Campos eléctricos

¿QUE ES UN CAMPO?
Al estar en un cuarto, la temperatura en cualquier ligar de este tiene un valor bien definido. Luego se podría representar su distribución, dibujando un mapa del cuarto que muestre la temperatura medida en todos los lugares o especificando una función matemática $T(x, y, z)$ que sirva para calcularla.  A esta distribución de temperatura se le da el nombre de campo de temperatura.
En forma parecida podría medirse la presión de todos los sitios y determinar así el campo de presión. Estos dos campos so ejemplo de campos escalares. ya que la temperatura y la presión son magnitudes escalares.
Si ni la temperatura ni la presión variasen con el tiempo, serían también campos estáticos; de lo contrario, serían campos que varían con el tiempo y podrían representarse matemáticamente con una función dependiente del tiempo como $T(x, y, z,  t)$
Sin embargo, si quisiéramos medir la velocidad en todos los puntos de un fluido que fluye, habríamos que especificar el valor vector velocidad en todos ellos.  También en este punto podríamos trazar un mapa que muestre la magnitud y la dirección  de la velocidad en un punto cualquiera o bien especificar una función matemática $\vec {\textbf v} (x, y, z)$ que permitirá calcular en cualquier punto la velocidad del flujo. Este es un ejemplo campo vectorial.
Así como estos ejemplos hay muchos casos más de lo que se ve la utilidad del concepto de campo, concepto desarrollado por Michael Faraday.

CAMPO ELÉCTRICO
La descripción de campo se puede aplicar directamente a la electrostática.  La ley de Coulomb relativa a la fuerza que una carga eléctrica ejerce sobre otra, nos hace pensar en función de la acción a distancia representada así
$$carga \leftrightarrows carga$$ Aquí se introducirá el campo eléctrico como intermediario entre las cargas, lo cual nos permite representar la interacción de la siguiente forma:
$$carga  \leftrightarrows campo  \leftrightarrows carga$$  En otras palabras, la primera carga crea un campo eléctrico y la segunda carga interactúa  con el campo eléctrico de la primera.
Podemos definir el campo eléctrico asociado a cierto grupo de cargas en función de la fuerza ejercida sobre una carga positiva de prueba $q_{0}$ en un punto particular
$$\vec {\textbf E} = \frac {\vec {\textbf F}}{q_{0}} \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$$  La dirección del vector  $\vec {\textbf E}$ es la misma que $\vec {\textbf F}$, porque $q_{0}$ es una escalar positivo.  Como se puede ver, el campo eléctrico no depende de la magnitud de la carga de prueba $q_{0}$
Existe un campo eléctrico en un punto P si una carga de prueba en dicho punto experimenta una fuerza eléctrica

Fig. 1    Una pequeña carga de prueba positiva $q_{0}$ colocada en un punto P

cerca de un objeto con una carga positiva $Q$ mucho mayor

De acuerdo con la ley de Coulomb, la fuerza ejercida por $q$ sobre la carga prueba es
$$\vec {\textbf F_{e}} = k_{e} \frac {q \ q_{0}}{r^2} \hat {\textbf r}$$   Donde $\hat {\textbf {r}}$  es un vector unitario con dirección de $q$ hacia $q_{0}$
Y como $\vec {\textbf {E}} = \vec {\textbf  F_{e} }/q_{0}$
Entonces
$$\vec {\textbf {E}} = k_{e} \frac {q \ q_{0}}{r^2} \hat {\textbf r} / q_{0}$$  $$\boxed {\color {red} {\vec {\textbf {E}} = k_{e} \frac {q }{r^2} \hat {\textbf r} }  } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$$
También tenemos que el campo eléctrico en el punto P debido a un grupo $n$ de cargas fuente, se expresa como la suma vectorial
 $$\boxed {\color {red} {\vec {\textbf {E}} = k_{e} \sum_{i=1}^n \frac {q_{i}}{r^2} \hat {\textbf r_{i}} }  } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$$

EJEMPLO 1   Las cargas $q_{1}$ y $q_{2}$ se ubican en el eje $x$, a distancias a$a$ y $b$, respectivamente del origen como se muestra en la figura 2.  Encuentra las componentes del campo eléctrico neto en el punto P, que está sobre el eje $y$ 

