Cálculo de funciones vectoriales

Límites y continuidad   La noción fundamental de límite de una función vectorial $\textbf r (t) =
\langle f(t), g(t), h(t) \rangle$ se define en términos de los límites de las funciones componentes

Definición de límite de una función vectorial
Si $\lim\limits_{t \to a}f(t)$,  $\lim\limits_{t \to a}g(t)$,  $\lim\limits_{t \to a}h(t)$ existen, entonces
$$\lim\limits_{t \to a} \textbf r (t) = \Big \langle  \lim\limits_{t \to a}f(t),\  \lim\limits_{t \to a}g(t),\  \lim\limits_{t \to a}h(t) \Big \rangle$$
Como consecuencia de esta definición tenemos también

Tabla 1

Además tenemos la definición de continuidad a continuación

Definición de continuidad
Una función vectorial $\textbf r$ es continua en el número $a$ si
$$i)\ \textbf r (a) \ \text {está definido}\qquad ii)\  \lim\limits_{t \to a} \textbf r (t)\ \ \text {existe}\qquad y \qquad iii)\ \lim\limits_{t \to a} \textbf r (t) = \textbf r (a)$$

Derivada de una función vectorial

Si las funciones componentes $f$,  $g$  y  $h$  son diferenciables, entonces la derivada de la función vectorial $\textbf r {t}$ está dada por
$$\textbf {r}(t) = \langle\ f'(t),\ g'(t).\ h',(t)\ \rangle$$

Curvas suaves   Cuando las funciones componentes de una función vectorial $\textbf r$ tienen primeras derivadas continuas y $\textbf {r}'(t) \not= \textbf 0$ para toda t en un intervalo abierto $(a,\ b)$  entonces $\textbf r$ se dice que es una función suave y la curva C trazada por r se denomina curva suave.

Interpretación geométrica de $\textbf r '(t)$      Si el vector $\textbf r '(t)$ existe y no es $\textbf 0$ en el punto P sobre la curva C definida por la función vectorial  $\textbf r (t)$,  entonces la derivada $\textbf r '(t)$  se define como el vector tangente a la curva en P.  Como puede verse en las figuras 1 a) y b), para el vector y el múltiplo escalar

Fig. 1.  Vector tangente en P  sobre una curva C.

EJEMPLO 1   Considera la curva C en el espacio bidimensional que es trazada por un punto P cuya posición está dada por $\textbf r (t) = cos 2t \hat {\textbf {i}} + sen t\hat {\textbf {j}}$,  para  $ -\pi / 2 \leq\ t\ leq \pi / 2$. Encuentre la derivada y grafica los  vectores $\textbf {r}'(0)$   y  $\textbf {r}'(6)$

SOLUCIÓN 1    La curva C es suave debido a que las componentes de $\textbf {r}(t) =   cos 2t \hat {\textbf {i}} + sen t\hat {\textbf {j}}$  tienen derivadas continuas  y  $\textbf {r}(t) \not= \textbf 0$ sobre el intervalo dado. Entonces la derivada está dada por:
$$\textbf {r}'(t) =  -2\ sen 2t\ \hat {\textbf {i}}  +  cos t\ \hat {\textbf {j}}$$Ahora encontramos los vectores dados por esta derivada en  $t = 0$   y   $t = \pi / 6$
$$\textbf r '(0) = -2\ sen 2(0)\ \hat {\textbf {i}}  +  cos (0)\ \hat {\textbf {j}} = $$$$\textbf r '(0) = \hat {\textbf {j}}$$$$\textbf r '(\pi / 6) = -2\ sen 2(\pi /6)\ \hat {\textbf {i}}  +  cos (\pi / 6)\ \hat {\textbf {j}} = $$$$\textbf r '(\pi / 6) =  - \sqrt{3}\ \hat {\textbf {i}}  +   \frac{1}{2} \sqrt{3}\ \hat {\textbf {j}}$$
Ahora hay que graficar la curva C dada por función vectorial $\textbf r '(t)$.  Para eso hay que convertir esta función en coordenadas rectangulares.
Sabemos de la función original que $x = cos\ 2t$ y  $y = sen\ t$, así que con estos datos convertiremos la expresión en coordenadas rectangulares, o sea, eliminamos el parámetros t  para ello usaremos algunas identidades trigonométrica:
$$x = cos\ 2t  = cos^2t - sen^2 t  = (1 - sen^2t) - sen^2\ t = 1 - 2\ sen^2t$$$$x = 1 - 2\ (sen\ t)^2$$$$x = 1 - y^2$$Que recordando nuestros conocimientos de geometría analítica, es una parábola la cual podemos graficar fácilmente.

