BASES, DIMENSIÓN Y CAMBIO DE BASE
Ya hemos visto la necesidad de expresar un vector e función de otros vectores, como por ejemplo $\textbf v = a_1 \textbf i + a_2 \textbf j$ en $\mathbb R^2$ con los vectores $\textbf i$ y $\textbf j$ donde
$$\textbf i = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad y \quad \textbf j = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}$$
O en $\mathbb R ^3$ $\textbf v = a_1 \textbf i + a_2 \textbf j + + a_3 \textbf k$, donde
$$\textbf i = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \quad \textbf j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \quad y \quad \textbf k = \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$$
Ahora vamos a generalizar esta idea.
Definición BASE
Un conjunto finito de vectores { $\textbf v_1$, $\textbf v_2$, .... , $\textbf v_n$, } es una BASE para un espacio vectorial V si
i) { $\textbf v_1$, $\textbf v_2$, .... , $\textbf v_n$, } es linealmente independientemente.
ii) { $\textbf v_1$, $\textbf v_2$, .... , $\textbf v_n$, } genera a V
i) { $\textbf v_1$, $\textbf v_2$, .... , $\textbf v_n$, } es linealmente independientemente.
ii) { $\textbf v_1$, $\textbf v_2$, .... , $\textbf v_n$, } genera a V
Todo conjunto de $n$ vectores linealmente independiente en $\mathbb R^n$ es una base en $\mathbb R^n$
En $\mathbb R^n$ se define
$$\textbf e_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \textbf e_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \textbf e_3 = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \ldots , \ \ \ \textbf e_n = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$$
Puesto que los vectores $e_i$ son las columnas de una matriz identidad (que tiene determinante con valor 1), {$\textbf e_1$, $\textbf e_2$, .... , $\textbf e_n$} es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto constituye una base en $\mathbb R^n$.
Esta base especial se denomina base canónica en $\mathbb R^n$
Base canónica en $P_n$
Los monomios 1, $x$, $x^2$, y $x^3$, son linealmente independientes en $\mathbb R^3$ y como estos monomios generan a $P_3$, entonces ${1, x, x^2, x^3}$ son una base para $P_3$.
En general, los monomios ${1, x, x^2, x^3, ... , x^n}$ constituyen una base para $P_n$. Esta se denomina base canónica para $P_n$.
Base canónica para $M_{22}$
Como los vectores $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ generan a $M_{22}$
Si
$$\begin{bmatrix} c_1 & c_2 \\ c_3 & c_4 \end{bmatrix} = c_1\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + c_4 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$
Entonces, es evidente que $c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0$ por lo que estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para $M_{22}$ y la denominamos base canónica para $M_{22}$
EJEMPLO 1
Encuentra una base para el conjunto de vectores que se encuentran en el plano
$$Plano = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} : 2x -y +3z = 0 \right\}$$
Solución
Observemos que la ecuación del plano es una combinación lineal de los vectores en de una base para dicho plano.
Es importante no confundir los vectores canónicos con los vectores que forman ese plano.
Tenemos que encontrar un vector $\textbf v$ que se encuentre en dicho plano de forma general.
Observamos que un vector en el plano es
$$\textbf v = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$
Perno no conocemos explícitamente ninguno de esos componentes, pero sabemos que la ecuación del plano es $$2x - y + 3z = 0$ por lo que de aquí podemos obtener el valor de un de esos componentes, esta selección es arbitraria, por lo que escogeremos a $y$ por el hecho de que no habrá fracciones, $y = 2x + 3z$ y lo sustituimos en $\textbf v$
$$\textbf v = \begin{bmatrix} x \\ 2x + 3z \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ 2x \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3z \\ z \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$
De donde se observa que los vectores que generan al plano son
$$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \quad y \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$
DIMENSIÓN
Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la
dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vec-
torial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión
infinita. Si V = {0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.
