INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES Y ALGUNAS DEFINICIONES
El símbolo $\mathbb R ^n$
Se usa el símbolo $\mathbb R ^n$ para denotar un conjunto de todos los vectores de dimensión n
$$\begin{bmatrix} {a_1}\\ {a_2}\\ {.}\\ {.}\\ {.}\\ {a_n} \end{bmatrix}$$Donde cada $a_i$ es un numero real.
Notación de sumatorias
Durante el desarrollo de esta materia se utilizará en forma constante las sumas entre elementos, por lo que será necesario entender como se realizan las operaciones en ellas.
Si $a_1, a_2, ... , a_n\ \in\ \mathbb R$, entonces la suma se denota por $$\sum_{j = 1}^n a_i = a_1 + a_2 + .... + a_n$$Donde el subíndice $i$ se llama índice mudo y todo el término que esté sumando y no lo contenga es considerado constante en la sumatoria.
El algebra de matrices es una rama de las matemáticas que se utiliza para analizar los sistemas de ecuaciones lineales, cuando estos tienen un número de ecuaciones superiores a tres.
Ejemplos de sumatorias
1. $\displaystyle\sum_{k = 1}^4 3k = 3\displaystyle\sum_{k = 1}^4 = 3(1 + 2 + 3 + 4) = 30$
2. $\displaystyle\sum_{k = 1}^5 k^2 =$
3. $\displaystyle\sum_{k = 1}^4 2^k =$
4. $\displaystyle\sum_{k = 2}^4 \displaystyle\sum_{j = 1}^2 k^j =$
5. $\displaystyle\sum_{j = 1}^{10} 5 = $
6. $\displaystyle\sum_{i = 1}^n x_iy_i = $
7. $\displaystyle\sum_{i = 1}^n (x_i + y_i) = $
8. $\displaystyle\sum_{i = 1}^n (x_i + y) = $
9. $\displaystyle\sum_{i = 1}^n (x + y) = $
10. $\displaystyle\sum_{k = 2}^4 \displaystyle\sum_{j = 1}^2 k^j = $
11. $\displaystyle\sum_{i = 1}^n (x_i - x)(y_i - y) = $
MATRICES
La matriz es un arreglo rectangular de elementos ordenados en m filas y n columnas.
La forma general de una matriz A es
$$\left ( \begin {array} {cc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ .. & .. & \cdots & ..\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {array} \right ) $$Esta matriz está constituida por elementos $a_{ij}$.
Los elementos de una matriz pueden ser números reales, polinomios, números complejos, etc.
Cada elemento de la matriz tiene dos subíndices, el primer subíndice indica la fila o renglón $(i)$ y el segundo, la columna $(j)$ de la matriz. El elemento $a_{ij}$ indica que está en la $i$_ésima fila y la $j$_ésima columna, para $i = 1, 2, 3, ... , m$ y $j = 1, 2, 3, ... , n$.
NOTACIÓN DE MATRICES
- Se representan mediante una letra mayúscula (A, B, C, ... , Z) en negritas (bold).
- También suelen representarse utilizando corchetes $[\textbf a _{ij}]$ o $||\textbf a _{ij}||$.
- El orden de la matriz $[\textbf a _{ij}]$ y se representa como: $[\textbf a _{ij}]_{\text {mxn}}$
Importante: No confundir el elemento $\textbf a _{ij}$ con la matriz $[\textbf a _{ij}]$
Ejemplo de matrices
1) Calificaciones obtenidas por seis estudiantes en cuatro exámenes
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text {Exámenes} $$$\textbf A = \left( \begin {array}{cc} 7 & 8 & 9 & 8\\ 9 & 9 & 10 & 10 \\ 6 & 7 & 7 & 8\\ 6 & 8 & 10 & 8\\ 7 & 8 & -5 & 9\\ 5 & 8 & 7 & 10 \end{array} \right) \ \ \text {Estudiantes (o .. ¿alumnos?)}$$
2) Representación de una tabla de costos de producción por tipo de producto
Los dato de esta tabla se pueden representar en una matriz A
$$\textbf A = \left( \begin {array} {cc} 10 & 12 & 16 & 9\\ 5 & 7& 9 & 4 \end {array} \right)$$
Ejercicio 1
Dada la siguiente matriz:
$$\textbf A = \left( \begin {array}{cc} 7 & 2 & 8 & 2\\ 9 & 5 & 3 & 5\\ 8 & 1 & 2 & 6\\ 3 & 3 & 5 & 9 \end{array} \right)$$
¿Cuál es el valor de: ?