Fig 2.  Curva C y vectores del ejemplo 2

Como ya tenemos los vectores de la derivada evaluados en sus respectivos valores. Ahora hay que ver como se graficarán. los vectores encontrados tendrán un inicio, pero no será el origen coordenado, sino que será en el punto donde $t =0$  y  $t = \pi /6$, esto es
$$\textbf r (0) = cos 2(0) \hat {\textbf {i}} + sen (0)\hat {\textbf {j}}$$$$\textbf r (0) = \hat {\textbf {i}} + 0\ \hat {\textbf {j}}$$$$\text {Donde} \qquad x = 0 \qquad \text {y} \qquad y = 0$$ Y evaluado en el otro punto
$$\textbf r (\pi/6) = cos 2(\pi/6) \hat {\textbf {i}} + sen (\pi/6)\hat {\textbf {j}}$$$$\textbf r (0) = \frac{1}{2}\hat {\textbf {i}} + \frac{1}{2}\ \hat {\textbf {j}}$$$$\text {Donde} \qquad x = \frac{1}{2} \qquad \text {y} \qquad y = \frac{1}{2}$$
Esos puntos (1, 0)  y (1/2,  1/2)  son el inicio de los vectores a graficar como se muestra en la figura 2

EJEMPLO 2   Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva C cuyas ecuaciones son $x = t^2$,  $y = t^2 - t$,  $z = - 7t$  en el punto correspondiente en $t = 3$

SOLUCIÓN 2   La función vectorial será:
$$\textbf {r}(t) =   t^2 \hat {\textbf {i}} + (t^2 - t) \hat {\textbf {j}} - 7t \hat {\textbf {i}}$$Y si derivamos
$$\textbf {r}'(t) =   2t \hat {\textbf {i}} + (2t - 1) \hat {\textbf {j}} - 7 \hat {\textbf {i}}$$esta función vectorial es tangente a la curva C en cualquier punto, asi que la evaluamos en t = 3
$$\textbf {r}'(3) =   6 \hat {\textbf {i}} + 5 \hat {\textbf {j}} - 7 \hat {\textbf {i}}$$Este vector es tangente en el punto  en el punto P cuyo vector de posición es:
$$\textbf {r}(3) =   (3)^2 \hat {\textbf {i}} + ((3)^2 - 3) \hat {\textbf {j}} - 7(3) \hat {\textbf {i}}$$$$\textbf {r}(3) =   9 \hat {\textbf {i}} + 6 \hat {\textbf {j}} - 21) \hat {\textbf {i}}$$En la ecuación de la recta  $\textbf {r}(3)$ será nuestro $\textbf r _{0}$  y $\textbf v$ será  $\textbf {r}'(3)$, así que
$$\boxed {\ x = 9 + 6t,\qquad y = 6 + 5t, \qquad z = - 21 - 7t \ }$$

Derivadas de orden superior   Las derivadas de orden superior de una función vectorial se obtienen también diferenciando sus componentes.  En el caso de la segunda derivada tendremos
$$\textbf {r}''(t) = \langle f ''(t),\ g''(t),\ h''(t)\rangle  = f ''(t)\ \hat {\textbf {i}} + g''(t)\ \hat {\textbf {j}}  +  h''(t)\ \hat {\textbf {k}}$$

