Como ya vimos, una variable aleatoria es un medio para describir los resultados del espacio muestral mediante la asignación de valores.
En el caso de una variable aleatoria continua, los valores numéricos provienen de un intervalo continuo, es decir, no son valores específicos, sino que puede ser cualquier valor entre dos números, a y b.
En otras palabras, con variables aleatorias continuas la probabilidad de que la variable aleatoria X sea igual a un valor es cero, P(X = x) = 0, ya que es imposible que X tenga exactamente ese valor.
FUNCIÓN DE DENSIDAD
Se llama función de densidad a la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. Para poder calcular las probabilidades, debemos usar cálculo integral, pues el área bajo una curva es, en estadística, una probabilidad.
Las propiedades que debe cumplir una función de densidad son las siguientes:
1. $f(x) \geq 0$. para toda $x \in \mathbb R$
2. $\int_{- \infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
3. $P(a < x < b) = \int_a^{b} f(x) dx$
donde x es el valor de la variable aleatoria y f(x) la probabilidad asociada con el valor x.
Una función de densidad puede representarse de dos formas:
$\blacktriangleright$ Gráfica: es una gráfica de línea, cuya área bajo la curva es la probabilidad entre dos valores de la variable aleatoria.
$\blacktriangleright$ Como función: cuando la distribución de densidad se define mediante una fórmula.
Media y desviación estándar de una variable continua
La media y la varianza son las dos principales características de una función de probabilidad, ya que indican el centro y la dispersión de la distribución de los datos.
Cuando se habla de una función de densidad, se definen la media y la desviación
estándar de esta manera:
Media o valor esperado
Es una medida de localización central de la variable aleatoria. Se calcula de la forma
siguiente:
$$\mu = E(X) = \int_{- \infty}^{\infty} x f(x) dx$$
Varianza y desviación estándar
Son medidas de dispersión o variabilidad de la variable aleatoria. Se calculan de esta
manera:
$$\sigma^2 = Var(X) = \int_{- \infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x) dx$$
La varianza también se puede calcular así:
$$\sigma^2 = Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$
La desviación estándar es:
$$\sigma = \sqrt{\sigma ^2}$$
EJEMPLO 1
Sea la función de densidad
$$f(x) = \begin{cases} x, & \mbox{si $ 0 \leq x \leq \sqrt 2$,}\\ 0, & \mbox{en otro caso} \end{cases} $$
a) Traza la gráfica correspondiente.
b) Encuentra P(0.5 < x < 1)
c) Determina la media
d) Calcula la varianza y la desviación estándar
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Entre las funciones de densidad, la distribución normal es la más importante, debido
principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen un comportamiento que, al graficarse, tienen forma de campana. Estas variables pueden referirse a:
$\blacktriangleright$ Caracteres morfológicos de personas, animales o plantas, como tallas, pesos, diámetros, perímetros, etcétera.
$\blacktriangleright$ Caracteres fisiológicos, por ejemplo, efecto de una misma dosis de un fármaco o de una misma cantidad de abono.
$\blacktriangleright$ Caracteres sociológicos, por citar algunos casos, consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos o las puntuaciones obtenidas en un examen.
$\blacktriangleright$ Caracteres psicológicos, como el cociente intelectual o el grado de adaptación a un medio, entre otros.
$\blacktriangleright$ Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
$\blacktriangleright$ Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson pueden aproximarse a una distribución normal.
Entre las características de la distribución normal podemos citar las siguientes (figura 1):
$\blacktriangleright$ La distribución normal se conoce también como campana de Gauss en honor de Karl F. Gauss y debido a que tiene forma de campana.
$\blacktriangleright$ Por ser una distribución de probabilidad, el área bajo la curva es 1.
$\blacktriangleright$ Es una distribución asintótica, es decir, cuando x tiende a −∞ o a + ∞, la función tiende a cero.
$\blacktriangleright$ Es una distribución simétrica respecto a la media (μ). Además, la media, la moda y la mediana tienen el mismo valor.
$\blacktriangleright$ El punto máximo se encuentra en μ.
$\blacktriangleright$ La ubicación de la distribución normal se determina por μ.
$\blacktriangleright$ La dispersión de la distribución normal se determina por σ.
$\blacktriangleright$ Los puntos de inflexión, donde cambia de curvatura la función, se encuentran en μ ± σ.}
Figura 1 Gráfica de campana de una distribución normal
FUNCIÓN DE DENSIDAD
La función de densidad para una variable aleatoria X que se distribuye normalmente es
$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \ e^{- \frac{1}{2} \left[ \frac{(x - \mu)}{\sigma} \right]^2}$$
Donde $f(x)$ = función de densidad de la variable aleatoria x, donde $x$ ∈ (−∞, + ∞)
σ = desviación estándar poblacional
μ = media poblacional
Entonces, al ser la distribución normal una función de densidad, el cálculo de probabilidades se traduce en determinar el área bajo la curva entre dos valores; esto es, se
integra la función.
En la gráfica mostrada en la figura 2 se presentan las probabilidades de que la variable X se encuentre en +/− una, dos o tres desviaciones estándar respecto a la media; es decir, 68.3% de las observaciones se encuentran en el intervalo ( μ − σ , μ + σ ); 95.4% están en el intervalo ( μ − 2 σ , μ + 2 σ ) y 99.7% se hallan en el intervalo ( μ − 3 σ , μ + 3 σ )
Si varían los parámetros μ y σ se obtiene distribuciones normales diferentes; por tanto, se tendrá un número infinito de distribuciones, como se muestra en la figura 3.
Figura 3, un número infinito de distribuciones normales debido a la variación de la media y de la desviación estándar
Pero como no es sencillo integrar la función de densidad normal, para calcular
probabilidades debemos utilizar la distribución normal estándar.
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Esta distribución tiene media igual a cero y desviación estándar igual a uno. Es importante señalar que a la variable aleatoria distribuida como una normal estándar se le llama Z para diferenciarla de la X.
Función de densidad
La función de densidad para una variable aleatoria Z que se distribuye como una nor-
mal estándar es
$$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\ e^{- \frac{x^2}{2} }$$
donde $f(z)$ = función de densidad de la variable aleatoria Z, tal que z ∈ (−∞, + ∞)
Área bajo la curva
El área bajo la curva es, en Estadística, una probabilidad, en tanto que en cálculo es una integral. Entonces, para trabajar con la normal estándar hay que realizar la transformación de variable siguiente:
Figura 4. estandarización
EJEMPLO 2 Determina las probabilidades siguientes:
a) P(Z $\leq$ 2)
b) P(Z > -1)
c) P( Z $\leq$ 1.2)
d) P(-0.9 $\leq$ Z $\leq$ 2.2)
SOLUCIÓN 2
EJEMPLO 3 Sea X una variable aleatoria distribuida normalmente, con μ = 3 y σ = 2. Calcula:
a) P ( X ≤ 2.5)
b) P ( X > −3)
c) P ( X ≤ 3.3)
d) P (−2 ≤ X ≤ 2)
SOLUCIÓN 3
EJEMPLO 4 Una persona que tiene ingresos variables gana a la semana, en promedio, $1250 con una desviación estándar de $350. Si se sabe que lo que gana esta persona se distribuye normalmente, determina:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana gane más de $1500?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane entre $\$ $1000 y $1750 en una semana?
c) ¿A partir de cuánto se le podría considerar el 10% de los mejores ingresos semanales?
SOLUCIÓN
a)
b)
c) En este inciso debemos determinar el salario semanal a partir del cual se acumula el 10%, es decir:
P ( X ≥ x ) = 0.10, o bien, P ( X < x ) = 0.90
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