Un vector se denota por medio de una letra en negrita (v) o escribiendo una flecha sobre la letra ($\vec v$)
Por ejemplo, supón que una partícula se mueve a lo largo de un segmento de recta del punto A al punto B. El vector de desplazamiento v correspondiente, mostrado en la figura 1, tiene punto inicial A (la cola) y punto terminal B (la punta) y esto se indica escribiendo $\textbf {v} = \vec {AB}$
Observe que el vector $\textbf {u} = \vec {CD}$ tiene la misma longitud y la misma dirección que $\textbf v$ aun cuando está en diferente posición. Se dice que $\textbf u$ y $\textbf v$ son equivalentes (o iguales) y se escribe $\textbf {u} = \textbf {v}$.
El vector cero, denotado por 0, tiene longitud 0. Es el único vector sin dirección específica.
Fig. 1. Vectores equivalentes
SUMA DE VECTORES
Supón que una partícula se mueve de A a B, así que su vector de desplazamiento es $\vec {AB}$ Entonces la partícula cambia de dirección y se mueve de B a C, con vector de desplazamiento $\vec {AB}$ como en la figura 2.El efecto combinado de estos desplazamientos es que la partícula se ha movido de A a C. El vector de desplazamiento resultante $\vec {AC}$ se llama suma de $\vec {AB}$ y $\vec {AC}$ y se escribe
$$\vec {AC} = \vec {AB} + \vec {BC}$$
Definición de suma vectorial. Si u y v son vectores colocados de modo que el punto inicial de v esté en el punto terminal de u, entonces la suma u + v es el vector del punto inicial de u al punto terminal de v.
Esta definición de la suma vectorial se muestra en la figura 2. Se puede ver ahí, por qué a esta definición a veces se les llama ley del triángulo.
Fig. 2 a) Ley del triángulo. b) Ley del paralelogramo
Definición de multiplicación por escalar Si c es un escalar y v es un vector, entonces el múltiplo escalar cv es el vector cuya longitud es | c | multiplicado por la longitud de v y cuya dirección es la misma que v si c > 0 y es opuesta a v si c < 0. Si c = 0 o v = 0, entonces cv = 0.
Esta definición se reforzará con la imagen 3
Fig. 3. Múltiplos escalares de v.
La diferencia vectorial u - v Se entiende por
$$\textbf {u} - \textbf {u} = \textbf {u} + (- \textbf {u})$$ Como nos indica implícitamente dicha expresión, que se puede dibujar u - v si se dibuja primero el negativo de v, -v, y luego se suma a u por la ley del paralelogramo como se ve en la figira 4a.
De manera alternativa, puesto que v + (u - v) = u, el vector u - v, cuando se suma a v, da u. Así que se podría construir u - v como en la figura 4b) por medio de la ley del triángulo.
Fig. 4. Trazado de la diferencia vectorial u - v.
EJEMPLO 1 Si a y b son los vectores mostrados en la figura 5a), dibuja a - 2b.
SOLUCIÓN 1 Primero se dibuja el vector -2b que apunta en la dirección opuesta a b y con el doble de largo. Se coloca con su cola en la punta de a y luego se usa la ley del triángulo para dibujar a + (- 2b) como en la figura 5b).
Fig. 5. Diferencia de dos vectores
Propiedades de vectores
Vectores base
Tres vectores en $V_{3}$ juegan un papel especial. Sean
$$\boxed {\quad \textbf {i} = <1, 0, 0>\qquad \textbf {j} = <0, 1, 0>\qquad \textbf {k} = <0, 0, 1>\quad }$$
Estos vectores i, j y k se denominan vectores base estándar. Tienen longitud 1 y apuntan en las direcciones de los ejes positivos x, y y z. Ver figura 6.