Fig. 2. El campo total en P es igual a la suma vectorial $\vec {\textbf E_{1}} + \vec {\textbf E_{2}}$
SOLUCIÓN 1  Recordemos que cuando no se nos da la gráfica, tendremos que hacerla nosotros y tenemos que colocar las fuerzas que están presentes en la carga prueba con su correcta dirección ademas de su correcto etiquetado.
Primero se encuentra el campo eléctrico en P debido a la carga $q_{1}$
$$E_{1} = k_{e} \frac{|q_{1}|}{r_{1}^2} = k_{e} \frac{|q_{1}|}{(a^2 + y^2)}$$
Luego se encuentra el campo eléctrico en P debido a la carga $q_{2}$
$$E_{2} = k_{e} \frac{|q_{2}|}{r_{2}^2} = k_{e} \frac{|q_{2}|}{(b^2 + y^2)}$$
Ahora, con estos valores escribiremos los vectores del campo eléctrico para cada carga
$$\vec {\textbf  E_{1} } = k_{e} \frac{|q_{1}|}{(a^2 + y^2)} cos \phi \hat {{\textbf i}} + k_{e} \frac{|q_{1}|}{(a^2 + y^2)} sen \phi \hat {{\textbf j}} $$
$$\vec {\textbf  E_{2} } = k_{e} \frac{|q_{2}|}{(b^2 + y^2)} cos \theta \hat {{\textbf i}} -  k_{e} \frac{|q_{2}|}{(b^2 + y^2)} sen \theta \hat {{\textbf j}} $$
Ahora, a partir de estos vectores tomamos las componentes necesarias que nos piden.
$$E_{x} = E_{1x} + E_{2x} =  \boxed {\color {red} {k_{e} \frac{|q_{1}|}{(a^2 + y^2)} cos \phi  +  k_{e} \frac{|q_{2}|}{(b^2 + y^2)} cos \theta } }$$
$$E_{y} = E_{1y} + E_{2y} =  \boxed {\color {red} {k_{e} \frac{|q_{1}|}{(a^2 + y^2)} sen \phi  -  k_{e} \frac{|q_{2}|}{(b^2 + y^2)} sen \theta }}$$

CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA
Con frecuencia, en un grupo de cargas, la distancia existente entre ellas es mucho mas reducida que la distancia entre le grupo y el punto donde se desea calcular el campo eléctrico.  En esta situación, el sistema de cargas se modela como si fuera continuo. Es decir, el sistema de cargas espaciadas en forma compacta es equivalente a una carga total que es distribuida de forma continua a lo largo de alguna línea, sobre alguna superficie o por todo el volumen.
Vimos en el tema anterior como analizar casos de distribución continua. apliquemos lo que aprendimos ahí para resolver los siguientes problemas.

PROBLEMA 2    Una barra de longitud $L$ tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud $\lambda$  y una carga total $Q$.  Calcula el campo eléctrico en un punt $P$  que se ubica a lo largo del eje largo de la barra y a una distancia $a$  desde el extremo,

Fig. 3   Ejemplo 3.  El campo eléctrico en P debido a una barra con carga uniforme

SOLUCIÓN 2    Encontramos primero la magnitud del campo eléctrico en P debido al al segmento $dx$ de la barra y que tiene una carga $dq$, recordando que $dq = \lambda \ dx $
$$dE = k_{e} \frac{dq}{x^2} = k_{e} \frac{\lambda \ dx}{x^2}$$
Para encontrar el campo total en P, basta integrar
$$E = \int dE = \int_{a}^{a + L} k_{e} \lambda \frac{dx}{x^2}  = k_{e} \lambda\int_{a}^{a + L} \frac{dx}{x^2}$$
$$E = \int_{a}^{a + L} k_{e} \lambda \frac{dx}{x^2}  = k_{e} \lambda  \bigg [- \frac{1}{x}\bigg ]_{a}^{L + a}$$
Y sabemos que $\lambda =Q/L$, entonces
$$E = k_{e} \frac{Q}{L}  \bigg [\frac{1}{a} - \frac {1}{L + a}\bigg ] = k_{e} \frac{Q}{L}  \bigg [\frac{L +  a - a}{a (L + a)}\bigg ] $$
$$E = k_{e} \frac{Q}{L}  \bigg [\frac{L}{a (L + a)}\bigg ] $$
$$\ \ \boxed {\color {red} {E = \frac{k_{e} \ Q}{a (L + a)} }   } \ \ $$

EJERCICIO 1  Un anillo de radio $a$  porta una carga total positiva distribuida uniformemente.  Calcula el campo eléctrico debido al anillo en un punto P que se encuentra a una distancia $x$ de su centro, a lo largo de eje central perpendicular al plano del anillo.