La dimensión de V se denota por dim V
La dimensión de $\mathbb R^n$ es dim $\mathbb R^n = n$
La dimensión de $P_n$ es dim $P_n = n + 1$
La dimensión de $M_{mn}$ es dim $M_{mn} = mn$
EJEMPLO 2
Encontrar una base y la dimensión para el espacio de solución S del sistema homogéneo
$$x + 2y + z= 0$$$$2x - y + 3z = 0$$
Solución
Consideramos a $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & \vdots & 0 \\ 2 & -1 & 3 & \vdots & 0 \end{bmatrix}$ que es una matriz aumentada de 2 x 3 , por lo que S es un espacio de $\mathbb R^3$. Usando el método de Gauss-Jordan para resolver
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & \vdots & 0 \\ 2 & -1 & 3 & \vdots & 0 \end{bmatrix} \; \color {red} {\Longrightarrow} \: \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & \vdots & 0 \\ 0 & -5 & 5 & \vdots & 0 \end{bmatrix}$$
$$\color {red}{\Longrightarrow} \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & \vdots & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \vdots & 0 \end{bmatrix} \; \color {red} {\Longrightarrow} \: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & \vdots & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \vdots & 0 \end{bmatrix}$$
Y la solución es $y = z$ y $x = -z$ y como es un sistema de dos ecuaciones or tres incógnitas por lo que habrá dos variables dependientes y una independiente que es $z$ or lo que $z = z$ por lo que la solucion es
$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -z \\ z \\ z \end{bmatrix} = z\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$
Por lo que la la solución del problema es que la base para S es
$$\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}, \text{Y como la base consta de un solo vector, } dim\ \ S = 1$$
EJEMPLO 3
Encuentra una base para el espacio de solución S del sistema$$2x - y + 3z = 0$$$$4x - 2y - 6z = 0$$$$- 6x + 3y - 9z = 0$$
Solución
Resolviendo por Gauss-Jordan
$$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 & \vdots & 0 \\ 4 & -2 & 6 & \vdots & 0 \\ -6 & 3 & -9 & \vdots & 0 \end{bmatrix} \; \color {red} {\Longrightarrow} \; \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 & \vdots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 \end{bmatrix}$$
Lo que nos da una sola ecuación: $2x - y + 3z = 0$, lo que nos dice que hay solo una variable dependiente y dos variables independientes.
Sabemos que no importa cual sea la variable independiente y nosotros escogeremos el caso mas sencillo, que es: $y = 2x + 3z$ por tanto $x = x$ y $z = z$, así que
$$\textbf v = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ 2x + 3z \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ 2x \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3z \\ z \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$
Sean $\textbf u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ y $\textbf u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ que forman la base $B_1 = \{ \textbf i, \ \textbf j \}$ las base canónica en $\mathbb R^2$ y sean $\textbf v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ y $\textbf v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ que forman la base $B_2 = \{ \textbf v_1, \textbf v_2 \}$ en $\mathbb R^2$ y es así porque Uno de los vectores no es múltiplo del otro.
