Cuando estudiamos estadística tratamos básicamente con la presentación e interpretación de resultados fortuitos que ocurren en un estudio planeado o en una investigación científica.
Un gran promedio de personas asocia a la probabilidad a los juegos de azar, como se hizo en los albores del siglo XVII, cuando apostadores empezaron a darle uso a la probabilidad al contratar a algunos matemáticos para que calcularan la probabilidad correcta de ciertos juegos de azar. Pero con el tiempo se pudo apreciar lo valiosa que es la probabilidad no solo en los juegos de azar sino en el entorno científico.
Para realizar un estudio sistemático de probabilidad, se necesita cierta terminología.
Un experimento constituye un proceso con un resultado que no se puede predecir certeramente con anterioridad.
El hecho de lanzar una moneda al aire, arrojar un dado, medir el diámetro de un perno, pesar los contenidos de una caja de cereal, o medir la resistencia de una cuerda de pescar, son ejemplos de experimentos.
Con la finalidad de analizar un experimento en términos probabilísticos, se debe especificar sus posibles resultados.
$\boxed { \color {blue}{\text{ Definición}} \qquad \qquad }$
Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se le llama espacio muestral.
Al lanzar al aire una moneda se puede utilizar el conjunto {“aguilas”, “soles”} como el
espacio muestral. Cuando se arroja un dado de seis caras, se puede usar al conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Estos espacios muestrales son finitos. Algunos experimentos tienen espacios muestrales con un número infinito de resultados.
Por ejemplo, imaginen que un buril con diámetro de 10 mm hace perforaciones en una lámina de metal. Debido a las variaciones en el ángulo de la perforación y a los pequeños movimientos en la lámina de metal, los diámetros de los agujeros varían entre 10 y 10.2 mm. Por tanto, para el experimento de perforación sería razonable un espacio muestral que esté en el intervalo (10.0, 10.2), o en notación de conjuntos, { x | 10.0 < x < 10.2}. Obviamente, este conjunto contiene un número infinito de resultados.
En muchos experimentos se puede escoger entre diversos espacios muestrales. Por
ejemplo, suponga un proceso que produce clavos de acero cuyas longitudes varían entre 5.20 y 5.25 cm.
Una opción obvia para el espacio muestral de la longitud de un clavo sería el con-
junto {x | 5.20 < x < 5.25}. Sin embargo, si el objetivo fuera simplemente determinar si el clavo es demasiado corto, demasiado largo o está dentro de ciertos límites específicos, una buena elección sería que el espacio muestral fuera {demasiado corto, demasiado largo, dentro de las especificaciones}.
$\boxed { \color {blue}{\text {Definición} } \qquad \qquad }$
Un subconjunto de un espacio muestral se denomina evento.
Observemos que para cualquier espacio muestral, el conjunto vacío $\phi$ es un evento, como lo es todo el espacio muestral. Se dice que un evento ocurrió si el resultado del experimento es alguno de los resultados en el evento. Por ejemplo, si un dado cae en el número 2, habrán ocurrido los eventos {2, 4, 6} y {1, 2, 3}, junto con cualquier otro evento que contenga el resultado “2”.
Ejemplo 2.1
Un prospecto a ingeniero eléctrico de DICIS tiene en su mano dos cajas de resistores, cada una con cuatro de éstos. Los resistores de la primera caja están etiquetados con 10 Ω (ohms), pero, de hecho, sus resistencias son de 9, 10, 11 y 12 Ω. Los resistores de la segunda caja tienen la etiqueta de 20 Ω, pero sus resistencias son de 18, 19, 20 y 21 Ω. El prospecto a ingeniero elige un resistor de cada caja y determina la resistencia de cada uno.
Sea A el evento para el cual el primer resistor tiene una resistencia mayor a 10, sea B el
evento en el que el segundo resistor tiene una resistencia menor a 19 y sea C el evento en el cual la suma de las resistencias es igual a 28. Determina un espacio muestral para este experimento y especifica los subconjuntos que corresponden a los eventos A, B y C.
