$$z = f(x, y)$$Y si tomamos la diferencial total de esta
$$dz = \frac {\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial x}dx$$Además, si suponemos que la función es una superficie constante, o sea $z = c$ tendremos entonces que
$$\frac {\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial x}dx = 0\qquad \qquad \qquad (1)$$Y si recordamos, la ecuación diferencial de primero orden se puede escribir de la misma forma
$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \qquad \qquad \qquad (2)$$De (1) y (2) podemos deducir que
$$\frac{\partial f}{\partial x} = M(x, y)\qquad y\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = N(x,y)\qquad \qquad \qquad (3)$$A una ecuación que cumple con (1) y (2) se le conoce como ecuación diferencial exacta
Teorema de la ecuación diferencial exacta.SeaN $M(x, y)$ y $N(x, y)$ funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden en un dominio D definidas en $a<x<b$ y $c < y < d$. Entonces, una condición necesaria y suficiente para que la ecuación
$$\boxed{\ \ \ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \ \ \ }$$
Sea una ecuación diferencial exacta, es que se cumpla la siguiente relación
$$\boxed{\ \ \ \frac{\partial M(x, y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x, y)}{\partial x}\ \ \ }$$
Podemos saber si una ecuación diferencial es exacta si cumple con lo siguiente
$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\qquad \qquad \qquad (4)$$Si la ecuación cumple con esta condición se puede resolver de la siguiente manera, usando un problema específico
EJEMPLO Resuelve la ecuación
$$\Big( 2 - \frac{y^2}{2\ x^2} \Big) dx + \frac{y}{x}\ dy = 0$$
SOLUCIÓN
Identificamos a $M$ y $N$
$$M(x, y) = 2 - \frac{y^2}{2\ x^2} \qquad \quad y \qquad \quad N(x, y) = \frac{y}{x}$$
a) Se verifica que se cumpla la condición de una ecuación diferencial exacta
$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\Big( 2 - \frac{y^2}{2\ x^2} \Big) = - \frac{2y}{2x^2} = - \frac{y}{x^2}$$$$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\Big( \frac{y}{x} \Big) = - \frac{y}{x^2}$$Como las dos son iguales, se cumple la condición y la ecuación es exacta
b) Ya que se verificó la condición de parcialidad, y como estamos interesado en obtener la función $f$, tomamos alguna de las dos ecuaciones de (3).
$$\frac{\partial f}{\partial x} = M(x, y)\qquad o \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = N(x,y)$$
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 - \frac{y^2}{2\ x^2}\qquad o \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{x}$$
Importante, siempre hay que escoger la función más sencilla.
$$\frac{d f}{d y} = \frac{y}{x}$$
¿Si saben por que se cambió el simbolo $\partial$ por $d$?
c) Se resuelve la ecuación seleccionada
$$f(x, y) = \int \frac{y}{x} dy + g(x)$$$$\qquad = \frac{y^2}{2x} + g(x)$$$$\color {red} {f(x, y) = \frac{y^2}{2x} + g(x)} \qquad \qquad (5)$$Es importante aclarar que como la función z = f(x, y) depende, como se ve, de dos variables, a la hora de integrar, no se agrega una constante real, sino, una función que depende de la variable contraria con la que se está integrando. En nuestro caso, se integra con respecto a $y$, entonces la función será $g(x)$. Si hubiésemos tomado la ecuación de la izquierda, que se deriva con respecto a $x$, entonces al integrar usaríamos una función que depende de y: $g(y)$
d) Como aún no está bien definida esta función $f$ ya que no conocemos $g(x)$, necesitamos hacer algo mas para poder obtener $g(x)$
Se deriva (5), que es la función de $f(x, y)$ con respecto a la otra variable: $x$, aunque aún incompleta y sabiendo que
$$\frac{\partial f}{\partial x} = M$$.
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y^2}{2x^2} + g'(x)$$Pero esta derivada parcial es $M(x, y)$, así que se igualan
$$ - \frac{y^2}{2x^2} + g'(x) = 2 - \frac{y^2}{2\ x^2}$$$$ g'(x) = 2 $$
e) Se integra esta función para encontrar $g(x)$
$$g(x) = \int 2\ dx$$$$g(x) = 2x$$
Nota; en esta integral ya no se incluye una constante de integración, ¿por qué?.