Sea también $\textbf x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ otro vector en $\mathbb R^2$. Esto es
$$\textbf x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1\ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2\ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = x_1\ \textbf u_1 + x_2\ \textbf u_2$$
Usando las mismas a's
$$\textbf u_2 = a_1 \textbf v_1 + a_2 \textbf v_2 $$$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = a_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$De donde salen las ecuaciones:
$$0 = a_1 - a_2$$$$1 = 3a_1 + 2 c_2$$Y su solución es: $a_1 = \frac{1}{5}, \ \ \ a_2 = \frac{1}{5}$ asi que
$$\textbf u_2 = \frac{1}{5} \textbf v_1 + \frac{1}{5} \textbf v_2$$
Es decir:
$$(\textbf u_1)_{B_2} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} \end{bmatrix}\ \ \ y \ \ \ (\textbf u_2)_{B_2} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \end{bmatrix}$$
Asi que
$$\textbf x = x_1 \textbf u_1 + x_2 \textbf u_2 = x_1 \left( \frac{2}{5} \textbf v_1 - \frac{3}{5} \textbf v_2\right) + x_2 \left( \frac{1}{5} \textbf v_1 + \frac{1}{5} \textbf v_2\right) $$
Organizando tendremos
$$\textbf x = \left( \frac{2}{5} x_1 + \frac{1}{5} x_2 \right) \textbf v_1 + \left( -\frac{3}{5} x_1 + \frac{1}{5} x2\right) \textbf v_2 $$Y como $\textbf x = c_1 \textbf v_1 + c_2 \textbf v_2$, entonces
$$c_1 = \frac{2}{5} x_1 + \frac{1}{5} x_2 \qquad y \qquad c_2 = -\frac{3}{5} x_1 + \frac{1}{5} x2$$
Y sabemos que
$$(\textbf x)_{B_2} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} x_1 + \frac{1}{5} x_2 \\ -\frac{3}{5} x_1 + \frac{1}{5} x2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} $$
Y ya vieron que obtuvimos?
Una ecuación para un vector en $B_2$ que es el producto de una matriz T por un vector en $B_1$
Quiere decir que si tenemos un vector en $B_1$, digamos $(\textbf x)_{B_1} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}$, entonces
$$(\textbf x)_{B_2} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} \\ - \frac{13}{5} \end{bmatrix}$$
La matriz $T = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix}$ se le conoce como matriz de transición de $B_1$ a $B_2$ y su ecuación es:
$$\boxed {\quad (\textbf x)_{B_2} = T\ (\textbf x)_{B_1} \quad }$$
Ahora viene la pregunta esperada, hay alguna manera de poder encontrar la matriz de transición T sin hacer todo el proceso anterior?La respuesta es si!!
Procedimiento para encontrar la matriz de transición T, de la base canónica a la base $B_2 = \{\textbf v_1, \textbf v_2, ... , \textbf v_3 \}$
1. Se escribe una matriz C cuyas columnas son $\{\textbf v_1, \textbf v_2, ... , \textbf v_3 \}$
Supongamos que usamos el mismo ejemplo anterior cuya
$$B_2 = \{ \textbf v_1,\ \textbf v_2 \} = \begin{bmatrix} 1 \\3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} - 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$$$C = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} $$
2. Se calcula $\text C^{-1}$ que sera la matriz de transición que se busca.
Recordemos que
$$C^{-1} = \frac{1}{det ( C) } Adj ( C^T )$$Donde
$$C^T = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$
Recuerden que $C^T$ es la traspuesta de C Adj (C^T) es la adjunta de $C^T$
$$Adj (C^T) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$$ Y el determinante de C,
$$det(C) = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (- 3) = 5$$
Por tanto
$$C^{- 1} = \frac{1}{5}\ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/5 & 1/5 \\ -3/5 & 1/5 \end{bmatrix}$$$$\boxed{ \quad T = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5 }\\ - \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} \quad }$$
Que es la misma matriz que habíamos encontrado anteriormente
EJERCICIO 1
En $\mathbb R^3$, sea $B_1 = \{\textbf i, \textbf j, \textbf k \}$ y $B_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}, \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}, \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{pmatrix} \right\}$ Si $\textbf x = \epsilon \ \mathbb R^3$. Escribe $\textbf x$ en términos de los vectores de $B_2$
$$A_{m,n} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}$$
Esta base especial se denomina base canónica en $\mathbb R^n$
Base canónica en $P_n$
Los monomios 1, $x$, $x^2$, y $x^3$, son linealmente independientes en $\mathbb R^3$ y como estos monomios generan a $P_3$, entonces ${1, x, x^2, x^3}$ son una base para $P_3$.
En general, los monomios ${1, x, x^2, x^3, ... , x^n}$ constituyen una base para $P_n$. Esta se denomina base canónica para $P_n$.