Solución 2.1
Vamos a tomar pares ordenados (a, b), donde el primer elemento "a" representa el valor de la primera resistencia y el segundo elemento "b" representa la de la segunda resistencia.
El espacio muestral lo designaremos con S.
$\boxed{\ \ S = \{ (9, 18), (9, 19), (9, 20), (10, 18), (10, 19), (10, 20), (10, 21), (11, 18), (11, 19), (11, 20), (11, 21), (12, 18), (12, 19), (12, 20), (12, 21) \} \ \ }$
$\boxed{\ \ A = \{ (11, 18), (11, 19), (11, 20), (11, 21), (12, 18), (12, 19), (12, 20), (12, 21) \} \ \ }$
$\boxed{\ \ B = \{ (9, 18), (10, 18), (11, 18), (12, 18) \} \ \ }$
$\boxed{\ \ C = \{ (9, 19), (10, 18) \} \ \ }$
$$ \star \ \star \ \star$$
En Probabilidad es frecuente construir eventos mediante la combinación de eventos mas sencillos por lo que es necesario emplear la notación de conjuntos para describir los eventos construidos
La unión de dos eventos A y B, se denota por $A \cup B$, es el conjunto de resultados que
pertenecen ya sea a A o B, o a ambos.
La intersección de dos eventos A y B se denota como $A \cap B$; es decir, constituye el conjunto de resultados que pertenece tanto a A como a B.
El complemento de un evento A se denota por $A^c$ , es el conjunto de resultados que no pertenecen a A.
Ejemplo 2.2
Con referencia al ejemplo 2.1, determina a) $B \cup C$ y $A \cap B^c$
Solución 2.2
El evento $B \cup C$ contiene todos los resultados que pertenecen a B o a C, o a ambos. Por tanto.
$$\boxed{\ \ B \cup C = {(9, 18), (10, 18), (11, 18), (12, 18), (9, 19) \ \ } }$$El evento $B^c$ contiene los resultados en el espacio muestral que no pertenecen a B. De ahí que el evento $A \cap B^c$ contenga los resultados que pertenecen a A y no pertenecen a B. Por lo tanto
$$\boxed{ \ \ A \cap B^c = { (11, 19), (11, 20), (11, 21), (12, 19), (12, 20), (12, 21) } \ \ }$$$$\star \star \star$$
Eventos mutuamente excluyentes
Existen ciertos eventos que nunca se presentan simultáneamente. Por ejemplo, es imposible que una moneda que se arroje al aire caiga a la vez en “aguila” y “sol”, al igual que un clavo de acero sea al mismo tiempo demasiado largo y corto. A eventos de este tipo se les llama mutuamente excluyentes.
$\boxed { \color {blue}{\text{ Definición}} \qquad \qquad }$
$\blacktriangleright$ Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen resultados en común.
$\blacktriangleright$ De forma más general, se dice que una colección de eventos $A_1, A_2 , . . . , A n es mutuamente excluyente si dos de ellos no tienen resultados en común.
Ejemplo 2.3
Con referencia al ejemplo 2.1, si se realiza el experimento,
a) ¿es posible que los eventos A y B ocurran al mismo tiempo?,
b) ¿Qué pasa con B y C?,
c) ¿y con A y C?,
d) ¿Qué par de eventos son mutuamente excluyentes?
Solución 2.3
Si el resultado es (11, 18) o (12, 18), entonces tanto el evento A como el B ocurren. Si el resultado es (10, 18), entonces ocurren los eventos B y C. Es imposible que ocurran al mismo tiempo A y C, ya que estos eventos son mutuamente excluyentes al no tener ningún resultado en común.
Probabilidades
Todo evento en un espacio muestral tiene una probabilidad de ocurrir. Intuitivamente, la probabilidad es una medida cuantitativa de qué tan probable es que ocurra un evento. Formalmente hablando, hay varias interpretaciones de la probabilidad; la primera que adoptaremos es que la probabilidad de un evento representa la proporción de veces que se presentaría el evento a largo plazo, si el experimento se repitiera una y otra vez.
