LEY DE COULOMB
Cuando Charles Coulomb trabajaba con carga eléctricas, se encontró con el dilema de medir la fuerza que proporcionaban dichas cargas. Después de intertarlo por varios medio se le vino en mente un experimento realizado por su contemporáneo, Henry Cavendish. El experimento consistía en el uso de una balanza de torsión usada para medir la atracción gravitacional. Este aparato se muestra en la figura 1.
Fig. 1 Balanza de torsión usada por H. Cavendish, usada
para medir la atracción gravitacional entre dos cuerpos de masa m y M.El principio de esta balanza consiste en medir el ángulo $\theta$ que se genera por la atracción que se genera entre los dos cuerpos. Éste angulo es proporcional la fuerza gravitacional entre los cuerpos.
Coulomb uso el mismo principio para medir las cargas eléctricas entre dos cuerpos. Él usó un aparato muy similar, pero tuvo que hacer ciertas consideraciones, ¿cuáles fueron?
Fig. 2 Balanza de torsión de Coulomb
La fuerza eléctrica entre las esferas A y B de la figura 2, provoca que se atraigan o se repelan y el movimiento resultante provoca que el cable suspendido se tuerza. Gracias a que el momento de torsión del cable torcido es proporcional al ángulo de rotación del cable, una lectura de éste ángulo
da una medida cuantitativa de la fuerza eléctrica entre ambas se vuelve muy grande en comparación con la atracción de la gravedad y por lo tanto, esta última fuerza se puede ignorar.
A partir de los experimentos de Coulomb, se generalizan las propiedades de la fuerza eléctrica entre dos partículas inmóviles con carga. Para ello se usa el término de carga puntual, que hace referencia a una partícula con carga y de tamaño cero!!!.
Debido a observaciones experimentales, es posible encontrar la magnitud de una fuerza eléctrica, a veces llamada fuerza de Coulomb entre dos cargas puntuales establecidas por la ley de Coulomb
$$\boxed{ \quad F_{e} = k_{e}\frac{|q_{1}||q_{2}|}{r^2}\quad} \qquad \qquad \qquad (1)$$
Donde $k$ es una constante conocida como constante de Coulomb. Este valor depende de la elección de las unidades. La unidad de carga en el sistema SI es el Coulomb ( C ). La constate de Coulomb $k$ en unidades del SI tiene el valor de
$$\color {red}{k_{e} = 8.987 *10^9 N \cdot m^2/C^2}$$
Además, esta constante se expresa como
$$k_{e} = \frac{1}{4 \pi \epsilon _{0}}$$
Donde la constante $\epsilon _{0}$ (letra griega minúscula épsilon) se conoce como la permitividad del vacío cuyo valor es
$$\epsilon _{0} = 8.8542 * 10^{-12}\ C^{2}/(N \cdot m^2) $$
LA CARGA ESTÁ CUANTIZADA
Cuando se transfiere carga eléctrica de un objeto a otro, la transferencia no se efectúa en unidades arbitrariamente pequeñas, lo que quiere decir que el flujo de carga no es continuo.
Los experimentos demuestran que la carga eléctrica siempre existe solamente en cantidades que son múltiplos enteros de cierta magnitud elemental de carga $\textbf{e}$. Es decir
$$\textbf q = ne \qquad n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3. ... \qquad\qquad\qquad\qquad (2)$$
Donde, (con cuatro cifras significativas)
$$\textbf e = 1.602 * 10^{-19} C$$
El electrón y el protón son ejemplos de partículas comunes que tienen una unidad fundamental de carga, El electrón tiene una carga de $-e$ y el protón una de $+e$
La ecuación (2) nos dice que es posible tener en un objeto, una carga neta de + 10$e$ o de - 6$e$ pero nunca una de + 3.57$e$ , lo que quiere decir que cuando los valores de una propiedad quedan restringidos a múltiplos discretos de una magnitud básica, se dice que la propiedad está cuantizada.
Los átomos comunes son neutros desde el punto de vista eléctrico, o sea que contienen cantidades iguales de carga positiva y negativa. Su núcleo contiene $Z$ protones, donde $Z$ se conoce como número atómico, y por tanto tiene una carga de $+Ze$
EJEMPLO 1
Una moneda de cobre de 3.11 gramos, por ser eléctricamente neutra, contiene la misma carga positiva y negativa. ¿Qué magnitud tienen estas cargas iguales?
SOLUCIÓN 1
Lo primero que tendremos que encontrar una manera de encontrar una fórmula para encontrar q. Sin mucho formalismo sabemos que para ello es necesario recordar que el número de Avogadro nos da el número de átomos por mol del elemento: $N_{A} = 6.02 * 10^{23} \frac{Atomos}{mol}$ y la Masa molar nos da el número de gramos de un elemento por mol: $M = 63.546 \frac{gr}{mol}$.