Fig 6. Vectores base estándar en $V_{3}$
Si a = $\langle a_{1}, a_{2}. a_{3} \rangle$, entonces se puede escribir también como
a = $a_{1} \textbf{i} + a_{2} \textbf{i} + a{3} \textbf {k}$
$$\langle a_{1}, a_{2}. a_{3} \rangle = a_{1} \textbf{i} + a_{2} \textbf{i} + a{3} \textbf {k}$$
Así. cualquier vector en $V_{3}$ se puede expresar en términos de los vectores base estándar. Por ejemplo
$$\langle 1, -2, 6 \rangle = \textbf{i} -2 \textbf{j} + 6 \textbf {k}$$
EJEMPLO 2 Si a = $\textbf{i} + 2 \textbf{j} - 3 \textbf {k}$ y b = $4\textbf{i} + 7 \textbf {k}$, expresa el vector 2a + 3b en términos de $\textbf{i}$, $\textbf{j}$ y $\textbf{k}$
SOLUCIÓN 2
2a + 3b $= 2(\textbf{i} + 2 \textbf{j} - 3 \textbf {k})$ + $3(4\textbf{i} + 7 \textbf {k}) = $
$ \qquad \qquad \ = 2\textbf{i} + 4 \textbf{j} - 6 \textbf {k} + 12\textbf{i} + 21\textbf {k} = 14\textbf {i} + 4\textbf {j} + 15\textbf {k}$
Un vector unitario es un vector cuya longitud es 1 y este lo designaremos, para diferenciarlos de los demas con un acento circunflejo (el gorrito que a veces le llamamos). Por ejemplo, i, j y k son vectores unitarios. En general, si a $\not=$ 0, entonces el vector unitario que tiene la misma dirección que a es
$$\hat {\textbf u} = \frac{1}{| \textbf a |}\textbf a = \frac{\textbf a}{| \textbf a |}$$
EJEMPLO 3 Encuentra el vector unitario en la dirección del vector $2\textbf{i} - \textbf{j} - 2 \textbf {k}$.
SOLUCIÓN 3 La longitud del vector dado es
$$2| \textbf{i} - \textbf{j} - 2 \textbf {k} | = \sqrt{2^2 + 1)^2 +2)^2 } = \sqrt{9} = 3$$ Así que, el vector unitario es
$$\frac{1}{3} 2\textbf{i} - \textbf{j} - 2 \textbf {k} = \frac{2}{3}\textbf{i} - \frac{1}{3} \textbf{j} - \frac{2}{3} \textbf {k}$$
Este tema, prácticamente es un repaso de lo que ya vieron en física así que no creo que haya necesidad de hacer ejercicios sobre este tema, pero si creen que lo necesitan, pueden buscar el la bibliografía, ahí hay muchos ejemplos.
PRODUCTO PUNTO
Hasta ahora hemos sumado dos vectores y multiplicado un vector por un escalar. Surge la pregunta: ¿es posible multiplicar dos vectores de modo que su producto sea una cantidad útil? Una respuesta es el producto punto, cuya definición se da a continuación.
Definición 1 de producto punto. Si $\textbf {a} = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3} \rangle$ y $\textbf {b} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3} \rangle$, entonces el producto punto de a y b está dado por
$$\boxed{\qquad \textbf {a} \cdot \textbf {b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\qquad}$$
EJEMPLO 4
$$\langle -1, 7, 4\rangle \cdot \langle 6, 2, - \frac{1}{2}\rangle = (-1)(6) + (7)(2) + (4)\Big(-\frac{1}{2} \Big) = 6$$
$$(\textbf{i} + 2\textbf{j} - 3 \textbf {k}) \cdot (2\textbf{j} - \textbf {k}) = (1)(0) + (2)(2)(-3)(-1) = 7$$
Al producto punto $\textbf {a} \cdot \textbf {b}$ se le puede dar una interpretación geométrica en términos del ángulo $\theta$ entre a y b, que se define como el ángulo entre las representaciones de a y b que empiezan en el origen donde $0 \leq \theta \leq \pi$. En otras palabras, $\theta$ es el ángulo entre los segmentos de recta $\vec {OA}$ y $\vec {OB}$ en la figura 7. Nota que si a y b son vectores paralelos, entonces $\theta = 0$ o $\theta = \pi$
Definición 2 del producto punto Si $\theta$ es el ángulo entre los vectores a y b, entonces
$$\boxed{\quad \textbf {a} \cdot \textbf {b} = |\textbf a| |\textbf b| cos \theta \quad}$$
EJEMPLO 5 Si los vectores a y b tienen longitudes 4 y 6, y el ángulo entre ellos es $\pi /3$,
encuentra $\textbf {a} \cdot \textbf {b}$.
