Cuando se golpea una pelota de golf en el campo de juego, una gran fuerza media F actúa sobre la pelota durante un corto espacio de tiempo $\Delta t$, haciendo que ésta se acelere desde el reposo hasta una velocidad final $v_f$.
Es sumamente difícil medir tanto la fuerza como la duración de su acción; pero el producto de ambas $F \Delta t$ puede calcularse en función del cambio de velocidad resultante de la pelota de golf. A partir de la segunda ley de Newton, sabemos que
$$\vec {\textbf F} = m \vec {\textbf a} = m \frac{\vec {\textbf v}_f - \vec {\textbf v}_0}{\Delta t}$$Y reagrupando tendremos
$$\vec {\textbf F} \Delta t = m (\vec {\textbf v}_f - \vec {\textbf v}_0 )$$o mejor aún
$$\boxed{\ \ \ \vec {\textbf F} \Delta t = m \vec {\textbf v}_f - m \vec {\textbf v}_0 \qquad \qquad \qquad (1) \ \ \ }$$Esta ecuación es muy útil para resolver problemas relacionados con choques, a los que se han asignado nombres especiales a sus términos.
El impulso $\vec {\textbf F} \Delta t$ es una cantidad vectorial de igual magnitud que el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo en el que actúa. Su dirección es la misma que la de la fuerza.
La cantidad de movimiento $\vec {\textbf p}$ de una partícula es una cantidad vectorial de igual magnitud que el producto de su masa m por su velocidad $\vec {\textbf v}$.
$$\vec {\textbf p} = m \vec {\textbf v}$$Por tanto, la ecuación (1) puede enunciarse verbalmente así:
$$\text{Impulso} (\vec {\textbf F} \Delta t) = \text{Cambio de la cantidad de movimiento} (m \vec {\textbf v}_f - m \vec {\textbf v}_0)$$
La unidad del SI del impulso es el newton-segundo (N • s). La unidad de la cantidad de movimiento es el kilográmetro por segundo (kg • m/s). Resulta conveniente distinguir entre estas unidades, aun cuando en realidad sean iguales:
$$N \cdot s = \frac{Kg \cdot m}{s^2} \text{x} s = Kg \cdot m/s$$
Las unidades correspondientes en el SUEU son la libra-segundo (Ib • s) y el slug-pie por segundo (slug • ft/s).
EJEMPLO 1 La cabeza de un mazo de 3 kg se mueve a una velocidad de 14 m/s en el momento que golpea un perno de acero. Se detiene a los 0.02 s. Determina la fuerza media sobre el perno.
SOLUCIÓN 1
Considerando que la dirección hacia arriba es positiva y que la cabeza inicialmente se mueve hacia abajo, entonces tendremos $v_0 = 14\ m/s$, $v_f = 0$, $m = 3\ kg$ y $\Delta t = 0.02\ s$
$$\vec {\textbf F} \Delta t = m \vec {\textbf v}_f - m \vec {\textbf v}_0 = 0 - (3\ Kg)(- 14\ m/s) = 42.0\ N\cdot m$$Luego
$$F = \frac{42\ N \cdot m}{0.02\ s} $$$$\boxed{\ \ \ 2,100\ N \ \ \ }$$
EJEMPLO 2 Una pelota de béisbol de 0.15 kg que se mueve hacia el bateador a una velocidad de 30 m/s es golpeada con un bat, lo cual causa que se mueva en dirección contraria a una velocidad de 42 m/s. (Usa como referencia la figura 1) Determina el impulso y la fuerza media ejercida sobre la pelota si el bat está en contacto con la pelota durante 0.002 s.