Si dividimos $\frac{N_{A} \ Atomos/mol }{M \ gr/mol} $ tendremos $Atomos/gr$ Y si ésta cantidad la multiplicamos por la masa de la moneda tendremos: $\frac{Atomos}{gr} * gr = Atomos$, o lo que es lo mismo
$$N = \frac{N_{A}}{ M} * m$$
Donde, $N$ es el número de átomos que contiene la moneda, pero necesitamos saber cuantos electrones ( o protones, ya que la carga neta es neutra) hay en cada átomo de cobre para encontrar la carga por átomo y luego multiplicarla por el número de átomos que contiene la moneda., Esto lo podemos encontrar multiplicando $N$ por la carga de cada átomo
$$q = \frac{N_{A}}{M}* m*Z*e$$
$$q = \frac{6.02*10^{23}\frac{Atomos}{mol}}{63.546 \ \frac{gr}{mol}}*3.11 gr*29 \frac{electrones}{átomo}*(-1.6*10^{-19}\frac{C}{electrón}) =$$
$$\color {red} {q = 136, 705. 71 \ C }$$
LEY DE COULOMB: FORMA VECTORIAL
Hasta este momento nos hemos ocupado sólo de la magnitud ejercida por una carga sobre otra, la cual se calcula usando la ley de Coulomb. Sin embargo, la fuerza también tiene propiedades direccionales por ser un vector. En el caso de esta ley, su dirección la determina el signo relativo de las dos cargas eléctricas.
La ley de Coulomb, expresada en forma vectorial para una fuerza eléctrica ejercida por una carga $q_{1}$ sobre una segunda carga $q_{2}$ se puede expresar como
$$\overrightarrow {\textbf F}_{12} = k \frac{q_{1}q_{2}}{r^2} \ \hat{\textbf r}_{12}$$
Donde $\hat {\textbf r}_{12}$ es un vector unitario dirigido desde $q_{1}$ hasta $q_{2}$ como se observa en la figura 3
OBSERVACIÓN. Es importante aclarar en este punto, que debido a la gran cantidad de autores que escriben sobre un tema, será necesario entender su notación sobre ellos.
La notación vectorial no está del todo estandarizada por lo que cada autor escribe a su manera y este tema de la notación es muy variada.
Aquí, nosotros designaremos la notación vectorial de la siguiente manera. Si queremos designar una fuerza $F$ sobre una carga $q_{1}$ debido a una carga $q_{2}$ la representaremos de esta manera:
$$\vec {\textbf F}_{12}$$
Donde el primer subíndice: 1 , representa en qué carga se aplica la carga ( $q_{1}$ ) y el segundo subíndice se refiere a quien ejerce la fuerza, en este caso la carga $q_{2}$
Fig. 3 Dos cargas puntuales separadas por una distancia $r$, ejercen una fuerza mutua
que está determinada por la ley de Coulomb. La fuerza $\vec F _{21}$ ejercida por $q_{2}$ sobre $q_{1}$ es igual pero en sentido opuesto a la fuerza $\vec F _{12}$ ejercida por $q_{1}$ sobre $q_{2}$EJEMPLO 2
Considera tres cargas puntuales ubicadas en las esquinas de un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura 4, donde $q_{1} = q_{3} = 5.0 \mu C$, $q_{2} = - 2.0 \mu C$ y $ a = 0.10 m$. Encuentra la fuerza resultante que se ejerce sobre $q_{3}$.
SOLUCIÓN 2
Por supuesto que la gráfica ya está dado de la ubicación de las partículas, pero cuando no se nos da la gráfica tal, es necesario hacer en base la la información dada. Es importante graficar las fuerzas con su respectiva dirección.
Primero encontramos la magnitud de $\vec {\textbf F}_{23}$
$$F_{23} = k \frac {|q_{2}| |q_{3}|}{a^2}=$$
$$= (8.99*10^9 \ N*m^2/C^2)* \frac{(2*10^{-6} C)(5*10^{-6} C)}{(0.1 m)^2} = 8.99 N \approx 9 N$$
Luego encontramos la magnitud de $\vec {\textbf F}_{13}$
$$F_{13} = k \frac {|q_{1}| |q_{3}|}{(\sqrt{2} \ a)^2} = k \frac {|q_{1}| |q_{3}|}{2* a^2}$$
$$= (8.99*10^9 \ N*m^2/C^2)* \frac{(5*10^{-6} C)(5*10^{-6} C)}{2*(0.1 m)^2} = 11.23 N \approx 11 N$$
Ahora encontramos las componentes de $x$ y $y$ de la fuerza $\vec {\textbf F}_{13}$
$F_{13x} = F_{13}*cos(45°) = 7.94 N$
$F_{13y} = F_{13}*sen(45°) = 7.94 N$
Ahora encontramos las componentes resultantes
$F_{3x} = F_{13x} + F_{23x} = 7.94 N + (- 8.99 N) = -1.05 N$
$F_{3y} = F_{13y} + F_{23y} = 7.94 N + 0 = 7.94 N$
Ahora expresamos la fuerza resultante que actúa sobre $q_{3}$ en forma de vectores unitarios.