SOLUCIÓN 5
Usando la definición 2 del producto punto tenemos
$$\textbf {a} \cdot \textbf {b} = |\textbf a| |\textbf b| cos (\pi / 3) = (4)(6)(1/2) = 12$$
Por supuesto que se puede encontrar el ángulo entre dos vectores haciendo uso de nuestros avanzados conocimientos de algebra.
EJEMPLO 6 Encuentra el ángulo entre los vectores $\textbf {a} = \langle 2, 2, -1 \rangle$ y $\langle 5, -3, 2 \rangle$
SOLUCIÓN 6
Despejando el coseno de la segunda definición del producto punto tenemos
$$cos \theta = \frac{\textbf {a} \cdot \textbf {b}}{|\textbf {a}|\ |\textbf {a}|}$$
Encontramos el producto punto de la primera definición
$$\textbf {a} \cdot \textbf {b} = (2)(4) + (2)(-3) + (-1)(2) = 2$$
Luego calculamos las magnitudes de los vectores
$$|\textbf {a} | = \sqrt {2^2 + 2^2 + (-1)^2 } = 3$$
$$|\textbf {b} | = \sqrt {5^2 + (-3)^2 + 2^2 } = \sqrt {38}$$ Así que
$$cos \theta = \frac{\textbf {a} \cdot \textbf {b}}{|\textbf {a}|\ |\textbf {a}|} = \frac{2}{3 \sqrt{38}} = 0.1081476$$ Y por lo tanto
$$\theta = arc cos(0.1081476) = cos^{-1}(0.1081476) \approx 1.46 rad = 83.79 °$$
Dos vectores a y b son ortogonales (perpendiculares en términos de los mortales, o séase, que el angulo entre ellos es de 90°) si y solo sí $\textbf {a} \cdot \textbf {b} = 0$
EJEMPLO 7 Demuestra que $2\textbf {i} + 2\textbf {j} - \textbf {k}$ es perpendicular a $5\textbf {i} - 4\textbf {j} + 2\textbf {k}$
SOLUCIÓN 7
Para comprobar si son ortogonales o perpendiculares, realizamos el producto punto entre ellos
$$ (2\textbf {i} + 2\textbf {j} - \textbf {k}) \cdot (5\textbf {i} - 4\textbf {j} + 2\textbf {k}) = (2)(5) + (2)(-4) + (-1)(2) = 0$$ Debido a que el producto punto es cero, se concluye que los dos vectores son perpendiculares.
Ángulos y cosenos directores
Los ángulos directores de un vector a diferente de cero son los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ (en el intervalo [0, $\pi$]) que a forma con los ejes positivos x, y y z (véase la figura 7). Los cosenos de estos ángulos directores, $cos \alpha$, $cos \beta$ y $cos \gamma$, se llaman cosenos directores de un vector a.
Fig 7. Ángulos directores del vector a
Para encontrar esos cosenos usamos el despeje de la segunda definición del producto punto pero tal vez se estén preguntando si tenemos un vector, el vector a pero y el otro que usaremos para hacer el producto punto, ¿cuál es?