Fig. 1
SOLUCIÓN 2Tenemos los siguientes datos:
m = 0.15 kg. $v_0$= - 30 m/s, $v_f$ = + 42 m/s
Tenemos que encontrar, el impulso $F \Delta t$ y $\Delta t$
El impulso lo calculamos con
$$F \Delta t = m(v_f - v_0) $$$$= (0.15\ kg)[42\ m/s - (-30\ m/s)]$$$$\boxed{\ \ \ F \Delta t = 10.8\ Kg \cdot m/s \ \ \ }$$
Ahora,
$$\Delta t = \frac{10.8\ Kg \cdot m/s }{0.002\ s}$$$$\boxed{\ \ \ F = 5,400\ N\ \ \ }$$
LEY DE LA CONSERVACIÓN DELA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Consideremos una colisión de frente entre las masas $m_1$ y $m_2$ , como se muestra en la figura 2. Supón que las superficies están libres de fricción. Indicamos sus velocidades antes del impacto como $\textbf u _1$, y $\textbf u _2$ , y después del impacto como $\textbf v _1$, y $\textbf v _2$. El impulso de la fuerza $\textbf F _1$ que actúa sobre la masa de la derecha es
$$F_1 \Delta t = m_1 v_1 - m_1 u_1$$
En forma similar, el impulso de la fuerza F, sobre la masa de la izquierda es
$$F_2 \Delta t = m_2 v_2 - m_2 u_2$$
Durante el tiempo $\Delta t$, $\textbf F _1 = - \textbf F _2$, de modeo que
$$F_1 \Delta t = - F_2 \Delta t$$o Bien
$$m_1 v_1 - m_1 u_1 = - (m_2 v_2 - m_2 u_2$$Y, ahora reagrupamos
$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$
Fig 2
Que expresado en término comunes es
Cantidad de movimiento total antes del impacto = Cantidad de movimiento total después
del impacto
Que no es más que un enunciado de la ley de la conservación de la cantidad de energía
EJERCICIO 1 Supongamos que una masa $m_1$ de 8 kg que se mueve a la derecha a 4 m/s choca con una masa $m_2$ de 6 kg que se mueve a la izquierda a 5 m/s. ¿Cuál es la cantidad de movimiento total antes y después del impacto?
SOL. + 2 Kg . m/
EJERCICIO 2 Un cañón de 1,400 kg montado sobre ruedas dispara una bala de 60 kg en dirección horizontal con una velocidad de 50 m/s, como se muestra en la figura 3. Suponiendo que el cañón se pueda mover libremente, ¿cuál será su velocidad de retroceso?
CHOQUES ELÁSTICOS E INELÁSTICOS
Si la energía cinética permanece constante en un choque (el caso ideal), se dice que el choque es completamente elástico. En este ejemplo no se pierde ninguna energía en forma de calor o deformación en un choque. Una bola de acero templado que se deja caer sobre una placa de mármol se aproxima a lo que sería un choque completamente elástico.
Cuando los cuerpos que chocan se adhieren entre sí y se mueven como un solo cuerpo después del choque, se dice que el choque es completamente inelástico. Una bala que se incrusta en un bloque de madera es un ejemplo de este tipo de choque. La mayoría de los choques se encuentran entre estos dos extremos
En una colisión completamente elástica entre dos masas m1 y m,, podemos decir que tanto la energía como la cantidad de movimiento se conservan. Por tanto, es posible aplicar dos ecuaciones:
Energía cinética
$$\frac{1}{2}m_1 u_1^2 + \frac{1}{2}m_2 u_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2$$
Cantidad de movimiento
$$m_1u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$
Simplificamos ambas
$$m_1(u_1^2 - v_1^2) = m_2(v_2^2 - u_2^2)$$$$m_1(u_1 - v_1) = m_2(v_2 - u_2)$$
Ahora dividimos la primera ecuació entre la segunda
$$\frac{u_1^2 - v_1^2}{u_1 - v_1} = \frac{v_2^2 - u_2^2}{v_2 - u_2}$$
Ahora factorizamos el numerador y nos queda
$$u_1 + v_1 = u_2 + v_2$$O bien
$$v_1 - v_2 = u_2 - u_1 = - (u_1 - u_2)$$
Por consiguiente, en el caso ideal de un choque completamente elástico, la velocidad relativa después del choque, $v_1 - v_2$, es igual al valor negativo de la velocidad relativa antes del choque. Cuanto más parecidas sean estas cantidades, tanto más elástica será la colisión.
La relación negativa de la velocidad relativa después del choque entre la velocidad relativa antes del choque se llama coeficiente de restitución.
El coeficiente de restitución e es la razón o relación negativa de la velocidad relativa después del choque, entre la velocidad relativa antes del choque.
$$e = - \frac{v_1 - v_2}{u_1 - u_2}$$o bien$$\boxed{\ \ \ e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} \qquad \qquad \qquad (2)\ \ \ }$$
Si el choque es completamente elástico, entonces e = 1. Si el choque es completamente
inelástico, e = 0. En el caso del choque inelástico, los dos cuerpos salen despedidos con la
misma velocidad, es decir, $v_2 = v_1$
En general, el coeficiente de restitución tiene un valor entre 0 y 1.
