Trabajo para el 4-8 de noviembre

Les pido me entreguen para la semana de 4 al 8 de noviembre un trabajo sobre:

1.   Teoría elemental del  muestreo
2.    Estimación e Inferencia estadística

Por favor póngale la teoría necesaria y ejemplos para entender los temas.
Hagan el trabajo lo mas decente posible. Nada de lujos ni cosas innecesarias, pero si que tenga buena presentación

El jueves les iba a decir de este trabajo pero no se pudo y no pude comunicárselos por correo ya que solo puedo contactarlos por este medio pero el fin de semana no pude hacer uso del correo institucional.

Ese día les explique  los que fueron, un ejemplo de muestreo elemental para poder encontrar la media de una distribución muestral de las medias

Se estarán preguntando, Qué es eso de media de medias???

Cuando tenemos una población que queremos investigar, digamos las preferencias a un candidato a la presidencia. los parámetros de los que estamos frecuentemente interesados, es en su media y desviación estándar. 

Si temamos una sola muestra, la media y desviación estándar de esta no necesariamente será representativa de la media y desviación de la población. Entonces?  

Pues, tenemos que tomar varias muestras y sacar la media y desviación  estándar de estas y ya que tenemos varias medias, pues, tendremos que sacar una media de esas medias y también de su variabilidad de los datos.  Estos ya será una aproximación con más confianza que la de una sola muestra.

La media de una población es muy parecida a la de las muestra.

Para ver esto, veamos un ejemplo.

Si tenemos una población de los cinco números 2, 3, 6, 8. 11.  Consideremos todas la muestras de tamaño 2 que pueden extraerse de esta población con reposición.  
Encontrar:   a)  la media de la población,    b) la desviación estándar de la población,     c)  la media de la distribución muestral de las medias  y    d)  la desviación estándar de la distribución muestral de las medias (esto es, el error estándar de las medias).

Solución       
Antes debemos aclarar la notación que se usara.
$\mu$    es la media de poblacional
$\sigma$    es la desviación estándar de la población
$\mu_{\bar{x}}$  es la media de la distribución muestral de las medias.
$\sigma_{\bar{x}}$  es la desviación estándar de la distribución muestral de las medias.
N     es el tamaño de la población
n     es el tamaño de la muestra

a)    
$$\mu  =  \frac{\sum{x_i} }{N}$$ $$\mu = \frac{2 + 3 + 6 +8 +11}{5}  =  6.0$$

b)  
$$\sigma ^2 =  \frac{\sum {(x_i  -  \mu)^2}}{N}$$ $$\sigma ^2 = \frac{(2 - 6)^2 +  (3 - 6)^2 + (6 - 6)^2 + (8 - 6)^2 + 11 - 6)^2  }{5}  =$$ $$\sigma ^2  =  \frac{16 + 9 + 0 + 4 + 25}{5}  = 10.8$$ $$\sigma = \sqrt{10.8}  =  3.29$$

c)    Lo primero que tenemos que hacer es encontrar todas las muestras posible, y el numero de muestra es 5(5) = 25, ya que estamos considerando que se toma una muestra y se regresa a la población.  Esto es, habrá 5 números y se podrán asociar con 5 números cada uno ya que se realiza la reposición de la muestra.

las muestras serán:

(2, 2),   (2, 3),   (2, 6),    (2, 8),  (2, 11), 

(3, 2),   (3, 3),   (3, 6),    (3, 8),  (3, 11),

(6, 2),   (6, 3),   (6, 6),    (6, 8),  (6, 11),

(8, 2),   (8, 3),   (8, 6),    (8, 8),  (8, 11),

(11, 2), (11, 3),  (11, 6),  (8, 8),  (11, 11)

Ahora sacamos la media de cada muestra:
2.0       2.5       4.0       5.0       6.5
2.5       3.0       4.5       5.5       7.0
4.0       4.5       6.0       7.0       8.5
5.0       5.5       7.0       8.0       9.5
6.5       7.0       8.5       9.5       11.0

Y la media de la distribución muestral de las medias es:
$$\mu_{\bar{X}}  =  \frac{\text{Suma de las medias muestrales}}{25}  =  \frac{150}{25}  =  6.0$$
Y observamos que la media de la población es igual a la media de la distribución muestral de las medias.!!!   $\mu  =  \mu_{\bar{X}}$

d)  La varianza $\sigma_{\bar{X}}^2$ de la distribución muestral de las medias es:
$$\sigma_{\bar{X}}^2  =  \frac{\sum{(\mu_m  -  \mu)^2 }}{25}$$ $$\sigma_{\bar{X}}^2  =  \frac{135}{25}  =  5.40$$ Donde  $\mu_m$  es cada una de las medias de la distribución muestral de las medias  Por lo que
$$\sigma_{\bar{X}} =  \sqrt{5.40}  =  2.32$$
Esto demuestra que en una población finita en la que se muestrea con reposición (se toma la muestra y se regresa a la población) 
$$\sigma_{\bar{X}}^2  =  \sigma^2 / n$$ $$5.40  =  \frac{10.8}{2}$$

Ahora intenten resolver el anterior problema pero sin reposición  considerando ahora que:
$$\mu_{\bar{X}}  =  \mu \qquad \text y \qquad  \sigma_{\bar{X} }^2  =  \frac{\sigma^2 }{n}\left( \frac{N - n}{N - 1} \right)$$
Tienen que verificar que lo anterior se cumple


Actualización 5 de noviembre de 2009

Como no hay reposición las muestras serán menos y podemos saber cuantas serán:
Número de muestras =  $\left( \begin {array}{lcr}  5 \\ 2 \end {array} \right)$ = $_5C_2 =  \frac{5!}{(5 - 2)! \ 2!}  =  10$
Y son
(2, 3)     (2, 6)     (2, 8)     (2, 11)     (3, 6)     (3, 8)     (3, 11)     (6, 8)     (6, 11)     (8, 11)
Y sus medias son
 2.5         4.0        5.0          6.5         4.5         5.5         7.0         7.0          8.5         9.5