Integrales de linea

INTEGRALES DE LINEA

Existe una integral, que es similar a la integral simple, excepto que en lugar de integrar sobre un intervalo $[a, b]$, integramos sobre una curva  $C$.  Estas integrales se llaman integrales de línea, aunque en mejor nombre sería el de "integrales curvilíneas".
Estas fueron inventadas para resolver problemas relacionados con el flujo de fluidos, fuerzas, electricidad y magnetismo.

Terminología    Supón que $C$ es una curva parametrizada por $x = x(t), \,\, y = y(t), \,\, a \leq t \leq b$  y que A y B son los puntos inicial y final $(x(a),  y(a))$  y  $(x(b),  y(b))$ respectivamente, entonces, podemos afirmar que:

• $C$  es una curva suave si $x'(t)$  y $y'(t)$ son continuas sobre el intervalos cerrado $[a,  b]$ y no son simultáneamente cero sobre el intervalo abierto $(a,  b)$.
• $C$  es una curva suave por partes si consiste en un número finito de curvas suaves $C_{1},  C_{2},..., C_{n}$ unidasextremos por extremo, esto es
  $$C = C_{1} \cup C_{2}  \cup .... \cup  C_{n}$$
• $C$  es una curva cerrada si A = B.
• $C$  es una curva simple  si  no se cruza a sí misma entre A y B
• $C$  es una curva cerrada simple  si A = B  y la curva no se cruza a sí misma.
• Si $C$  no es una curva cerrada, entonces la orientación impuesta sobre $C$  es la dirección que corresponde a los valores crecientes de $t$. 

Figura 1.  Tipos de curvas

Esta misma terminología se puede extrapolar a las curvas en el espacio tridimensional.

Integrales de línea en el plano
Sea $z = f(x, y)$  una función definida en alguna región bidimensional que contiene a la curva suave $C$ definida por  $x = x(t), \,\, y = y(t), \,\, a \leq t \leq b$.  
Los siguientes pasos conducen a las definiciones de tres integrales  de línea en el plano

• Sea  
  $$a = t_{0} < t_{1} < t_{2} < ....  < t_{n} = b$$
  una partición del intervalo paramétrico $[a,  b]$  y considera que los puntos correspondientes sobre la curva $C$  o puntos de partición son:
  $$A = P_{0},  P_{1},  P_{2}, ......,  P_{n} = B$$
• Los puntos de partición $P_{k} = ( x(t_{k}),  y(t_{k}))$,  $k = 0, 1, 2 , ...., n$  dividen a $C$ en submarcos de longitudes $\Delta s_{k}$. Considera que la proyección de cada submarco  sobre los ejes $x$  y $y$ tienen longitudes $\Delta x_{k}$  y $\Delta y_{k}$ respectivamente.
• Sea $\parallel P \parallel$ la longitud del subarco mas largo.
• Escoge un punto muestra $(x_{k}^{*}, y_{k}^{*})$ sobre un subarco como se muestra en la figura 2. Este punto corresponde a un número $t_{k}^{*}$ en el intervalo k-ésimo $[t_{k - 1}, t_{k}]$  en la partición del intervalo $[a,  b]$

Figura 2

• Forma la sumas
  $$\sum_{k = 1}^{n} f(x_{k}^{*},  y_{k}^{*}) \Delta x_{k} \qquad  \sum_{k = 1}^{n} f(x_{k}^{*},  y_{k}^{*}) \Delta y_{k} \quad y \quad  \sum_{k = 1}^{n} f(x_{k}^{*},  y_{k}^{*}) \Delta s_{k} $$
  Tomamos el límite de estas tres sumas cuando $\parallel P \parallel \rightarrow 0$ y tenemos  las integrales siguientes
  
  a)   La integral de línea de $f$ con respecto a $x$ a lo largo de  A a B es:
  $$\int_{C} f(x, y) dx\qquad \qquad \qquad (1)$$
  b)   La integral de línea de $f$ con respecto a $y$ a lo largo de  A a B es:
  $$\int_{C} f(x, y) dy \qquad \qquad \qquad (2)$$
  c)   La integral de línea de $f$ con respecto a la longitud de arco $s$ a lo largo de  A a B es:
  $$\int_{C} f(x, y) ds \qquad \qquad \qquad (3)$$

Método de evaluación:  C  definida paramétricamente
Las integrales de línea definidas líneas atrás, se evalúan de dos maneras, dependiendo de si la curava $C$ está definida paramétricamente o mediante una función explícita.  En cualquier caso, la idea básica es convertir la integral de línea en una integral definida de una sola variable.
Sí $C$  es una curva suave parametrizada por $x = x(t),  y = y(t),\,\, \, a \leq t \leq b$  entonces  $dx = x'(t) dt,  \quad dy = y'(t) dt$   y por ello, (1)  y (2) se convierten respectivamente:

$$\int _{C} f(x, y) dx = \int_{a}^{b} f[ x(t), y(t)] x'(t) dt \qquad \qquad \qquad (4)$$

$$\int _{C} f(x, y) dy = \int_{a}^{b} f[ x(t), y(t)] y'(t) dt \qquad \qquad \qquad (5)$$