EJERCICIO 2  Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial uniforme $\sigma$. Calcula el campo eléctrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje perpendicular central del disco y a una distancia $x$ del centro del disco.

LINEAS DEL CAMPO ELÉCTRICO
Una ayuda conveniente para imaginar los patrones seguidos por los campos eléctricos, es trazar lo que se conoce como líneas de campo eléctrico,  las cuales tienen la misma dirección que el vector de campo eléctrico en cualquier punto.

Fig 3a.  Líneas de campo eléctrico para una carga puntual.  a) En el caso de una carga puntual positiva, las lineas son radiales hacia afuera.  b) Para una carga puntual negativa, las líneas son radiales hacia adentro

Estas líneas imaginarias están relacionadas  con el campo eléctrico en cualquier región del espacio de la manera siguiente;

1. El vector del campo eléctrico $\vec {\textbf E}$  es tangente a la línea de campo eléctrico en cada punto.
2. El número de líneas por unidad de área que pasan por una superficie perpendicular a las líneas es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en una región dada.

De estas consideraciones podemos deducir que  $\vec {\textbf E}$  es grande las líneas del campo están muy próximas entre sí  y es pequeño cuando están separadas. Esto lo podemos ver en la figura 4.

Fig. 4.  Líneas de campo eléctrico que atraviesan a dos superficies,
La magnitud del campo es mayor sobre la superficie A que sobre la B.

Por convención, las lineas están dirigidas hacia afuera si la carga es positiva, y hacia adentro si la carga es negativa.
Las reglas para dibujar las líneas de un campo eléctrico son las siguientes:

1. Las líneas deben empezar en una carga positiva y terminar en una carga negativa. En caso de que haya un exceso en cualquier carga, algunas líneas empezarán o terminarán en el infinito. Ver figura 3a
2. El número de líneas dibujadas que salen de una carga positiva o se acercan a una carga negativa será proporcional a la magnitud de dicha carga.
3. Dos líneas de campo no se pueden cruzar.

En la figura 5 se muestran las líneas de campo eléctrico alrededor de dos cargas puntuales
positivas iguales. De nuevo, las líneas son prácticamente radiales en puntos cercanos a cada
carga, y el mismo número de líneas emerge de cada carga pues son de igual magnitud.
A una distancia considerable de las cargas, el campo es casi igual al de una sola carga
puntual de magnitud 2q.

Fig 5.  a) Líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales positivas.
b) Pequeñas partículas suspendidas en aceite se alinean con el campo eléctrico.

MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS EN UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
Cuando una partícula con carga q y masa m se coloca en un campo eléctrico $\vec {\textbf E}$, la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga es $q\vec {\textbf E}$ , de acuerdo con la ecuación $\vec {\textbf F} = q\vec {\textbf E}$. Si esta es la única fuerza ejercida sobre la partícula, con toda probabilidad se trata de la fuerza neta, la cual provoca que la partícula se acelere de acuerdo con el modelo de partícula bajo una fuerza neta. Así,
$$\vec {\textbf F_{e}} = q\vec {\textbf E} = m\vec {\textbf a}$$  La aceleración de la partícula es por tanto
$$\vec {\textbf a} = \frac{q\vec {\textbf E}}{m}$$

EJEMPLO 3   Un campo eléctrico uniforme $\vec {\textbf E}$ se dirige a lo largo del eje x entre placas paralelas de carga separadas una distancia d, como se muestra en la figura 6. Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un punto A junto a la placa positiva y acelera a un punto B junto a la placa negativa.
a)   Encuentra la rapidez de la partícula em B al modelarla como una partícula bajo aceleración constante.