$$\vec {\textbf F}_{3} = (- 1.05 \hat {\textbf i} + 7.94 \hat {\textbf j}) N$$
EJERCICIO 1
Tres cargas puntuales se encuentran a lo largo del eje $x$. La carga positiva $q_{1} = 15 \ \mu C$ está en $x = 2.00 \ m$, la carga positiva $q_{2} = 6.00 \ \mu C$ está en el origen y la fuerza neta que actúa sobre $q_{3}$ es cero. ¿Cuál es la coordenada $x$ de $q_{3}$?.
Respuesta: $x = 0.755 \ m$
EJERCICIO 2
Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con una masa de $3.0*10^{-2} \ kg$, cuelgan en equilibrio como se muestra en la figura 5. La longitud de cada cuerda es de $0.15 \ m$ y el ángulo $\theta$ es de $5°$. Encuentra la magnitud de la carga sobre cada esfera.
Fig. 5. Gráfica del ejercicio 2
TIP. Recuerden que en este tipo de problemas tienen que hacer un diagrama de cuerpo libre, donde se deben de mostrar las fuerzas presentes en las esferas, pero no se muestran simultáneamente y a a partir de este diagrama se procede a su solución.
Respuesta: $|q| = 4.4 * 10^-8 \ C$
EJERCICIO 3En las esquinas de una triángulo equilátero existen tres cargas puntuales cuyas cargas son: $q_{1} = +2.00 \ \mu C$, $q_{2} = +7.00 \ \mu C$ y $q_{3} = - 4.00 \ \mu C$. Calcula la fuerza eléctrica total sobre la carga de valor $+ 7.00 \ \mu C$
EJERCICIO 4
En las esquinas de un cuadrado de lado $a$, existen cuatro partículas con carga q, 2q, 3q y 4q distribuidas en forma consecutiva en sentido anti horario respectivamente. ¿Cu+al es a fuerza total ejercida sobre q?
EJERCICIO 5
a) Calcula el número de electrones que contiene un pequeño alfiler eléctricamente neutro, hecho de plata con una masa de 10.0 gr. La plata tiene 47 electrones por átomo y su masa molar es de 107.87 gr/mol.
b) se le agregan electrones al alfiler hasta que la carga neta negativa sea igual a 1.00 mC. ¿Cuántos electrones es necesario añadir por cada $10^9$ electrones ya presentes?
TAREA 1. PREGUNTA. Experimentalmente, como encontrarías el valor de $k_{e}$ en la ecuación de Coulomb?. Describe en detalle el proceso de tu experimento.
PROBLEMAS
- RR. Una carga puntual de +3 $\mu C$ de $q_{1}$ se halla a una distancia $d$ de otra de - 6 $\mu C$ de $q_{2}$. ¿Cuál es la razón |$\vec {\textbf F}_{12}| \ / \ |\vec {\textbf F}_{21}$| ?
A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 18 - RR Dos bolas de plomo de 200 libras se hallan a una distancia de 1 m un de otra. Poseen la misma carga positiva $q$, ¿Qué carga producirá entre ellas una fuerza electrostática que tenga la misma magnitud que el peso de una de las bolas?
A) 1 x $10^{-4} C$ B) 1 x $10^{-7} C$ B) 3 x $10^{-4} C$ B) 2 x $10^{-2} C$ - RR Dos pequeñas esferas conductoras idénticas se encuentran a una distancia de 1 m una de otra. Originalmente poseen carga carga positiva y la fuerza entre ellas es $F_{0}$ Después, la mitad de la carga de una se deposita en la otra, Ahora la fuerza entre ellas es:
A) $F_{0}/4$, B) $F_{0}/2$, C) $3F_{0}/4$, D) $3F_{0}/2$, E), $3F_{0}$ - S Tres cargas iguales $q$ que están en los vértices de un triángulo equilátero de lados $a$. Calcula la magnitud y dirección de la fuerza en uno de sus vértices.
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