Con frecuencia se usa la letra P para representar la probabilidad. Por tanto, cuando se
lanza una moneda al aire la notación “P(“sol”) = 1/2” significa que la probabilidad de que
la moneda caiga en “sol” es igual a 1/2.
Dado un experimento y cualquier evento A:Ñ
$\blacksquare$ La expresión P(A) denota la probabilidad de que ocurra el evento A
$\blacksquare$ P(A) constituye la proporción de veces que se presenta el evento A en el tiempo, si es que el experimento se realizara una y otra vez.
Una vez que se han encontrado las probabilidades de ciertos eventos mediante el conocimiento científico o la experiencia, se puede calcular matemáticamente las probabilidades de otros eventos.
Por ejemplo, si se ha calculado a través de la experimentación que la probabilidad de que un tablero de circuitos impresos esté defectuoso es de 0.10, se puede calcular que la probabilidad de que un tablero no esté defectuoso es de 0.90.
Como otro ejemplo, supongan que los clavos de acero producidos por determinado proceso no cumplen con la longitud especificada, ya sea porque son demasiado cortos o demasiado largos. Al medir gran cantidad de clavos, se calculó que la probabilidad de que uno de ellos sea demasiado corto es de 0.02 y que la probabilidad de que otro sea demasiado largo es de 0.03. Entonces puede calcularse que la probabilidad de que un clavo no cumpla con la especificación es de 0.05.
Axiomas de probabilidad
La probabilidad se basa en tres reglas de sentido común, conocidas como axiomas.
Éstas son:
1. Sea un espacio muestral. Entonces P(S ) = 1.
2. Para cualquier evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
De forma más general, si A 1 , A 2 , . . . son eventos mutuamente excluyentes, entonces
$P(A_1 \cup A_2 . . . ) = P(A_1 ) + P(A_2 ) + . . .$
parafraseando lo anterior, es fácil ver que los tres axiomas en realidad concuerdan con el sentido común.
El primero establece que el resultado de un experimento siempre está en el espacio
muestral. Esto es obvio, puesto que, por definición, el espacio muestral contiene todos los resultados posibles del experimento.
El segundo dice que la frecuencia a largo plazo de cualquier evento siempre se encuentra entre 0 y 100%.
Un ejemplo que demuestra al tercer axioma, que ya se analizó anteriormente, es el del proceso que produce clavos de acero, en donde la probabilidad de que un clavo sea demasiado corto es de 0.02 y la de que un clavo es demasiado largo es de 0.03. El tercer axioma establece que la probabilidad de que el clavo sea demasiado corto o muy largo es 0.02 + 0.03 + 0.05.
Dos reglas sencillas que son muy útiles para calcular probabilidades son:
Para cualquier evento A
1. $P(A^c = 1 - P(A)$
2. Si $\phi$ denota al espacio vació, entonces
$P(\phi ) = 0$
La ecuación 1 establece que la probabilidad de que un evento no ocurra es igual a 1 me-
nos la probabilidad de que ocurra. Por ejemplo, si existe una probabilidad de 40% de que llueva, hay una probabilidad de 60% de que no llueva.
La ecuación 2 establece que es imposible que un experimento no tenga ningún resultado.
Ejemplo 2.4
El objetivo de una prueba de tiro consiste de un blanco rodeado por dos anillos concéntricos. Se dispara un proyectil hacia el objetivo. La probabilidad de que pegue en el blanco es de 0.10, la de que atine en el anillo interior es de 0.25 y la de que acierte en el anillo exterior es de 0.45.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyectil haga blanco en el objetivo?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no pegue en este último?
