Al analizar los campos eléctricos y magnéticos, es común utilizar la notación $d \vec {\textbf S}$ para representar un vector de desplazamiento infinitesimal que tiene una orientación tangente a una trayectoria a través del espacio. Esta trayectoria puede ser recta o curva, y la integral calculada a lo largo de esta trayectoria se conoce como integral de la trayectoria, o bien, integral de línea (los dos términos son sinónimos).
Para un desplazamiento infinitesimal $d \vec {\textbf S}$ de una carga puntual $q_0$ inmersa en un campo eléctrico, el trabajo realizado por un campo eléctrico sobre la misma es $\vec {\textbf {F}} \cdot d \vec {\textbf S} = q_0 \textbf E \cdot d \vec {\textbf S}$.
Conforme el campo consume esta cantidad de trabajo, la energía potencial del sistema carga-campo cambia en una cantidad $dU = - q_0 \vec{\textbf E} \cdot d \vec {\textbf S}$ .
Para un desplazamiento finito de la carga desde el punto A al punto B, el cambio en energía potencial del sistema $\Delta U = U_B - U_A$ es
$$\boxed{ \ \ \ \Delta U = - q_0 \int _A^B \vec {\textbf E} \cdot d \vec {\textbf S} \qquad \qquad \qquad (1) \ \ \ }$$
Para una posición conocida de la carga de prueba en el campo, el sistema carga-campo tiene una energía potencial $U$ relativa a la configuración del sistema definido como $U = 0$. Al dividir la energía potencial entre la carga de prueba se obtiene una cantidad física que depende sólo de la distribución de carga fuente y tiene un valor en cada uno de los puntos de un campo eléctrico. Esta cantidad se conoce como potencial eléctrico (o simplemente potencial) V:
$$\boxed{\ \ \ V = \frac{U}{q_0} \qquad \qquad \qquad (2) \ \ \ }$$
Como queda descrito en la ecuación 1, si la carga de prueba es desplazada entre las posiciones A y B en un campo eléctrico, el sistema carga-campo experimenta un cambio en su energía potencial.
La $\Delta V = V_B - V_A$ entre los puntos A y B de un campo eléctrico se define como el cambio en energía potencial en el sistema al mover una carga de prueba $q_0$ entre los puntos, dividido entre la carga de prueba:
$$\boxed{\ \ \ \Delta V = \frac{\Delta U}{q_0} = - \int _A^B \vec {\textbf E} \cdot d \vec {\textbf S}\qquad \qquad (3)\ \ \ }$$
NOTA Al igual que en el caso de la energía potencial, sólo las diferencias en el potencial eléctrico tienen significado. A menudo conviene hacer que en algún punto el valor del potencial eléctrico sea igual a cero.
La diferencia de potencial no debe confundirse con la diferencia en energía potencial. La diferencia de potencial entre A y B depende sólo de la distribución de carga fuente (considere los puntos A y B sin la presencia de la carga de prueba), mientras que la diferencia en energía potencial existe sólo si se desplaza una carga de prueba entre los puntos.
El trabajo consumido por un agente externo al desplazar una carga $q$ a través de un campo eléctrico con una velocidad constante es
$$\boxed{\ \ \ W = q\Delta V \qquad \qquad \qquad (4)\ \ \ }$$
Una unidad de energía comúnmente utilizada en física atómica y nuclear es el electrón volt (eV), que se define como la energía que un sistema carga-campo gana o pierde cuando se desplaza una carga de magnitud $e$ (un electrón o un protón) a causa de una diferencia de potencial de 1 V
$$1 eV = 1.60\ \text {x}\ 10^{-19}\ C\cdot V = 1.60\ \text{x}\ 10^{-19} J $$
No hay que olvidar lo siguiente:
1. un sistema consistente de una carga positiva y un campo eléctrico pierde energía potencial eléctrica cuando la carga se mueve en la dirección del campo.
2. Conforme esta partícula con carga adquiere energía cinética, el sistema carga-campo pierde una cantidad igual de energía potencial.
3. Un sistema formado por una carga negativa y un campo eléctrico adquiere energía potencial eléctrica cuando la carga se mueve en la dirección del campo.