Ahora agregamos este resultado a (5)
$$f(x, y) = \frac{y^2}{2x} + g(x)$$$$\qquad = \frac{y^2}{2x} + 2x$$$$\color {red} {f(x, y) = \frac{y^2}{2x} + 2x }$$
f) Y si recordamos que la idea era poner la siguiente expresión
$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$
como un diferencial total
$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = d\big( f(x, y) \big) $$
Y como ya encotramos esa función $f$
Nuestra ecuación ahora se puede poner de la siguiente manera
$$\Big( 2 - \frac{y^2}{2\ x^2} \Big) dx + \frac{y}{x}\ dy = 0$$
$$d\Big( \frac{y^2}{2x} + 2x \Big) = 0$$
g) Por último integramos
$$\int { d\Big( \frac{y^2}{2x} + 2x \Big) } = \int {0}dx$$
EJERCICIO 1 Hallar la solución general de la ecuación diferencial
$$2x(1 + \sqrt{x^2 - y}) dx - \sqrt{x^2 - y} dy = 0$$
SOLUCIÓN 1
- Checamos la condición
$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$
$$\frac{\partial}{\partial y} \Big ( 2x + 2x\sqrt{x^2 - y} \Big) = 2x \Big( - \frac{1}{2}\Big( \big ( x^2 - y\big)^{-1/2} \Big) \Big) = -x \big( x^2 - y \big) ^{- 1/2} $$
$$\frac{\partial}{\partial x} \big (- \sqrt{x^2 - y} \big) = - \frac{1}{2} \big ( x^2 - y\big)^{-1/2}(2x) = -x \big( x^2 - y \big) ^{- 1/2} $$ - Como las dos parciales son iguales, la ecuación diferencial se puede expresar como un diferencial total, procedemos a encontrar la función $f$, usando la expresión más sencilla que es nuevamente $N$.
$$\frac{d f}{dy} = - \sqrt{x^2 - y}$$ - Encontramos la función $f$
$$\int df= \int \big (- \sqrt{x^2 - y} \big )dx$$
$$f = \frac{(x^2 -y) ^{3/2}}{3/2} + f(x) = \frac{2}{3}{(x^2 -y) ^{3/2}} + g(x)$$ - Derivamos esta función $f$ incompleta con respecto a la otra variable, $x$
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2}{3} \Big( \frac{3}{2} (x^2 - y)^{1/2} \Big ) + g'(x) = (x^2 - y)^{1/2} + g'(x)$$ Y como$$\frac{\partial f}{\partial x} = M$$Entonces$$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \sqrt{x^2 - y}$$Y tenemos que$$\frac{2}{3}{(x^2 -y) ^{3/2}} + g(x) $$
EJERCICIO 3
EJERCICIO 4
FACTOR INTEGRANTE
Algunas ecuaciones del tipo (3) no cumplen la condición para que sean exactas (4). En tal caso, se puede usar un factor integrante del tipo $\mu (x, y)$. Así que si multiplicamos (4) por este factor integrante
$$\mu (x, y)M(x, y)\ dx + \mu (x, y)N(x, y)\ dy = 0$$Ahora, que ya suponemos que con la modificación, la ecuación es ya exacta, entonces debe cumplir con
$$\frac{\partial (\mu\ M)}{\partial y} = \frac{(\partial \mu\ N)}{\partial x}$$Y desarrollamos las parciales
$$\mu \frac{\partial M}{\partial y} + M \frac{\partial \mu}{\partial y} = \mu \frac{\partial N}{\partial x} + N \frac{\partial \mu}{\partial x}$$$$\mu \frac{\partial M}{\partial y} - \mu \frac{\partial N}{\partial x } = N \frac{\partial \mu}{\partial x} - M \frac{\partial \mu}{\partial y}$$$$\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x } = N \Big( \frac{1}{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial x}\Big) - M \Big( \frac{1}{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial y}\Big)$$Pero, lo que está entre paréntesis es
$$\frac{1}{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial x} = \frac{\partial\ ( Ln\ \mu )}{\partial x}$$Así que
$$\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x } = N \frac{\partial (Ln\ \mu)}{\partial x} - M \frac{\partial ( Ln\ \mu )}{\partial y}\qquad \qquad \qquad (6)$$Dado que no hay un método en especial para resolver la ecuación (6) Consideraremos dos casos
