Solución de problemas condicion

1. Hallar una curva que posea la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa  del punto de contacto.
   
   SoluciónLes recuerdo siempre hacer una gráfica para poder entender bien el proceso de solución.  Ver la figura 1
   La ecuación de la recta tangente (en color verde) en el punto negro  la podemos encontrar con la ecuación Pendiente-punto en y.  $y = mx + c$,  donde $m$ es la pendiente de la recta y $c$ la intersección de dicha recta con el eje Y.
   
   
                                                    
                                                                               Figura 1
   
   $$y = mx + c \qquad \qquad \qquad (1)$$ Pero $$m = \frac{dy}{dx} \qquad \qquad \qquad (2)$$  y  c la encontramos haciendo las siguientes relaciones:
   $$s = 2a^2 =\frac{bc}{2}$$ $$4a^2 = bc$$ $$\frac{4a^2}{b} = c$$ Y como necesitamos hacer una relación de los datos dados para que aparezca la derivada $\frac{dy}{dx}$, podemos multiplicar la ecuación por $c$
   $$4a^2\frac{c}{b} = c^2$$ Pero sabemos de la gráfica que $\frac{dy}{dx} = \frac{c}{b}$
   entonces tendremos:
   $$4a^2\frac{dy}{dx} = c^2$$ $$2a\Big( \frac{dy}{dx} \Big)^{1/2} = c\qquad \qquad \qquad (3)$$ Sustituyendo (2)  y  (3)  en (1)  tendremos
   $$y = \frac{dy}{dx} x  +  2a\Big( \frac{dy}{dx} \Big)^{1/2} \qquad \qquad \qquad (4)$$ Y como se puede  ver, tenemos una ecuación de Clairaut. Así que procedemos a su solución
    
   Hacemos $p = \frac{dy}{dx}$  y lo sustituimos en (4) $$y = p x + 2ap^{1/2} \qquad \qquad \qquad (5)$$ También sabemos que  $dy = p dx$ y si diferenciamos (5), no derivamos eh!!!,  tendremos
   $$dy = pdx +  xdp  + a p^{- 1/2}dp$$ $$pdx = pdx +  xdp  + a p^{- 1/2}dp$$ Simplificando tendremos:
   $$\Big(x + \frac{a}{\sqrt{p}} \Big) dp = 0$$
   Si observamos, el factor entre paréntesis contiene una $x$ que nos impide integrar con respecto a $p$ pero podemos hacer la consideración siguiente:
   $$x + \frac{a}{\sqrt{p}} = 0 \qquad y \qquad dp = 0$$ De donde obtenemos: $$x = - \frac{a}{\sqrt{p}} \qquad y \qquad p = c$$ Y  $p =c$ la sustituimos en la primera ecuación y  tendremos $$x = - \frac{a}{\sqrt{c}} \qquad o \qquad \sqrt{c} = c^{1/2} = - \frac{a}{x}$$ Y de aquí tenemos: $$c = \frac{a^2}{x^2}$$ Y ahora sustituimos estos resultados en  (5)
   $$y = p x + 2ap^{1/2}$$ $$y = cx  +  2ac^{1/2}$$ $$y = \Big( \frac{a^2}{x^2} \Big)x +  2a(- \frac{a}{x})$$ $$y =  \frac{a^2}{x}  -  \frac{2a^2}{x}$$ $$y =  -  \frac{a^2}{x}$$ $$\boxed{\quad  xy = -a^2 \quad}$$
2. Hallar la curva para el segmento del a tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante $a$.
   
   Solución
   Hagamos nuevamente referencia a la figura 1.  Donde $a$ es el segmento de la recta verde comprendido entre la intersección de esta y los ejes X  y  Y.
   Ahora, veamos las siguiente relaciones:
   $$a^2 = b^2 + c^2$$ $$\frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{c^2}{b^2}$$ Ahora, no hagamos las cosas sin fundamento.  Lo que queremos, es que en estas relaciones aparezca la derivada que nos llevará a una ecuación diferencial, por lo que veamos esas relaciones, como en el ejemplo anterior.
   $$\frac{dy}{dx} = \frac{c}{b}$$ Así que, si tenemos
   $$\frac{a^2}{b^2} = 1  + \frac{c^2}{b^2}$$ Para hacer que aparezca la derivada también en el lado izquierdo, necesitamos multiplicar la ecuación por $c^2$
   $$a^2\frac{c^2}{b^2} = c^2 \Big( 1 + \frac{c^2}{b^2} \Big)$$ $$a^2y'^2 = c^2(1 + y'^2)$$ $$c = \frac{a y'}{\sqrt{1 + y'^2}}$$ Y ahora sustituimos este valor en la ecuación de la recta $y = m x + c$
   $$y = y'x  + \frac{a y'}{\sqrt{1 + y'^2}}$$ Y ........  Ya vieron qué ecuación nos dió??   Pues a resolverla