Además sabemos que $ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}  dt$   y por tanto  (3) se puede escribir como:

$$\int_{C} f(x, y)  ds = \int_{a}^{b} f[ x(t),  y(t)] \sqrt{[x'(t)]^2 + [ y'(t)]^2 } dt \qquad \qquad (6)$$

EJEMPLO 1

Evalúa   a)  $\int_{C} xy^2 dx\, , \qquad$  b)  $\int_{C} xy^2 dy\, , \qquad $ c) $\int_{C} xy^2 ds$

Sobre el cuarto de círculo C definido por $x = 4 cos t$,  $y = 4 sen t$,  $0 \leq t \leq \pi / 2$  Ver la figura 3

Figura 3

Solución

Método de evaluación:  C definida por $y = g(x)$ 

Si la curva $C$  está definida por una función explícita  $y = g(x)$,  $a \leq x \leq b$, es posible utilizar $x$  como un parámetro.   con $dy = g'(x) dx$ y   $ds = \sqrt{1 +  [g'(x)]^2} dx$,   las integrales de línea (1),  (2),  (3) se vuelven a su vez a:

$$\int_{C} f(x, y) dx = \int_{a}^{b} f[x, g(x)] dx \qquad \qquad \qquad (7)$$

$$\int_{C} f(x, y) dy = \int_{a}^{b} f[x, g(x)] g'(x) dx \qquad \qquad \qquad (8)$$

$$\int_{C} f(x, y) ds = \int_{a}^{b} f[x, g(x)] \sqrt{1 + [g'(x)]^2 }dx \qquad \qquad (9)$$

Una integra de línea a lo largo de una curva $C$ suave por partes se define como la suma de las integrales sobre las distintas curvas suaves cuya unión compone a $C$.
$$\int_C f(x, y) ds  =  \int_{C_1} f(x,  y) ds  +  \int_{C_2} f(x,  y) ds $$


Notación
En muchas aplicaciones, las integrales de línea aparecen como una suma
$$\int_{C} P(x, y) dx + \int_{C} Q(x, y) dy$$
Aunque, es una práctica común escribir esta suma sin el segundo símbolo integral como
$$\int_{C} P(x, y) dx + Q(x, y) dy \qquad  o \qquad \int_{C} Pdx + Qdy\quad \qquad(10)$$

EJEMPLO 2
Evalúa  $\int_{C} xy dy + x^2 dy$,  donde $C$  está dada por  $y = x^3, \quad -1\leq x \leq 2$  Ver la figura 4

Figura 4

Solución
Lo que se hace, es poner la integral de línea en función de solo una variable, digamos $x$, aunque pueden hacer aparte la sustitución de la variable $y$.
$$\int_{C} xy dx + x^2 dy = \int_{-1}^{2} x(x^3) dx + x^2 (3x^2 dx) =$$
$$\int_{- 1}^{2} 4 x^4 dx = \frac{4}{5}x^5 \bigg|_{- 1}^{2} = \frac{4}{5} [(2)^5 - (-1)^5] = \frac{132}{5}$$

EJEMPLO 3
Evalúa  $\int_{C} y^2 - x^2 dy$  sobre la curva cerrada $C$ que se muestra en la figura 5.

Figura 5

SOLUCIÓN 3

Puesto que $C$ es suave y por partes, la integral se puede expresar como una suma de integrales. 

$$\int_{C} = \int_{C_{1}} + \int_{C_{2}} + \int_{C_{3}}$$

Donde $C_{1},  C_{2},  C{3}$  son las curvas que se muestra en la figura 5

Para $C_{1}$ usamos el parámetro x y puesto que $y = 0$,  $dy = 0$, entonces
$$\int_{C_{1}} y^2 dx - x^2 dy = \int_{0}^{2} (0) dx - x^2 (0) = 0$$

Para $C_{2}$,  usamos a $y$ como parámetro.  De $x = 2$,  $dx = 0$ y tendremos
$$\int_{C_{2}}y^2 dx - x^2 dy = \int_{0}^{4} y^2 (0) - 4 dy =  - \int_{0}^{4} 4 dy = -4 y \bigg|_{0}^{4} = - 16$$

Y por último, en $C_{3}$,  usamos de nuevo a $x$  como parámetro y  por tanto $y = x^2$  y $dy = 2 x dx$, así que
$$\int_{C} y^2 dx - x^2 dy = \int_{2}^{0} (x^2)^2 dx -  x^2 (2x dx) = \int_{2}^{0} ( x^4  - 2 x^3)dx = $$
$$ = \bigg[\frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{2} x^4 \bigg]_{2}^{0} = \frac{8}{5}$$

Así que:
$$\int_{C_{1}} y^2 dx - x^2 dy = 0 +  (- 16) + \frac{8}{5} = - \frac{72}{5}$$





EJERCICIOS

INTEGRALES DE LINEA DE CAMPOS VECTORIALES

Les desarrollo el temas mas tarde. por lo pronto les dejo los ejercicios que les pedí hicieran hoy miércoles 1 de nov.

