- Hallar una curva que posea la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto.
SoluciónLes recuerdo siempre hacer una gráfica para poder entender bien el proceso de solución. Ver la figura 1
La ecuación de la recta tangente (en color verde) en el punto negro la podemos encontrar con la ecuación Pendiente-punto en y. $y = mx + c$, donde $m$ es la pendiente de la recta y $c$ la intersección de dicha recta con el eje Y.
Figura 1
$$y = mx + c \qquad \qquad \qquad (1)$$Pero $$m = \frac{dy}{dx} \qquad \qquad \qquad (2)$$ y c la encontramos haciendo las siguientes relaciones:
$$s = 2a^2 =\frac{bc}{2}$$$$4a^2 = bc$$$$\frac{4a^2}{b} = c$$Y como necesitamos hacer una relación de los datos dados para que aparezca la derivada $\frac{dy}{dx}$, podemos multiplicar la ecuación por $c$
$$4a^2\frac{c}{b} = c^2$$Pero sabemos de la gráfica que $\frac{dy}{dx} = \frac{c}{b}$
entonces tendremos:
$$4a^2\frac{dy}{dx} = c^2$$$$2a\Big( \frac{dy}{dx} \Big)^{1/2} = c\qquad \qquad \qquad (3)$$Sustituyendo (2) y (3) en (1) tendremos
$$y = \frac{dy}{dx} x + 2a\Big( \frac{dy}{dx} \Big)^{1/2} \qquad \qquad \qquad (4)$$Y como se puede ver, tenemos una ecuación de Clairaut. Así que procedemos a su solución
Hacemos $p = \frac{dy}{dx}$ y lo sustituimos en (4)$$y = p x + 2ap^{1/2} \qquad \qquad \qquad (5)$$ También sabemos que $dy = p dx$ y si diferenciamos (5), no derivamos eh!!!, tendremos
$$dy = pdx + xdp + a p^{- 1/2}dp$$$$pdx = pdx + xdp + a p^{- 1/2}dp$$Simplificando tendremos:
$$\Big(x + \frac{a}{\sqrt{p}} \Big) dp = 0$$
Si observamos, el factor entre paréntesis contiene una $x$ que nos impide integrar con respecto a $p$ pero podemos hacer la consideración siguiente:
$$x + \frac{a}{\sqrt{p}} = 0 \qquad y \qquad dp = 0 $$De donde obtenemos: $$x = - \frac{a}{\sqrt{p}} \qquad y \qquad p = c$$Y $p =c$ la sustituimos en la primera ecuación y tendremos$$x = - \frac{a}{\sqrt{c}} \qquad o \qquad \sqrt{c} = c^{1/2} = - \frac{a}{x}$$Y de aquí tenemos:$$c = \frac{a^2}{x^2}$$Y ahora sustituimos estos resultados en (5)
$$y = p x + 2ap^{1/2}$$$$y = cx + 2ac^{1/2}$$$$y = \Big( \frac{a^2}{x^2} \Big)x + 2a(- \frac{a}{x})$$$$y = \frac{a^2}{x} - \frac{2a^2}{x}$$$$y = - \frac{a^2}{x}$$$$\boxed{\quad xy = -a^2 \quad}$$ - Hallar la curva para el segmento del a tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante $a$.
Solución
Hagamos nuevamente referencia a la figura 1. Donde $a$ es el segmento de la recta verde comprendido entre la intersección de esta y los ejes X y Y.
Ahora, veamos las siguiente relaciones:
$$a^2 = b^2 + c^2$$$$\frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{c^2}{b^2}$$Ahora, no hagamos las cosas sin fundamento. Lo que queremos, es que en estas relaciones aparezca la derivada que nos llevará a una ecuación diferencial, por lo que veamos esas relaciones, como en el ejemplo anterior.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{c}{b}$$Así que, si tenemos
$$\frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{c^2}{b^2}$$Para hacer que aparezca la derivada también en el lado izquierdo, necesitamos multiplicar la ecuación por $c^2$
$$a^2\frac{c^2}{b^2} = c^2 \Big( 1 + \frac{c^2}{b^2} \Big)$$$$a^2y'^2 = c^2(1 + y'^2)$$$$c = \frac{a y'}{\sqrt{1 + y'^2}}$$Y ahora sustituimos este valor en la ecuación de la recta $y = m x + c$
$$y = y'x + \frac{a y'}{\sqrt{1 + y'^2}}$$Y ........ Ya vieron qué ecuación nos dió?? Pues a resolverla
Solución de problemas condicion
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