$\textbf a _{23} $ _______
$\textbf a _{24} $ _______
$\textbf a _{33} $ _______
$\textbf a _{51} $ _______
El orden de ésta matriz: ______
¿Qué diferencia hay entre: $\textbf a _{ij}$ y $[\textbf a _{ij}]$
_____ es el elemento genérico de la matriz ubicado en la fila $i$ y la columna $j$
_____ es la notación abreviada de una matriz
Dimensión de una matriz
La dimensión u orden, indica primero el número de renglones (m), enseguida el número de columnas (n) que forman a la matriz de dimensión u orden m x n.
TIPOS DE MATRICES
Debido a que manejaremos varios tipos de matrices, es conveniente clasificarlas de alguna manera , por lo usaremos la clasificación general.
Matriz rectangular
La matriz rectangular se forma cuando $\textbf m \ \neq \textbf n $, o sea, el número de renglones es diferente al número de columnas.
Por ejemplo:
$$\textbf A = \left( \begin {array}{cc} 7 & 9 & 8 & 10\\ 5 & 12 & 2 & 1 \end{array} \right) _ {2\ \text x\ 4}$$
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de renglones que el de columnas, esto es m x n, donde m = n
Ejemplos de estas matrices:
$\textbf R = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 & -1\\ 2 & 4 & 7\\ 5 & 3 & 0 \end{array} \right )_{3\ \text {x}\ 3}$ Matriz cuadrada de dimensión 3
$\textbf X = \left ( \begin {array}{cc} 8 & 15\\ 1 & - 7 \end{array} \right )_{2\ \text{x}\ 2}$ cuadrada de dimensión 2
En la matriz cuadrada, los elementos que tienen el mismo índice en la fila y en la columna, forman una diagonal principal. Por ejemplo:
Matriz triangular superior
Es una matriz que tiene los elementos nulos ( 0 ) por debajo de la diagonal principal
Definición
$\boxed {\ \ \ \text {Una matriz triangular superior es aquella que cumple con } \ \ \ \textbf a _{ij} = 0\ \ \forall \ \ i > j \ \ \ }$
Un ejemplo de estas matrices es la siguiente:
$$\textbf B = \left( \begin{array} aa_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & a_{33} \end{array} \right)_{\text {3 x 3}}$$
Observa que la restricción no afecta a los elementos que están en la diagonal principal ni los que están arriba de ella.
$$\textbf C = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 0 & a_{23} & 0\\ 0 & 0 & a_{33} & 0\\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \end{array} \right)_{\text {4 x 4}}$$
Ejercicio 2
$\bullet $ ¿Cuales son los elementos donde $\textbf i\ >\ \textbf j$ _______
$\bullet $ ¿Cuál elemento de la diagonal e nulo ? ________
Matriz triangular inferior
Es una matriz que tiene los elementos nulos ( 0 ) por debajo de la diagonal principal
Definición
$\boxed {\ \ \ \text {Una matriz triangular superior es aquella que cumple con } \ \ \ \textbf a _{ij} = 0\ \ \forall \ \ \textbf i\ >\ \textbf j \ \ \ }$
En simbolos, una matriz $\textbf A = [\textbf a _{i\ j}] _{\text {m x n}} $ es triangular inferior si cumple que :
$$\textbf a _{\text {i j} } = 0 \ \ \ \forall \ \ \ \ \textbf i \ <\ \textbf j$$
Por ejemplo
$$\textbf D = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & 0 & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\ a_{31} & 0 & a_{33} & 0\\ 0 & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} \right)_{\text {4 x 4}}$$
Matriz Diagonal (D)
Definición La matrix diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son cero. Se simboliza como:
$$\textbf D = [\textbf a _{i\ j}] \ \ \text {si cumple que}\ \ \textbf a _{i\ j} = 0 \ \ \forall \ \ \ \textbf i\ \neq\ \textbf j $$
Un ejemplo de esta matriz es:
$$\textbf D = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & 0 & 0 & 0\\ 0 & a_{22} & 0 & 0\\ 0 & 0 & a_{33} & 0\\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \end{array} \right)_{\text {4 x 4}}$$
Matriz unitaria (I)
Definición
La matriz unitaria es una matriz triangular superior e inferior (matriz diagonal) en donde los elementos de la diagonal principal deben de ser igual a uno
$$\textbf a_{i\ j} = \left\{ \begin{array}{c}1\ \ \ si \ \ \textbf i = j\\ 0 \ \ \ si \ \ \ \textbf i \neq \textbf j \ \end{array} \right\} $$
Una matriz unitaria es:
$$\textbf D = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)_{\text {4 x 4}}$$
La matriz unitaria en algebra matricial cumple con el mismo papel que la unidad en el algebra básica (de los números reales), es decir, (a)(1) = (1)(a) = a
Propiedades de la matriz unitaria
$\textbf {AI = A}$
$\textbf {IA = A}$
OPERACIONES CON MATRICES
Sumas y múltiplos escalares
Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño (es decir, el mismo número de filas y de columnas) y sus columnas correspondientes son iguales, lo cual equivale a decir que sus entradas correspondientes son iguales. Si A y B son matrices m × n, entonces la suma A + B es la matriz m × n cuyas columnas son las sumas de las columnas correspondientes de A y B. Como la suma vectorial de las columnas se realiza por entradas, cada entrada en A + B es la suma de las entradas correspondientes de A y B. La suma A + B está definida sólo cuando A y B son del mismo tamaño.
EJEMPLO 1 Sean
a) A + B y
b) A + C
SOLUCIÓN 1a)
$$\textbf A\ +\ \textbf B = \left( \begin{array}{c} (4 + 1) & (0 + 1) & (5 + 1)\\ (-1 + 3) & (3 + 5) & (2 + 7 )\\ \end{array} \right) $$
Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo escalar rA es la matriz cuyas columnas son r veces las columnas correspondientes de A. Al igual que con los
vectores, se define −A como (−1)A y se escribe A − B en lugar de A + (−1)B.
EJEMPLO 2Sean A y B las matrices del ejemplo 1, encontrar
a) 2Bb) A - 2B
SOLUCIÓN 2
a)
b)
PROPIEDADES BÁSICAS SOBRE LA SUMA
Sean A, B y C tres matrices de $m\ \text x\ n$ y sean $\alpha$ y $\beta$ dos escalares, entonces:
i) A + 0 = A
ii) 0A = 0
iii) A + B = B + A Ley conmutativa para la suma de matrices
iv) (A + B) + C = A + (B + C) Ley asociativa para la suma de matrices
v) $\alpha$(A + B) = $\alpha$A + $\beta$B Ley distributiva para la multiplicación
vi) 1A = A
vii) ($\alpha$ + $\beta)$A = $\alpha$A + $\beta$A
TAREA 1 MATRICES del 15 de febrero para el 19 de febrero de 2018
En los siguiente problemas realiza las operaciones indicadas con:
2. 6B - 7A + 0C
3. Encuentra una matriz E tal que A + 2B - 3C + C es la matriz cero
4. Dados
Dadas las siguientes matrices realiza las siguientes operaciones
Realiza las siguientes operaciones
6. 4C - 2B + 3A
7. { 2A - [3B - C - (5A - 2C] ] }
8. Encuentra una matriz X tal que A + B + C + F es una matriz unitaria de 3 x 3 ( o sea, con todos sus elementos iguales a 1)
6. Encuentra una matriz G tal que 2A + B - 3C + G es una matriz unitaria de 3 x 3.
7. Encuentra una matriz H tal que
8. Expresa la suma de dos matrices en forma de sumatorias.
Por que no pones el resultado de la tarea culo roto
ResponderBorrar