1). Que el factor integrante dependa solo de $x$, esto es $\mu = \mu(x)$ y por tanto $\frac{\partial ( Ln\ \mu )}{\partial y} = 0$, así que (6) queda como
$$\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x } = N \frac{\partial (Ln\ \mu)}{\partial x}$$Resolviendo esta ecuación
$$Ln\ \mu = \int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x }}{N}dx$$Y despejando $\mu$
$$\mu(x) = e^{\int \frac{M_y - N_x}{N}dx}$$
2). Que el factor integrante dependa solo de $y$, esto es $\mu = \mu(y)$ y por tanto $\frac{\partial ( Ln\ \mu )}{\partial x} = 0$, así que (6) queda como
$$\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x } = - M \frac{\partial (Ln\ \mu)}{\partial y}$$$$\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y } = M \frac{\partial (Ln\ \mu)}{\partial y}$$Resolviendo esta ecuación
$$Ln\ \mu = \int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y }}{M}dy$$Y despejando $\mu$
$$\mu(y) = e^{\int \frac{N_x - M_y}{M}dy}$$
EJEMPLO 2 Resolver la ecuación diferencial $x^2 + y^2 +x)dx + ydy = 0$SOLUCIÓN 2
Identificamos $M = x^2 + y^2 +x$ y $N = y$ y calculamos
$$M_y = 2y, \qquad N_x = 0$$Y observamos que no son iguales por lo que hay que calcular un factor integrante, considerando que $\mu (x)$
$$\mu(x) = e^{\int \frac{M_y - N_x}{N}dx}$$
Y resolvemos primero la integral
$$\int \frac{M_y - N_x}{N}dx$$$$\int \frac{2y - 0}{y}dx$$$$\int 2dx = 2x$$Por lo que nuestro factor de integración es
$$\mu (x) = e^{2x}$$Y multiplicamos la ecuación original por este factor
$$(e^{2x}(x^2 + y^2 +x)dx + ydy = 0)$$$$e^{2x}x^2 + e^{2x}y^2 + e^{2x}x)dx + e^{2x}ydy = 0$$Y observamos que ahora
$M_y = 2ye^{2x}$ y $N_x$
TABLA 1
TAREA para el 19 de febrero de 2019
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales exactas
1. $(3e^{3x} - 2x)dx + e^{3x}dy = 0\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ Sol:\ \ \ e^{3x}y - x^2 = c$
2. $2x(ye^{x^2} - 1)dx + e^{x^2}dy = 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad Sol:\ \ \ ye^{x^2} - x^2 = c$
3. $(cos\ y + y\ cox\ x)dx + (sen\ x - x\ sen\ y)dy = 0 \qquad Sol:\ \ \ x\ cos y + y\ sen x = c$
4. $[\ e^{2y} - y\ cos(xy)\ ]dx + [\ 2x\ e^{2y} - x\ cos (xy) + 2y\ ]dy = 0$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ Sol: \ \ \ xe^{2x} - sen(xy) + y^2 + c = 0$
5. $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2\ -\ cosx\ senx}{y\ (1\ -\ x^2)},\qquad y(0) = 2\qquad \qquad Sol:\ \ \ y^2\ (1\ -\ x^2)\ -\ cos^2x = 3$
6. $\Big( 1 + Ln\ x +\frac{y}{x} \Big) dx = (\ 1 - Ln\ x\ )dy \qquad Sol:\ \ \ -\ y + y\ Ln\ x + x\ Ln\ y = c$
Factor integrante
7. $y\ (x + y + 1)\ dx + (x + 2y)\ dy = 0\qquad \qquad \qquad Sol\ \ \ x\ y\ e^x\ +\ y^2\ e^x = 0$
8. $cos\ x\ dx + \Big( 1\ + \frac{2}{y} \Big)\ sen\ x\ dy = 0$
$Sol\ \ \ Ln| sen\ x | + y + Ln| y^2 | = c$
9. $(10 - 6y + e^{\ \textbf -\ 3x})\ dx - 2\ dy = 0\qquad \qquad \qquad \quad Sol \ \ \ \frac{10}{3} e^{3x} - 2\ y\ e^{3x} + x = c$
10. $(y^2 + xy^3)\ dx + (5y^2 - xy + y^3 sen\ y)\ dy = 0$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad Sol\ \ \ \frac{x}{y} + \frac{1}{2}x^2 + 5Ln| y | - cos\ y = c$
11. Determina si la ecuación diferencial siguiente es exacta resuelvela por el método visto en clase
$$(2x^2t - 2x^3)dt + (4x^3 - 6x^2t + 2xt^2)dx = 0$$
12.
No hay comentarios. :
Publicar un comentario