1  =  -\lambda +  \sqrt{\lambda ^2  -  \omega ^2},  \qquad \qquad m_2 =   - \lambda - \sqrt{\lambda^2  - \omega ^2}$$

Y observamos en seguida que se pueden presentar tres casos en estas soluciones

EJEMPLO  3  Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies un resorte.  Suponiendo que una fuerza amortiguada que es igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre un sistema.  Determina la ecuación  de movimiento si la masa inicial se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 ft/s


SOLUCIÓN  3
Usando el principio de Hooke, tenemos que  8 = k(2), de donde   k = 4 lb/ft, además, sabemos que  $W = m/g$, de donde   $m  = W/g$,   $m = 8\ lb / 32\ ft/\ s^2  =  1/4 \ slugs$,   así que  la ecuación que regirá este movimiento, según  (5) es:
$$\frac{1}{4} \frac{d^2x}{dt^2}  =  - 4x -  2\frac{dx}{dt}\quad o \quad \frac{d^2x}{dt^2} + 8\frac{dx}{dt} + 16x  =  0$$
La ecuación característica es   $m^2  +  8m  +16 =  0  (m + 4)^2$   y sus soluciones:  $m_1 = m_2 = -4$, por lo que el movimiento es críticamente amortiguado.
$$x(t)  =  c_1 e^{-4t}  +  c_2\ t\ e^{-4t}$$
Aplicando las condiciones iniciales $x(0)  = 0$   y  $x'(0)  = - 3$  obtendremos el valor de las constantes:  $c_1  = 0$   y   $c_2  = -3$ y la ecuación es:
$$\boxed{ \quad \color {red} {x(t)  = - 3\ t \ e^{-4t}  } \quad   }$$