ED de segundo orden no homogéneas

A continuación tenemos una tabla de las posible propuestas para las funciones en la solución de ecuaciones diferenciales no homogéneas

Después les pongo  otros problema

EJEMPLO  1  Encontrar la Solución general de la ecuación diferencia

$$y'' - 8y' + 16y = (1 -x) e^{4x}$$

SOLUCIóN  1

Solución homogénea

$$y'' -8y' + 16 y = 0$$
primero encontramos la ecuación característica:  $m^2 - 8m + 16 = 0$
Al resolver esta ecuación tenemos
$$(m-4)(m-4) = 0$$ Tenemos dos raíces repetidas  $m = 4$.   Así  que la solución homogénea es:
$$y_h = C_1 e^{4x} + C_2 x e^{4x}$$

Solución particular
Aquí basado en la tabla de arriba, escogemos la solución particular
$$y_p =  (Ax + B)e^{4x}$$ Pero si vemos nuestra solución homogénea y esta propuesta Nos da soluciones linealmente dependientes, lo que significa que ya están esas soluciónes. 
Podríamos multiplicar la solución propuesta por $x$, pero, aún así, ya existe una de las soluciones, por lo que la solución es:
$$y_p =  x^2 (Ax + B) =  (Ax^3  +  Bx^2$$ De esta propuesta, encontramos la primera y segunda derivada  (Lo que está en rojo es lo que se está derivando. lo pongo para que sea un poco más legible lo que se está haciendo):

$$y'_p  =  (Ax^3  +  Bx^2)\color {red} {(4e^{4x})}  +  \color {red} {(3Ax^2 + 2Bx)} e^{4x}$$ $$\color {blue} {y'_p =  [ 4Ax^3  + (3A + 4B) x^2 + 2Bx ] e^{4x}  }$$

$$y'' = [ 4Ax^3  + (3A + 4B) x^2 + 2Bx] \color {red}{(4e^{4x})}  +  \color {red}{ (12Ax^2  +  2(3A + 4B)x  +  2B) }e^{4x}$$ $$y''_p =  [ (16Ax^3  +  (12A + 16B)x^2 +  8 Bx + 12Ax^2 + (6A + 8B)x  +  2B ] e^{4x}$$ $$\color {blue}  {y''_p  =  [ 16 Ax^3 + (24A + 16B)x^2  +  (6A + 16B)x  + 2B ]e^{4x}  }$$ Ahora sustituimos estos valores en la ecuación diferencial original:

$$y'' - 8y' + 16y = (1 -x) e^{4x}$$ $$[ 16 Ax^3 + (24A + 16B)x^2  +  (6A + 16B)x  + 2B ]e^{4x}  - 8[ 4Ax^3  + (3A + 4B) x^2 + 2Bx ] e^{4x}  + 16 (Ax^3  + Bx^2)e^{4x}  = (1 -x)e^{4x}$$ Como todoa los términos tienen el factor $e^{4x}$  podemos eliminarlo:

$$16 Ax^3 + (24A + 16B)x^2  +  (6A + 16B)x  + 2B   - 8[ 4Ax^3  + (3A + 4B) x^2 + 2Bx ]  + 16 (Ax^3  + Bx^2)  = 1 - x$$   Y agrupamos

$$(16A - 32A + 16A)x^3  +  (24A  +  16B  -24A  - 32A + 16B)x^2  + (6A + 16B - 16B)x  +  2B  =  1 - x$$ $$6Ax  + 2B  =  1 - x$$ Ahora igualnado los coeficientes respectivos, obtenemos el conjunto solución para las variables:

$$6A =  -1 \qquad \qquad y \qquad \qquad  2B  =  1$$ de donde:
$$A  =  - \frac{1}{6} \qquad \qquad y \qquad \qquad B  =  \frac{1}{2}$$ Y ya tenemos nuestra solución particular    

$$y_p  =  \Big( - \frac{1}{6}x^3  + \frac{1}{2} x^2  \Big)e{4x}$$ Y por y  por tanto,   nuestra solución general es:
$$y(x)  =  y_h  +  y_p$$ $$\boxed { \qquad  y(x)  =  C_1e^{4x}  +  C_2 x e^{4x}  +  \Big( - \frac{1}{6}x^3  + \frac{1}{2} x^2  \Big)e^{4x}\qquad }$$