Base canónica para $M_{22}$
Como los vectores $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ generan a $M_{22}$
Si
$$\begin{bmatrix} c_1 & c_2 \\ c_3 & c_4 \end{bmatrix} = c_1\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + c_4 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$
Entonces, es evidente que $c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0$ por lo que estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para $M_{22}$ y la denominamos base canónica para $M_{22}$
EJEMPLO 1
Encuentra una base para el conjunto de vectores que se encuentran en el plano
$$Plano = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} : 2x -y +3z = 0 \right\}$$
Solución
Observemos que la ecuación del plano es una combinación lineal de los vectores en de una base para dicho plano.
Es importante no confundir los vectores canónicos con los vectores que forman ese plano.
Tenemos que encontrar un vector $\textbf v$ que se encuentre en dicho plano de forma general.
Observamos que un vector en el plano es
$$\textbf v = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$
Perno no conocemos explícitamente ninguno de esos componentes, pero sabemos que la ecuación del plano es $$2x - y + 3z = 0$ por lo que de aquí podemos obtener el valor de un de esos componentes, esta selección es arbitraria, por lo que escogeremos a $y$ por el hecho de que no habrá fracciones, $y = 2x + 3z$ y lo sustituimos en $\textbf v$
$$\textbf v = \begin{bmatrix} x \\ 2x + 3z \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ 2x \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3z \\ z \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$
De donde se observa que los vectores que generan al plano son
$$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \quad y \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$
DIMENSIÓN
Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la
dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vec-
torial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión
infinita. Si V = {0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.
La dimensión de V se denota por dim V
La dimensión de $\mathbb R^n$ es dim $\mathbb R^n = n$
La dimensión de $P_n$ es dim $P_n = n + 1$
La dimensión de $M_{mn}$ es dim $M_{mn} = mn$
EJEMPLO 2
Encontrar una base y la dimensión para el espacio de solución S del sistema homogéneo
$$x + 2y + z= 0$$$$2x - y + 3z = 0$$
Solución
Consideramos a $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & \vdots & 0 \\ 2 & -1 & 3 & \vdots & 0 \end{bmatrix}$ que es una matriz aumentada de 2 x 3 , por lo que S es un espacio de $\mathbb R^3$. Usando el método de Gauss-Jordan para resolver
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & \vdots & 0 \\ 2 & -1 & 3 & \vdots & 0 \end{bmatrix} \; \color {red} {\Longrightarrow} \: \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & \vdots & 0 \\ 0 & -5 & 5 & \vdots & 0 \end{bmatrix}$$
$$\color {red}{\Longrightarrow} \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & \vdots & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \vdots & 0 \end{bmatrix} \; \color {red} {\Longrightarrow} \: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & \vdots & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \vdots & 0 \end{bmatrix}$$
Y la solución es $y = z$ y $x = -z$ y como es un sistema de dos ecuaciones or tres incógnitas por lo que habrá dos variables dependientes y una independiente que es $z$ or lo que $z = z$ por lo que la solucion es
$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -z \\ z \\ z \end{bmatrix} = z\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$
Por lo que la la solución del problema es que la base para S es
$$\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}, \text{Y como la base consta de un solo vector, } dim\ \ S = 1$$
EJEMPLO 3
Encuentra una base para el espacio de solución S del sistema$$2x - y + 3z = 0$$$$4x - 2y - 6z = 0$$$$- 6x + 3y - 9z = 0$$
Solución
Resolviendo por Gauss-Jordan
$$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 & \vdots & 0 \\ 4 & -2 & 6 & \vdots & 0 \\ -6 & 3 & -9 & \vdots & 0 \end{bmatrix} \; \color {red} {\Longrightarrow} \; \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 & \vdots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 \end{bmatrix}$$
Lo que nos da una sola ecuación: $2x - y + 3z = 0$, lo que nos dice que hay solo una variable dependiente y dos variables independientes.