Un método sencillo para determinar el coeficiente de restitución aparece en la figura 3. Una esfera del material que se va a medir se deja caer sobre una placa fija, desde una altura $h_1$ El rebote se mide a una altura $h_2$. En este caso, la masa de la placa es tan grande que $v_2$, es aproximadamente 0. Por lo tanto,
$$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = - \frac{v_1}{u_1}$$
La velocidad $u_1$ es la velocidad adquirida durante la caída de la altura $h_1$ y se determina a partir de la ecuación
$$u_1^2 - u_0^2 = 2gh_1$$Pero como la esfera parte del reposo $u_0 = 0$por lo tanto
$$u_i^2 = 2gh_1$$o bien
$$u_1 = \sqrt{2 g h_1}$$
Fig 3.
Hemos considerado la dirección hacia abajo como positiva. Si la pelota rebota hasta una
altura $h_2$ , su velocidad de rebote $v_l$ debe ser $ - \sqrt{ 2gh_2}$. (El signo menos indica el cambio de dirección.) Así pues, el coeficiente de restitución está dado por
$$e = - \frac{v_1}{u_1} = \frac{- \sqrt{2 g h_2}}{\sqrt{2 g h_1}{}}$$$$\boxed{\ \ \ e = \sqrt{\frac{h_2}{h_1} } \ \ \ }$$
EJEMPLO 3 Una pelota de 2 kg que se desplaza hacia la izquierda con una rapidez de 24 m/s choca de frente con otra pelota de 4 kg que viaja hacia la derecha a 16 m/s.
(a) Encuentra la velocidad resultante si las dos pelotas se quedan pegadas después del choque,
(b) Determina sus velocidades finales si el coeficiente de restitución es 0.80.
SOLUCIÓN 3
Tenemos $m_1$ = 2 g, $m_2$ = 4 Kg, $u_1$ = - 24 m/s, $u_2$ = + 16 m/s, $e$ = 0.8
a) Para el caso inelástico, e = 0 y la velocidad combinada después del choque es
$$v_c = v_1 = v_2$$Así que
$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m1 + m2) v_c$$$$(2\ Kg)(- 24\ m/s) + \ Kg)(16\ m/s) = (2\ Kg + 4\ Kg) v_c$$$$- 48\ Kg \cdot m/s + 64\ Kg \cdot m/s = (6\ Kg) v_c$$$$v_c = 2.67\ m/s$$
b) Para resolver este inciso, es necesario contemplar la ecuación del coeficiente de restitución. Y se preguntarán la razón?, pues primero, porque lleva implícita el valor de $e$ y ademas contiene la incógnita que necesitamos encontrar
$$e = 0.8 = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$$Así que
$$v_2 - v_1 = (0.8)(- 24\ m/s -16 \ m/s)$$$$v_2 - v_1 = - 32\ m/s$$
Ahora podemos utilizar la ecuación de la cantidad de movimiento para obtener otra relación entre $v_2$ y $v_1$ lo cual nos permite resolver las dos ecuaciones simultáneamente.
$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1v_1 + m_2 v_2$$$$(2\ Kg)(- 24\ m/s) + (4\ Kg)(16\ m/s) = (2\ Kg)v_1 + (4\ Kg)v_2$$Asi que tenemos la segunda ecuación
$$2v_1 + 4v_2 = 16\ m/s$$Y ahora resolvemos dicho sistema
$$- v_1 + v_2 = -32$$$$2v_1 + 4v_2 = 16$$
Resolviendo este sistema no da los siguiente valores
$$\boxed{\ \ \ v_1 = 24\ m/s \qquad \qquad v_2 = - 8\ m/s \ \ \ }$$
EJEMPLO 4 Una bala de 12 g se dispara hacia un bloque de madera de 2 kg suspendido de un cordel, como muestra la figura 4. El impacto de la bala hace que el bloque oscile hasta 10 cm más arriba de su nivel original. Calcule la velocidad de la bala cuando golpea el bloque.
Fig 4
SOLUCIÓN 4
El problema necesita dividirse en dos partes: la conservación de la cantidad de movimiento durante el impacto y la conservación de energía durante la oscilación hacia arriba del bloque y de la bala. La velocidad inicial para la oscilación hacia arriba es la misma que la velocidad final en el impacto. Por tanto, calcularemos la velocidad $v_i$ requerida para alcanzar la altura máxima y usaremos la conservación de la cantidad de movimiento para hallar la velocidad de entrada de la bala que se requiere para impartir esa velocidad a las masas combinadas.