Bueno, solo baste recordar que esos ángulos son entre el vector a y otro más, y ese más debe estar en cada uno de los ejes coordenados y entonces, es el vector unitario puede ser el vector unitario de los ejes coordenados, esto es: $\textbf i$, $\textbf j$, y $\textbf k$. Así que:
$$cos \alpha = \frac{\textbf {a} \cdot \textbf {i}}{|\textbf {a}|\ |\textbf {i}|} = \frac{a_{1}}{|\textbf {a}|}$$ De la misma manera se obtienen los cosenos $\beta$ y $\gamma$:
$$cos \beta = \frac{a_{2}}{|\textbf {a}|} \qquad \qquad cos \gamma = \frac{a_{3}}{|\textbf {a}|}$$
Al elevar estos cosenos al cuadrado tendremos
$$cos^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = \Big(\frac{a_{1}}{|\textbf {a}|}\Big)^2 + \Big(\frac{a_{2}}{|\textbf {a}|}\Big)^2 + \Big(\frac{a_{3}}{|\textbf {a}|}\Big)^2$$
$$= \frac{a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2}{\Big(\sqrt{a_{1}^2 + a_{1}^2 + a_{1}^2}\ \Big)^2} = 1$$
$$cos^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = 1$$
De la definición de los cosenos directores obtenemos que
$$a_{1} = |\textbf {a}|cos \alpha \qquad a_{2} = |\textbf {a}|cos \beta \qquad a_{3} = |\textbf {a}|cos \gamma$$ Y como $$\textbf {a} = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle $$ Entonces
$$\textbf {a} = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle = \langle \textbf {a}\ cos \alpha, \ \textbf {a}\ cos \beta, \ \textbf {a}\ cos \gamma \rangle$$ Y finalmente tenemos también
$$\frac{1}{|\textbf {a}|}\textbf {a} = \langle cos \alpha, \ cos \beta, \ cos \gamma \rangle$$ Que en palabra de los mortales nos dice que: los cosenos directores de a son las componentes del vector unitario en la dirección de a.
EJEMPLO 8 Encuentre los ángulos directores del vector $\textbf {a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$.
SOLUCIÓN 8
Como nos piden los ángulos directores, procedemos a encontrar primero sus ángulos directores. Recordemos que los cosenos directores se obtienen dividiendo la componente $a_{i}$ donde $i = 1, 2, 3$ entre la magnitud del vector
$$|\textbf {a}| = \sqrt{a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2}$$ Así que
$$|\textbf {a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$$ Ahora calculamos los cosenos directores
$$cos \alpha = \frac{a_{i}}{|\textbf {a}|}$$
$$cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{14}}\qquad cos \beta = \frac{2}{\sqrt{14}}\qquad cos \gamma = \frac{3}{\sqrt{14}} $$ Ahora procedemos a encontrar el ángulo respectivo con la función $ángulo = arc cos() = cos^{-1}()$
Cuando usen $cos^{-1}$ tengan mucho cuidado de no confundirla con el inverso de la función $cos \theta$.
$\boxed {\ \ \alpha = cos^-{1}\Big( \frac{1}{\sqrt{14}} \Big) = 74.5° \ \ }$
$\boxed {\ \ \beta = cos^-{1}\Big( \frac{2}{\sqrt{14}} \Big) = 57.7° \ }$
$\boxed {\ \ \gamma = cos^-{1}\Big( \frac{3}{\sqrt{14}} \Big) = 36.7°\ }$
PROYECCIONES
En la figura 8 se muestran las representaciones $\vec {PQ}$ y $\vec {PR}$ de dos vectores a y b con el mismo punto inicial P. Si S es el pie de la perpendicular de R a la recta que contiene a $\vec {PQ}$ , entonces el vector con representación $\vec PS$ se llama vector proyección de b sobre a y se denota por $proy_{a}\textbf b$. (Podemos imaginarlo como una sombra de b.)