Sabemos que no importa cual sea la variable independiente y nosotros escogeremos el caso mas sencillo, que es: $y = 2x + 3z$ por tanto $x = x$ y $z = z$, así que
$$\textbf v = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ 2x + 3z \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ 2x \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3z \\ z \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$
Asi que una base de S es
$$\left \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} , \ \ \ \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \right \} $$
Y $dim\ \ S = 2$
CAMBIO DE BASES
Expresamos vectores en $\mathbb R^2$ en términos de una base canónica $\textbf i = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ y $\textbf j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ y en $\mathbb R^3$ en términos de la base canónica $\textbf i = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\textbf j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ y $\textbf k = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
Estas base las usamos ampliamente por su sencillez a la hora de trabajar con ellas, pero en ocasiones es mas conveniente trabajar en alguna otra base.
Existe un infinito de bases para elegir ya que en un espacio vectorial $n$, cualesquiera $n$ vectores linealmente independientes forman una base.
Veamos con el siguiente ejemplo como se hace el cambio de base.
Sean $\textbf u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ y $\textbf u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ que forman la base $B_1 = \{ \textbf i, \ \textbf j \}$ las base canónica en $\mathbb R^2$ y sean $\textbf v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ y $\textbf v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ que forman la base $B_2 = \{ \textbf v_1, \textbf v_2 \}$ en $\mathbb R^2$ y es así porque Uno de los vectores no es múltiplo del otro.
Sea también $\textbf x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ otro vector en $\mathbb R^2$. Esto es
$$\textbf x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1\ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2\ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = x_1\ \textbf u_1 + x_2\ \textbf u_2$$
Esto quiere decir que $\textbf x$ está expresado en términos de los vectores de la $B_1$. Y para que quede claro, se expresa como
$$(\textbf x)_{B_1} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$
$$(\textbf x)_{B_1} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$
Como $B_2$ es otra base en $\mathbb R^2$, deben existir escalares tales que
$$\textbf x = c_1 \textbf v_1 + c_2 \textbf v_2$$
$$\textbf x = c_1 \textbf v_1 + c_2 \textbf v_2$$
Una vez que se encuentran estos escalares, se puede escribir como
$$(\textbf x)_{B_2} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}$$
$$(\textbf x)_{B_2} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}$$
Para indicar que $\textbf x $ que esta ahora expresado en términos de los vectores de $B_2$
Para encontrar los números $c_1$ y $c_2$ se escribe la base anterior ($\textbf u_1$ y $\textbf u_2$ ) en términos de la nueva base ($\textbf v_1$ y $\textbf v_2$ ), esto es:
$$\textbf u_1 = a_1 \textbf v_1 + a_2 \textbf v_2 $$$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = a_1\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$De donde salen las ecuaciones:
$$1 = a_1 - a_2$$$$0 = 3a_1 + 2 c_2$$Y su solución es: $a_1 = \frac{2}{5}, \ \ \ a_2 = - \frac{3}{5}$ asi que
$$\textbf u_1 = \frac{2}{5} \textbf v_1 - \frac{3}{5} \textbf v_2$$
Para encontrar los números $c_1$ y $c_2$ se escribe la base anterior ($\textbf u_1$ y $\textbf u_2$ ) en términos de la nueva base ($\textbf v_1$ y $\textbf v_2$ ), esto es:
$$\textbf u_1 = a_1 \textbf v_1 + a_2 \textbf v_2 $$$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = a_1\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$De donde salen las ecuaciones:
$$1 = a_1 - a_2$$$$0 = 3a_1 + 2 c_2$$Y su solución es: $a_1 = \frac{2}{5}, \ \ \ a_2 = - \frac{3}{5}$ asi que
$$\textbf u_1 = \frac{2}{5} \textbf v_1 - \frac{3}{5} \textbf v_2$$
Usando las mismas a's
$$0 = a_1 - a_2$$$$1 = 3a_1 + 2 c_2$$Y su solución es: $a_1 = \frac{1}{5}, \ \ \ a_2 = \frac{1}{5}$ asi que
$$\textbf u_2 = \frac{1}{5} \textbf v_1 + \frac{1}{5} \textbf v_2$$
Es decir:
$$(\textbf u_1)_{B_2} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} \end{bmatrix}\ \ \ y \ \ \ (\textbf u_2)_{B_2} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \end{bmatrix}$$
Asi que
$$\textbf x = x_1 \textbf u_1 + x_2 \textbf u_2 = x_1 \left( \frac{2}{5} \textbf v_1 - \frac{3}{5} \textbf v_2\right) + x_2 \left( \frac{1}{5} \textbf v_1 + \frac{1}{5} \textbf v_2\right) $$
Organizando tendremos
$$\textbf x = \left( \frac{2}{5} x_1 + \frac{1}{5} x_2 \right) \textbf v_1 + \left( -\frac{3}{5} x_1 + \frac{1}{5} x2\right) \textbf v_2 $$Y como $\textbf x = c_1 \textbf v_1 + c_2 \textbf v_2$, entonces
$$c_1 = \frac{2}{5} x_1 + \frac{1}{5} x_2 \qquad y \qquad c_2 = -\frac{3}{5} x_1 + \frac{1}{5} x2$$
Y sabemos que
$$(\textbf x)_{B_2} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} x_1 + \frac{1}{5} x_2 \\ -\frac{3}{5} x_1 + \frac{1}{5} x2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} $$
Y ya vieron que obtuvimos?
Una ecuación para un vector en $B_2$ que es el producto de una matriz T por un vector en $B_1$
Quiere decir que si tenemos un vector en $B_1$, digamos $(\textbf x)_{B_1} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}$, entonces
$$(\textbf x)_{B_2} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} \\ - \frac{13}{5} \end{bmatrix}$$
La matriz $T = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix}$ se le conoce como matriz de transición de $B_1$ a $B_2$ y su ecuación es:
$$\boxed {\quad (\textbf x)_{B_2} = T\ (\textbf x)_{B_1} \quad }$$
Ahora viene la pregunta esperada, hay alguna manera de poder encontrar la matriz de transición T sin hacer todo el proceso anterior?La respuesta es si!!
Procedimiento para encontrar la matriz de transición T, de la base canónica a la base $B_2 = \{\textbf v_1, \textbf v_2, ... , \textbf v_3 \}$
1. Se escribe una matriz C cuyas columnas son $\{\textbf v_1, \textbf v_2, ... , \textbf v_3 \}$
Supongamos que usamos el mismo ejemplo anterior cuya
$$B_2 = \{ \textbf v_1,\ \textbf v_2 \} = \begin{bmatrix} 1 \\3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} - 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$$$C = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} $$
2. Se calcula $\text C^{-1}$ que sera la matriz de transición que se busca.
Recordemos que
$$C^{-1} = \frac{1}{det ( C) } Adj ( C^T )$$Donde
$$C^T = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$
Recuerden que $C^T$ es la traspuesta de C Adj (C^T) es la adjunta de $C^T$
$$Adj (C^T) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$$ Y el determinante de C,
$$det(C) = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (- 3) = 5$$
Por tanto
$$C^{- 1} = \frac{1}{5}\ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/5 & 1/5 \\ -3/5 & 1/5 \end{bmatrix}$$$$\boxed{ \quad T = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5 }\\ - \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} \quad }$$
Que es la misma matriz que habíamos encontrado anteriormente
EJERCICIO 1
En $\mathbb R^3$, sea $B_1 = \{\textbf i, \textbf j, \textbf k \}$ y $B_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}, \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}, \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{pmatrix} \right\}$ Si $\textbf x = \epsilon \ \mathbb R^3$. Escribe $\textbf x$ en términos de los vectores de $B_2$
$$A_{m,n} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}$$
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