Quedamos que para checar si un campo vectorial es conservativo debería de existir un función potencial $\phi$ tal que $\vec{\textbf F} = \Delta \phi$ Y para que $\vec{\textbf F}$ sea independiente de su trayectoria se requiere que
$$\boxed{\ \ \ \frac{\partial P}{\partial y}  =  \frac{\partial Q}{\partial x}, \qquad \frac{\partial P}{\partial z}  =  \frac{\partial R}{\partial x} \qquad y \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}  =  \frac{\partial R}{\partial y} \ \ \ }$$

EJEMPLO 4   Demostremos que $\vec{\textbf F} = (e^x cos y + yz) \hat{\textbf i} +  (xz - e^x sen y) \hat{\textbf j} + (xy + z)\hat{\textbf k} $ es conservativo y determinemos una función potencial para él.

SOLUCIÓN 4
a)  Lo primero que se debe checar, es que el dominio de $\vec{\textbf F}$ sea conexo y simplemente conexo  y dicho campo cumple esta premisa. 

Una vez hecho la prueba anterior, aplicamos el criterio de campos conservativos 
Ahora identificamos a P, Q  y  R
$$P = e^x cos y + yz \qquad  Q = xz - e^x sen y \qquad y \qquad R = xy + z$$
$\frac{\partial P}{\partial y} = - e^x sen y + z \qquad \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = z - e^x sen y$
$\frac{\partial P}{\partial z} =  y \qquad \qquad \frac{\partial R}{\partial x} = y$
$\frac{\partial Q}{\partial z} =  x \qquad \qquad \frac{\partial R}{\partial y} = x$
Se comprueba que el campo vectorial  $\vec{\textbf F}$ es  conservativo. 

b) En este inciso traten de ser lo mas ordenados posible para que no tengan problemas en su resolución.
Lo primero que les recomiendo es que pongan la relación que sigue en el orden que los utilizaran.   Recuerden que se empezará con alguna de las tres derivadas parciales, la que quieran pero háganlo en orden.  Yo las pondré en este orden y ustedes en el que gusten.
$$\frac{\partial \phi }{\partial x} = P \qquad \frac{\partial  \phi }{\partial y} = Q\qquad  \frac{\partial  \phi }{\partial y} = R \qquad \qquad (11) $$

Ahora, 
$\rhd$  Tomamos la primera parcial y resolvemos:
$$\frac{\partial \phi}{\partial x} = P$$$$\frac{\partial \phi}{\partial x} = e^x cos y + yz$$$$\phi = \int (e^x cos y + yz) dx$$
Es de aclarar que podemos sustituir $\partial x$  por  $d x$ por el hecho de que en este momento, las variables $y$  y $ z$  se mantienen constantes, así que:
$$\phi = e^x cos y + xyz + f(y, z) \qquad \qquad (12)$$
Se agrega la función $f(y, z)$, que es la constante de integración, pero que depende de las variables restantes, que en nuestro caso son $y$  y $z$.

$\rhd$ Pues ya tenemos una expresión para $\phi$,  pero aun no está plenamente definida porque contiene la constante de integración.
El siguiente paso es, obtener la segunda derivada parcial de (11)  $\frac{\partial \phi}{\partial y}$  y por supuesto, se hará con la función que acabamos de encontrar
$$\frac{\partial \phi}{\partial y} = - e^x sen y +  xz  +  \frac{\partial f(y, z)}{\partial y}$$Pero  de (11) sabemos que 
$$\frac{\partial \phi}{\partial y} = Q$$$$  - e^x sen y +  xz  +  \frac{\partial f(y, x)}{\partial y} =  xz - e^x sen y$$$$\frac{\partial f}{\partial y}  = 0$$
$\rhd$  Ahora encontramos  f integrando la última expresión
$$f(y, z) = g(z) $$Recuerden que la integral de cero es una constante, y esta debe depender de la última variable que es $z$ y ahora sustituimos el valor de $f(y, z)$  en (12):
$$\phi = e^x cos y + xyz + g(z) \qquad \qquad (13)$$ 
$\rhd$  Por último,  derivamos (13)  con respecto de la última variable que es $z$
$$\frac{\partial \phi }{\partial z}  =  xy + \frac{dg}{dz}$$pero sabemos de (11) que$$\frac{\partial \phi}{\partial z} = R$$$$xy + \frac{dg}{dz} = xy + z$$$$\frac{dg}{dz}  =  z$$Y ahora integramos
$$g = \int z dz =  \frac{1}{2} z^2 + C$$Por lo que finalmente tenemos
$$\boxed{\ \ \ \phi = e^x cos y + xyz + \frac{1}{2} z^2  +  C\ \ \ }$$
Muchos autores, atinadamente usan la constante de integración final C,  que matemáticamente, para cada valor de C nos da una función potencia lo que conlleva a que habrá un infinito de funciones potenciales.