Fig. 8. Proyecciones de vectores
La proyección escalar de b sobre a (llamada también la componente de b a lo largo de a) se define como la magnitud de la proyección vectorial, que es el número | b | cos $\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre a y b. (Ve la figura 9.) Esto se denota por $comp_{a}\textbf b$. Observa que es negativa si $\pi / 2 < \theta \leq \pi$. La ecuación
$$\textbf a \cdot \textbf b = | \textbf a | | \textbf b | cos \theta = | \textbf a | ( | \textbf b | cos \theta )$$ Muestra que el producto punto de a y b se puede interpretar como la longitud de a multiplicada por la proyección escalar de b sobre a. Puesto que
$$ | \textbf b | cos \theta = \frac{\textbf a \cdot \textbf b}{| \textbf a |}$$
Fig. 9. Proyección escalar
En resumen tenemos
Proyección escalar de b sobre a:$\qquad \qquad comp_{a}\textbf b = \frac {\textbf a \cdot \textbf b}{| \textbf a | }$
Proyección vectorial de b sobre a:$\qquad \qquad proy_{a}\textbf b = \Big( \frac {\textbf a \cdot \textbf b}{| \textbf a |} \Big) \frac{\textbf a}{| \textbf a |} = \frac{\textbf a \cdot \textbf b}{| \textbf a |^2}\textbf a $
Observemos que de las dos expresiones de arriba también tenemos
$$proy_{a}\textbf b = comp_{a}\textbf b \frac{\textbf a}{| \textbf a |}$$ Esto es, la proyección vectorial es igual a la componente escalar multiplicada por un vector unitario ( $\hat {\textbf {a}}$ ) en dirección de a.
EJEMPLO 9 Halle la proyección escalar y la proyección vectorial de $\textbf b =\langle 1, 1, 2 \rangle$ sobre a $\textbf a = \langle 2, 3, 1 \rangle.
SOLUCIÓN 9
Encontramos primero la magnitud de a
$$| \textbf a | = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14}$$La proyección escalar de b sobre a es
$$comp_{a} \textbf b = \frac{\textbf a \cdot \textbf b}{| \textbf a |} = \frac{(-2)(1) + (3)(1) + (1)(2)} {\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$$ Y por tanto
$$proy_{a}\textbf b = comp_{a}\textbf b \frac{\textbf a}{| \textbf a |} = $$
$$proy_{a}\textbf b = \frac{3}{\sqrt{14}} \frac{\langle -2, 3, 1 \rangle}{\sqrt{14}} $$
$$\boxed{\ \ proy_{a}\textbf b = \bigg {\langle} -\frac{3}{7}, \frac{9}{14}, \frac{3}{14} \bigg {\rangle}\ \ }$$
EJEMPLO 10 Un carrito es jalado una distancia de 100 m a lo largo de una trayectoria horizontal por una fuerza constante de 70 N. La manija del carrito se mantiene a un ángulo de 35° sobre la horizontal. Encuentra el trabajo realizado por la fuerza.
Fig 10. Gráfica del problema 10
SOLUCIÓN 10
Si F y D son los vectores de fuerza y de desplazamiento, como se ilustra en la figura 10, entonces el trabajo hecho es
$$W = \textbf F \cdot \textbf D = | \textbf F | | \textbf D | cos 35° $$
$$ W = \textbf F \cdot \textbf D = (70\ N)(100\ m) cos 35°$$ $$\boxed{\ \ \textbf W = 5734.06\ N*m = 5734.06 J \ \ }$$
EJEMPLO 11 Una fuerza está dada por un vector $\textbf F = 3\hat {\textbf {i}} + 4 \hat {\textbf {j}} + 5 \hat {\textbf {k}}$ y mueve una partícula del punto P(2, 1, 0) al punto Q(4, 6, 2). Encuentra el trabajo realizado.
SOLUCIÓN 11 Primero sacamos el vector desplazamiento $\textbf D = (4 -2)\hat {\textbf {i}} + (6 - 1)\hat {\textbf {j}} + (2 - 0)\hat {\textbf {k}} = 2\hat {\textbf {i}} + 5\hat {\textbf {j}} + 2\hat {\textbf {k}} $
$$W = \textbf F \cdot \textbf D = (3\hat {\textbf {i}} + 4 \hat {\textbf {j}} + 5 \hat {\textbf {k}} ) \cdot (2\hat {\textbf {i}} + 5 \hat {\textbf {j}} + 2 \hat {\textbf {k}})$$
$$W = (3)2) + (4)(5) + (5)(2) = 36$$Como las unidades de la fuerza son N y las del desplazamiento son m, N*m = J (Joules), entonces
$$\boxed{\ \ W = 36\ J\ \ }$$
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