Solución 2.4
Pegar en el blanco, acertar en el anillo interior y atinar en el anillo exterior son eventos mutuamente excluyentes, ya que es imposible que más de uno de éstos ocurra a la vez.
a) Por tanto, utilizando el axioma 3,
P(pega en el objetivo) = P(blanco) + P(anillo interior) + P(anillo exterior)
= 0.10 + 0.25 + 0.45
$$\boxed{ \ \ P(\text{pega en el objetivo}) = 0.80 \ \ }$$
b) Ahora se puede calcular la probabilidad de que el proyectil no pegue en el objetivo utilizando la ecuación $P(A^c = 1 - P(A)$:$$P(\text {no pega en el objetivo}) = 1 - P(\text {pega en el objetivo})$$$$= 1 - 0.80$$$$\boxed{\ \ P(\text {no pega en el objetivo}) = 0.20\ \ }$$
Ejemplo 2.5
La siguiente tabla presenta las probabilidades del número de veces en que el sistema de cierta computadora se “caerá” en el transcurso de una semana. Sea A el evento de que haya más de dos “caídas” durante la semana, y B el evento de que el sistema se “caerá” por lo menos una vez.
$$ \begin{array}{lcr} \mbox{Número de casos} & \mbox{probabilidad}\\ \mbox{------------------------} & \mbox{--------------------} \\ 0 & 0.60 \\ 1 & 0.30 \\ 2 & 0.05 \\ 3 & 0.04 \\ 4 & 0.01 \end{array}$$
Determinen
a) El espacio muestral. Después
b) Los subconjuntos del espacio muestral que corresponden a los eventos A y B.
c) Determinen P(A) y P(B).
Solución 2.5
a) El espacio muestral del experimento es el conjunto {0, 1, 2, 3, 4}.
b) Los eventos son A = {3,4} y B = {1, 2, 3, 4}.
c) Para encontrar P(A), adviertan que A constituye el evento en que se presenten tres “caídas” o que haya cuatro “caídas”. Los eventos “que se presenten tres caídas” y “que ocurran cuatro caídas” son mutuamente excluyentes. Por tanto, mediante el axioma tres, se concluye que
P(A) = P(ocurran tres “caídas” o se presenten cuatro “caídas”)
= P(ocurran tres “caídas”) + P(sucedan cuatro “caídas”)
= 0.04 + 0.01
$$\boxed{\ \ P(\mbox{ocurran tres “caídas”}) = 0.05\ \ }$$
La P(B) la podemos calcular de dos formas. Primera forma, observemos que B$^c$ es el evento de que no haya ninguna caída. Por tanto
P(B) = 1 - P(B$^c$)
= 1 - P(no ocurran caidas)
= 1 - 0.60
$$\boxed{\ \ P(B) = 0.40 \ \ }$$
Segunda forma: para calcular P(B), observemos que B es el evento de que haya una “caída” o de que sucedan dos o que ocurran tres “caídas” o haya cuatro de éstas. Estos eventos son mutuamente excluyentes. Por consiguiente, utilizando el axioma tres, se concluye que
P(B) = P(una “caída”) + P(dos “caídas”) + P(tres “caídas”) + P(cuatro “caídas”)
= 0.30 + 0.05 + 0.04 + 0.01
$$\boxed{\ \ P(B) = 0.40 \ \ }$$
$$\star \star \star$$
3 de septiembre
Ejemplo 2.6
Un troquel de extrusión se utiliza para producir varillas de aluminio. Existen ciertas especificaciones para la longitud y diámetro de las varillas. Para cada una de éstas, la longitud puede ser demasiado corta, demasiado larga o estar bien y el diámetro se puede clasificar en muy delgado, muy grueso o estar bien.
En una población de mil varillas, el número de ellas en cada clase es:
Se toma una varilla aleatoriamente a partir de esta población. ¿Cuál es la probabilidad de que sea demasiado corta?
Solución 2.6
Cuando la longitud de las varillas es demasiado corta, se presentan 3 casos mutuamente excluyentes. Se considera que cada una de las mil varillas representa un resultado en un espacio muestral.
Cada uno de los mil resultados tiene la misma probabilidad. Se resolverá el problema contando el número de resultados que corresponde al evento. El número de varillas que son demasiado cortas es 10 + 3 + 5 = 18. Dado que el número total de varillas es mil
$$\boxed{ \ \ P(\mbox{demasiado corta}) = \frac{18}{1000} \ \ }$$
$$\star \star \star$$
Ejemplo 2.7
Con referencia al ejemplo 2.6, si se selecciona aleatoriamente una varilla, ¿cuál es la probabilidad de que sea demasiado corta o demasiado gruesa?