EJEMPLO 3    Si $ \textbf {r}(t)  =  (t^3 - 2t^2)\ \hat {\textbf {i}}  +  4t\ \hat {\textbf {j}}  +  e^{-t}\ \hat {\textbf {k}}$,  entonces
$$\textbf {r}'(t)  =  (3t^2 - 4t)\ \hat {\textbf {i}}  +  4\ \hat {\textbf {j}}  -  e^{-t}\ \hat {\textbf {k}}$$$$\textbf {r}''(t)  =  (6t - 4)\ \hat {\textbf {i}}  +  e^{-t}\ \hat {\textbf {k}}$$

Tabla 2

INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES
Si  $\textbf {r}(t) =  f (t)\ \hat {\textbf {i}} + g(t)\ \hat {\textbf {j}}  +  h(t)\ \hat {\textbf {k}}$   es una función vectorial continua  sobre el intervalo $[ a,\ b ]$,  entonces la integral indefinida de $\textbf r$ está definida por:

La integral indefinida de $\textbf r$  es otro vector   $\textbf {R + C}$  donde $\textbf C$   es un vector constante, tal que  $\textbf {R} '(t) = \textbf r (t)$

El teorema fundamental del cálculo , extendido a funciones vectoriales, es
$$\boxed{ \ \int_{a}^{b} \textbf r (t) dt = \textbf R (t)\ \bigg]_{a}^{b} = \textbf R (b) - \textbf R (a) \ }$$

EJEMPLO 4     si   $ \textbf {r}(t)  =  6t^2\ \hat {\textbf {i}}  +  4e^{-2t}\ \hat {\textbf {j}}  +  8\ cos\ 4t\ \hat {\textbf {k}}$  entonces
$$\int \textbf r (t) dt = \int 6t^2\ dt\ \hat {\textbf {i}}  +  \int 4e^{-2t}\ dt\ \hat {\textbf {j}}  +  \int 8\ cos\ 4t\ dt\ \hat {\textbf {k}} $$$$=  [2t^3 + c_{1}] \hat {\textbf {i}}  +  [- 2e^{-2t} + c_{2}]\hat {\textbf {j}}  +  [2\ sen \ 4t + C_{3}] \hat {\textbf {k}}$$$$=  2t^3 \hat {\textbf {i}}  - 2e^{-2t} \hat {\textbf {j}}  +  2\ sen \ 4t  \hat {\textbf {k}}  +  \textbf C$$Donde  $\textbf C  =  c_{1} \hat {\textbf {i}}  +  c_{2} \hat {\textbf {j}}  + c_{3} \hat {\textbf {k}} $

Longitud de una curva espacial    La longitud de arco para una curva suave C en el espacio bidimensional definida por las ecuaciones paramétricas  $x = f(t)$,  $y = g(t)$,   $a\ \leq\ t\ \leq b$,  es
$$L = \int _{a}^{b} \sqrt{[f'(t)]^2  +  [g'(t)]^2} dt =  \int _{a}^{b} \sqrt{\Big(\frac{dx}{dt} \Big)^2  +  \Big(\frac{dy}{dt} \Big)^2} dt$$
De manera,  si C es una curva suave en el espacio tridimensional definida por las ecuaciones paramétricas
$$x = f(t),\qquad  y = g(t),\qquad  z = h(t), \qquad a\ \leq\ t\ \leq b$$entonces, se puede construir una integral definida utilizando una trayectoria poligonal, como se ilustra en la figura 3.

Fig 3.  Aproximación de la longitud de C (azul) por medio de la longitud de una trayectoria poligonal (rojo).

$$L = \int _{a}^{b} \sqrt{[f'(t)]^2  +  [g'(t)]^2  +  [h'(t)]^2} dt =  \int _{a}^{b} \sqrt{\Big(\frac{dx}{dt} \Big)^2  +  \Big(\frac{dy}{dt} \Big)^2  +  \Big(\frac{dz}{dt} \Big)^2} dt$$


PROBLEMAS