SOLUCIÓN 3   Cuando la carga positiva se coloca en A, experimenta una fuerza eléctrica hacia la derecha debido al campo eléctrico dirigido hacia la derecha.
Ya que el campo eléctrico es uniforme, una fuerza eléctrica constante actúa sobre la carga. Por lo tanto, el ejemplo es sobre una partícula con carga bajo aceleración constante.
Su velocidad se puede calcular con la ecuación:
$$v_{f}^2  =  v_{i}^2 + 2a(x_{f} -  x_{i})  = 0  + 2a(d - 0) = sad$$
$$v_{f} = \sqrt{2ad} = \sqrt{2\Big( \frac{qE}{m}\Big) d}$$
$$\boxed{\ \ \ v_{f} =  \sqrt{ \frac{2qEd}{m}} \ \ \ }$$


EJEMPLO 4   Un electrón entra a la región de un campo eléctrico uniforme, como se muestra en la figura 6, con $ v_{i} = 3.00 × 10^6 m/s $  y  $ E = 200 N/C $. La longitud horizontal de las placas es $l = 0.100 m$.   a)  Encuentra la aceleración del electrón mientras está en el campo eléctrico.  b)  Supón que el electrón entra en el  campo en el tiempo t = 0, encuentra el tiempo cuando deja el campo.

Fig 6.  Un electrón se proyecta horizontalmente en un campo eléctrico
uniforme producido por dos placas cargadas.

SOLUCIÓN 4   a)  Este ejemplo difiere del precedente porque la velocidad de la partícula con carga inicialmente es perpendicular a las líneas de campo eléctrico.  El electrón en este ejemplo sigue una trayectoria curva, como se muestra en la figura 6.
Dado que el campo eléctrico es uniforme, se ejerce una fuerza eléctrica constante sobre el electrón. Para encontrar la aceleración del electrón, se le modela como una partícula bajo una fuerza neta.
La dirección de la aceleración del electrón es hacia abajo en la figura 6, opuesta a la dirección de las líneas de campo eléctrico.
Combinamos la segunda ley de Newton con la magnitud de la fuerza eléctrica para encontrar la componente $y$ de la aceleración del electrón:
$$\sum F_{y} = m a_{y}$$
$$a_{y} = \frac{\sum F_{y}}{m}  =  \frac{eE}{m_{e}}$$
$$a_{y} = - \frac{(1.60 * 10^{-19}C) (200 N/C)}{9.11 * 10^{-31}kg} =  - 3.51 * 10^{13} m/s^2$$

b)  Como la fuerza eléctrica sólo actúa en la dirección vertical en la figura 6, el movimiento de la partícula en la dirección horizontal se puede analizar si la modela como una partícula bajo velocidad constante.
$$x_{f}  =  x_{i} + v_{x} t$$
$$t = \frac{x_{f} -  x_{i}}{v_{x}}$$
$$t = \frac{l - 0}{v_{x}} =  \frac{0.100 m}{3 * 10^6 m/s} = 3.33 * 10^{- 8} s$$

Y, ahora supón que la posición vertical del electrón cuando entra al campo es $y_{i} = 0$.  ¿Cuál es la posición vertical cuando sale del campo?    Sol.  - 1.95 cm

PROBLEMA 5     El siguiente diagrama (fig 7) muestra la región entre una placa grande con carga positiva y una esfera con carga negativa.  Las líneas identificadas como A a F son probables líneas de fuerza entre los dos objetos cargados.  Examina cada una de ellas e indica si el dibujo está hecho correctamente. En caso contrarios, explica por qué no es correcto y realiza un dibujo que muestre las líneas correctas.

Fig 7.  Problema 5

TAREA 3
Se proyectan varios protones con una rapidez inicial v i 9.55 km/s en una región donde está presente un campo eléctrico uniforme $\vec {\textbf E} = (- 720 jˆ ) N/C$, como se muestra en la figura 8. Los protones deben alcanzar un objetivo que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto por donde los protones atraviesan el plano y entran en el campo eléctrico. Determine a) los dos ángulos de proyección u que logren el resultado esperado y b) el tiempo de vuelo (intervalo de tiempo durante el cual el protón pasa por encima del plano en la figura 8) para cada una de las trayectorias.

Fig 8.   Tarea 3