Teorema de Green, Divergencia y Rotacional

TEOREMA DE GREEN

ROTACIONAL

Si   $\vec {\textbf F} = P \hat {\textbf i}  +  Q \hat {\textbf j}  +  R \hat {\textbf j}$  es un campo vectorial sobre $\mathbb{R^3}$  y existen las derivadas parciales de  $P,\ Q,\ R$,  entonces el rotacional de  $\vec {\textbf F}$  es el campo vectorial sobre  $\mathbb{R^3}$  definido por

$$\boxed{\ \ \ rot\ \vec {\textbf F}  =  \bigg( \frac{\partial R}{\partial y}  -  \frac{\partial Q}{\partial z}\bigg) \hat {\textbf i}  +  \bigg( \frac{\partial P}{\partial z}  -  \frac{\partial R}{\partial x}\bigg) \hat {\textbf j}  +  \bigg( \frac{\partial Q}{\partial x}  -  \frac{\partial P}{\partial y}\bigg) \hat {\textbf k} \qquad \qquad (1)\ \ \ }$$

Ya estando familiarizados con los determinantes podremos fácilmente identificar que si usamos el operador (nabla)  $\nabla =  \frac{\partial}{\partial x} \hat {\textbf j}  +  \frac{\partial}{\partial y} \hat {\textbf j}  +  \frac{\partial}{\partial z} \hat {\textbf j} $  , entonces podremos expresar el rotacional como:

$$rot\ \vec {\textbf F}  =  \nabla \ \text{X}\ \vec {\textbf F} $$


$$det \begin{vmatrix}
y_1(x) & y_2(x) & .... & y_n(x) \\
y_1^{'}(x) & y_2^{'}(x) & .... & y_n^{'}(x) \\
.. & .. & .... & .. \\
y_1^{(n - 1)}(x) & y_2^{(n - 1)}(x) & .... & y_n^{(n - 1)}(x) \\
\end{vmatrix}$$

DIVERGENCIA

Los temas anteriores se los desarrollaré en el transcurso del día


TAREA y EJERCICIOS

Para tarea, resuelvan los problemas  8, 9, 10, 11 al 18, 19, 22, 23, 24  y  26
Traten de resolverlos todos.  Yo les resolveré algunos pero como estoy teniendo problemas con el latex, los haré en word y los subiré como imágenes