Solución 2.7
Primero, se resolverá este problema al contar el número de resultados que corresponde al
evento. En la siguiente tabla se circuló la cantidad de varillas que son demasiado gruesas y el número de varillas que son muy cortas aparecen en rectángulos.
Observemos que hay cinco varillas que son muy cortas y demasiado gruesas.
De los mil resultados, el número de varillas que son demasiado cortas o muy gruesas es 10 + 3 + 5 + 4 + 13 = 35. Por lo tanto:
$$\boxed{ \ \ P(\mbox {demasiado corta o muy gruesa}) = \frac{35}{1,000} \ \ }$$
Ahora se resolverá el problema de tal forma que conduzca a un método más general. En el es pacio muestral hay 10 + 3 + 5 = 18 varillas que son demasiado cortas y 5 + 4 + 13 = 22
varillas muy gruesas. Pero si se trata de encontrar el número de varillas que sean demasiado cortas o muy gruesas al sumar 18 + 22, se obtiene un número muy grande (40 en vez de 35).
La razón es que hay cinco varillas que son demasiado cortas y muy gruesas y éstas se cuentan dos veces. No obstante, se puede resolver el problema al sumar 18 y 22, pero entonces se le debe restar cinco para corregir el doble conteo.
Replantemos este razonamiento al utilizar probabilidades:
$P_1 = P(\mbox{demasiado corta}) = \frac{18}{1,000}$
$P_2 = P(\mbox{muy gruesa}) = \frac{22}{1,000}$
$P_3 = P(\mbox{demasiado corta y muy gruesa}) = \frac{5}{1,000}$
$P = P(\mbox{demasiado corta y muy gruesa}) = P_1 + P_2 - P_3$
$\hspace{8cm}= \frac{18}{1,000} + \frac{22}{1,000} - \frac{5}{1,00}$
$$\boxed{\ \ P = \frac{35}{1,000} \ \ }$$$$\star \star \star$$
Concluyendo tenemos que
$$\boxed{\ \ P(A \cup B ) = P(A) + P(B) - P(A \cap B ) \ \ }$$
Ejercicio
En un proceso que fabrica latas de aluminio, la probabilidad de que una lata tenga alguna fisura en su costado es de 0.02, la de que otra la tenga en la tapa es de 0.03 y de que una más presente una fisura en el costado y en la tapa es de 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una lata en forma aleatoria tenga una fisura? ¿Cuál es la probabilidad de que no la tenga?
Sol: P = 0.04
En probabilidad es importante entender muy bien como obtener los espacio muestrales pues son la base para poder hacer bien el calculo de probabilidad. A continuación veremos otros ejemplos
Ejemplo 2.5
Un troquel de extrusión se utiliza para producir varillas de aluminio. Existen ciertas especificaciones para la longitud y diámetro de las varillas. Para cada una de éstas, la longitud puede ser demasiado corta, demasiado larga o estar bien y el diámetro se puede clasificar en muy delgado, muy grueso o estar bien.
En una población de mil varillas, el número de ellas en cada clase es:
Solución 2.6
Cuando la longitud de las varillas es demasiado corta, se presentan 3 casos mutuamente excluyentes. Se considera que cada una de las mil varillas representa un resultado en un espacio muestral.
Cada uno de los mil resultados tiene la misma probabilidad. Se resolverá el problema contando el número de resultados que corresponde al evento. El número de varillas que son demasiado cortas es 10 + 3 + 5 = 18. Dado que el número total de varillas es mil
$$\boxed{ \ \ P(\mbox{demasiado corta}) = \frac{18}{1000} \ \ }$$
$$\star \star \star$$
Ejemplo 2.7
Con referencia al ejemplo 2.6, si se selecciona aleatoriamente una varilla, ¿cuál es la probabilidad de que sea demasiado corta o demasiado gruesa?
Solución 2.7
Primero, se resolverá este problema al contar el número de resultados que corresponde al
evento. En la siguiente tabla se circuló la cantidad de varillas que son demasiado gruesas y el número de varillas que son muy cortas aparecen en rectángulos.