Designaremos primeramente los parámetros que usaremos aquí, $m_b$ = masa de la bala. $m_m$ = masa del bloque de madera. La energía cinética de las masas combinadas debe ser igual a la energía potencial en el punto más alto. Si consideramos que $v_i$ es la velocidad Por tanto,
$$\frac{1}{2} (m_b + m_m) v_i^2 = (m_b + m_m) g h $$$$v_i^2 = 2 g h $$$$v_i = \sqrt{ 2 g h }$$$$v_i = \sqrt{2(9.8\ m/s^2)(0.10\ m)} = 1.40\ m/s$$
Ahora bien, podemos usar esto como la velocidad combinada final después del choque. La
conservación de la cantidad de movimiento requiere que
$$m_b u_b + m_m u_m = (m_b + m_m) v_i $$
Aquí tenemos que $m_b = 0.012\ Kg$, $m_m = 2\ Kg$, $u_m = 0$ y $v_i = 1.40\ m/s$ Así que la ecuación anterior queda como
$$m_b u_b = (m_b + m_m)v_i$$De donde
$$u_b = \frac {m_b + m_m}{m_b} v_i$$$$u_b = \frac{(0.012\ kg + 2\ Kg)(1.40\ m/s)}{0.012} $$$$\boxed{\ \ \ u_b = 235\ m/s \ \ \ }$$
PROBLEMAS
1. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de una bala de 3 g que se mueve a 600 m/s en una dirección 30° por encima de la horizontal? ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de esta cantidad de movimiento?
2. Una pelota de béisbol de 0.2 kg lanzada hacia la izquierda a 20 m/s es impulsada en la dirección contraria a 35 m/s al ser golpeada por un bat. La fuerza media sobre la pelota es de 6 400 N. ¿Cuánto tiempo estuvo en contacto con el bat?
3. Una pelota de 500 g se desplaza de izquierda a derecha a 20 m/s. Un bat impulsa la pelota en la dirección opuesta a una velocidad de 36 m/s. El tiempo de contacto fue de 0.003 s. ¿Cuál fue la fuerza promedio sobre la pelota?
4. Una pelota de caucho de 400 g se deja caer sobre el pavimento desde una distancia vertical de 12 m. Está en contacto con el pavimento durante 0.01 s y rebota hasta una altura de 10 m. ¿Cuál es el cambio total registrado en su cantidad de movimiento?
¿Qué fuerza media actúa sobre la pelota?
5. Un taco de billar golpea la bola ocho con una fuerza media de 80 N durante un tiempo de 12 ms. Si la masa de la bola es 200 g, ¿cuál será su velocidad?
6. Una niña de 20 kg y un niño en patines están descansando parados frente a frente. Se empujan entre ellos lo más fuerte que pueden y el niño se mueve a la izquierda con una velocidad de 2 m/s, mientras que la niña se mueve a la derecha con una velocidad
de 3 m/s. ¿Cuál es la masa del niño?
7. Un niño que pesa 20 kg está quieto en un carrito. Cuando el niño salta hacia adelante a 2 m/s, el carrito es lanzado hacia atrás a 12 m/s. ¿Cuál es la masa del carrito?
8. Una bala de 24 g es disparada a una velocidad inicial de 900 m/s con un rifle de 5 kg. Halle la velocidad de retroceso del rifle. ¿Cuál es la razón entre la energía cinética de la bala y la del rifle?
9. Un hombre que pesa 60 kg está de pie sobre un lago de hielo y atrapa una pelota de 2 kg. Tanto la pelota como el hombre se mueven a 8 cm/s después que éste atrapa la pelota. ¿Cuál era la velocidad de la pelota antes de ser atrapada? ¿Cuánta energía se perdió en el proceso?
10. Un automóvil que circulaba a 8 m/s choca contra otro de la misma masa que estaba detenido frente a un semáforo. ¿Cuál es la velocidad de los autos chocados inmediatamente después de la colisión, suponiendo que ambos se mantengan juntos?
11. Un objeto de 20 g que se mueve hacia la izquierda a 8 m/s choca de frente con un objeto de 10 g que se desplaza hacia la derecha a 5 m/s. ¿Cuál es la velocidad combinada de ambos después del impacto?
12. Un bloque de barro de 2 kg está suspendido del techo por una cuerda larga, como indica la figura 5. Una bola de acero de 500 g, lanzada horizontalmente, se incrusta en el barro provocando que las dos masas suban a una altura de 20 cm. Halla la velocidad a la cual se incrustó la bola.
Fig. 5
13. Una masa de 2 kg se mueve hacia la derecha a 2 m/s y choca con una masa de 6 kg que se mueve hacia la izquierda a 4 m/s. Si el choque es completamente inelástico, ¿cuál es la velocidad común de las dos masas después de chocar y cuánta energía se perdió
en el impacto?
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