Observemos que hay cinco varillas que son muy cortas y demasiado gruesas.
$$\boxed{ \ \ P(\mbox {demasiado corta o muy gruesa}) = \frac{35}{1,000} \ \ }$$
Ahora se resolverá el problema de tal forma que conduzca a un método más general. En el es pacio muestral hay 10 + 3 + 5 = 18 varillas que son demasiado cortas y 5 + 4 + 13 = 22
varillas muy gruesas. Pero si se trata de encontrar el número de varillas que sean demasiado cortas o muy gruesas al sumar 18 + 22, se obtiene un número muy grande (40 en vez de 35).
La razón es que hay cinco varillas que son demasiado cortas y muy gruesas y éstas se cuentan dos veces. No obstante, se puede resolver el problema al sumar 18 y 22, pero entonces se le debe restar cinco para corregir el doble conteo.
Replantemos este razonamiento al utilizar probabilidades:
$P_1 = P(\mbox{demasiado corta}) = \frac{18}{1,000}$
$P_2 = P(\mbox{muy gruesa}) = \frac{22}{1,000}$
$P_3 = P(\mbox{demasiado corta y muy gruesa}) = \frac{5}{1,000}$
$P = P(\mbox{demasiado corta y muy gruesa}) = P_1 + P_2 - P_3$
$\hspace{8cm}= \frac{18}{1,000} + \frac{22}{1,000} - \frac{5}{1,00}$
$$\boxed{\ \ P = \frac{35}{1,000} \ \ }$$$$\star \star \star$$
Concluyendo tenemos que
$$\boxed{\ \ P(A \cup B ) = P(A) + P(B) - P(A \cap B ) \ \ }$$
Ejercicio
En un proceso que fabrica latas de aluminio, la probabilidad de que una lata tenga alguna fisura en su costado es de 0.02, la de que otra la tenga en la tapa es de 0.03 y de que una más presente una fisura en el costado y en la tapa es de 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una lata en forma aleatoria tenga una fisura? ¿Cuál es la probabilidad de que no la tenga?
Sol: P = 0.04
En probabilidad es importante entender muy bien como obtener los espacio muestrales pues son la base para poder hacer bien el calculo de probabilidad. A continuación veremos otros ejemplos
Ejemplo 2.5
Supongamos que se seleccionan, de forma aleatoria, tres artículos de un proceso de fabricación. Cada artículo se inspecciona y se clasifica como defectuoso: D, o no defectuoso: N.
Para listar los elementos del espacio muestral que brinde la mayor información, construimos el diagrama de árbol de la figura 2.2, de manera que las diversas trayectorias a lo largo de las ramas del árbol dan los distintos puntos muestrales.
Al comenzar con la primera trayectoria, obtenemos el punto muestral DDD, que indica la posibilidad de que los tres artículos inspeccionados estén defectuosos. Conforme continuamos a lo largo de las demás trayectorias, vemos que el espacio muestral es
Para listar los elementos del espacio muestral que brinde la mayor información, construimos el diagrama de árbol de la figura 2.2, de manera que las diversas trayectorias a lo largo de las ramas del árbol dan los distintos puntos muestrales.
Al comenzar con la primera trayectoria, obtenemos el punto muestral DDD, que indica la posibilidad de que los tres artículos inspeccionados estén defectuosos. Conforme continuamos a lo largo de las demás trayectorias, vemos que el espacio muestral es
$$S = \{ DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN \}$$
Los espacios muestrales con un número grande o infinito de puntos muestrales se describen mejor mediante un enunciado o método de la regla. Por ejemplo, si el conjunto de resultados posibles de un experimento fuera el conjunto de ciudades en el mundo con una población de más de un millón de habitantes, nuestro espacio muestral se escribiría como
$$S = \{x | \mbox{x es una ciudad con una población de más de un millón de habitantes} \}$$
$$S = \{x | \mbox{x es una ciudad con una población de más de un millón de habitantes} \}$$
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