Ahora considere el caso más general de una partícula con carga que se mueve entre A y B en un campo eléctrico uniforme, en el cual el vector $\vec {\textbf s}$ no es paralelo a las líneas de campo, entonces
$$\boxed{\ \ \ \Delta V = - \int_A^B \vec{\textbf E} \cdot d \vec{\textbf s} = - \vec {\textbf E} \cdot \int_A^B d \vec{\textbf s} = - \vec {\textbf E} \cdot \vec{\textbf s} \qquad \qquad (5) \ \ \ }$$
El cambio en le energía potencial del sistema carga-campo es
$$\boxed{\ \ \ \Delta U = q_0 \Delta V = - q_0 \vec {\textbf E} \cdot \vec {\textbf s}\qquad \qquad \qquad (6)\ \ \ }$$
RESUMEN DE FORMULAS
EN un campo eléctrico $\vec {\textbf E}$ una carga puntual $q_0$ experimenta una fuerza aque está dada ´por
$$\vec {\textbf F} = -q_0 \vec {\textbf E}$$
En un campo eléctrico, el diferencial de trabajo realizado por un agente externo es
$$dW = - q_0 \vec {\textbf E} \cdot d\vec {\textbf s}$$
La diferencia de potencial $\Delta V$ entre los puntos A y B en un campo eléctrico $\vec {\textbf E}$ se define como
$$ \Delta V = \frac{\Delta U}{q_0} = - \int _A^B \vec {\textbf E} \cdot d \vec {\textbf S} $$
Cuando una carga de prueba positiva $q_0$ se mueve entre los puntos A y B en un campo eléctrico $\vec {\textbf E}$, el cambio en la energía potencia del sistema carga-campo es
$$\Delta U = q_0 \Delta V = - q_0 \vec {\textbf E} \cdot \vec {\textbf s}$$
La diferencia de potencial entre dos puntos A y B separados una distancia d en un campo eléctrico uniforme $\vec {\textbf E} $ donde $\vec {\textbf s}$ es un vector que apunta de A a B y es paralelo a $\vec {\textbf E}$ es:
$$\Delta V = - E \int_A^B ds = - E d$$
Si se define $V = 0$ en $r = \infty$, el potencial eléctrico debido a una carga puntual a cualquier distancia r desde la carga es
$$V = k_e \frac{q}{r}$$
La energía potencial asociada con un par de cargas puntuales separadas una distancia $r_{12}$ es
$$U = k_e \frac{q_1 q_2}{r_{12}}$$
El potencial eléctrico debido a una distribución de carga continua es
$$V = k_e \int \frac{dq}{r}$$
PROBLEMA 1 Una batería tiene una diferencia de potencial específica $\Delta V$ entre sus terminales y se establece dicha diferencia de potencial entre los conductores unidos a las terminales. Una batería de 12 V se conecta entre dos placas paralelas, como se muestra en la figura 1. La separación entre las placas es $d = 0.30\ cm$ y se supone que el campo eléctrico entre las placas es uniforme. (Esta suposición es razonable si la separación de las placas es pequeña en relación con las dimensiones de las placas y no se consideran ubicaciones cerca de los bordes de las placas.) Encuentre la magnitud del campo eléctrico entre las placas.
SOLUCIÓN 1 Dado que se está pidiendo la magnitud del campo eléctrico, podemos usar (6)
$$q_0 \Delta V = - q_0 \vec {\textbf E} \cdot \vec {\textbf s}$$Como los vectores de la derecha son paralelos, entonces la ecuación se convierte a
$$q_0 \Delta V = - E s$$De donde$$E = \frac{| V_B - V_A|}{d}$$$$E = \frac{12\ v}{0.30\ \text {x}\ 10^{-2}\ m}$$$$\boxed{\ \ \ E = 4.0\ \text{x}\ 10^3\ V/m\ \ \ }$$
PROBLEMA 2 Un protón se libera desde el reposo en el punto A en un campo eléctrico uniforme que tiene una magnitud de $8.0\ \text {x}\ 10^4\ V/m$ (figura 2). El protón se somete a un desplazamiento de 0.50 m al punto B en la dirección de $\vec {\textbf E}$ . Encuentra la rapidez del protón después de completar el desplazamiento de 0.50 m.
Fig. 2. Un protón acelera de A a B en la dirección del campo eléctrico
SOLUCIÓN 2 La ecuación reducida de la conservación de la energía es:
$$\Delta K + \Delta U = 0$$$$(\frac{1}{2}mv^2 - 0 ) + e\Delta V = 0$$De donde $$v = \sqrt{\frac{- 2 e \Delta V}{m}}$$Pero $$\Delta V = - Ed$$Así que$$v = \sqrt{\frac{- 2 e (- Ed)}{m}} = \sqrt{\frac{2 e Ed}{m}}$$$$v = \sqrt{\frac{2 (1.6\ \text{x}\ 10^{-19}) (8.0\ \text{x}\ 10^{4}\ V)(0.50\ m)}{1.67\ \text{x}\ 10^{-27} Kg} }$$$$\boxed{\ \ \ v = 2.8\ \text{x}\ 10^6\ m/s \ \ \ }$$
PROBLEMA 3 Halle el trabajo realizado al mover una carga de + 2 e desde (2, O, O) m hasta (0,2, O) m a lo largo de la línea recta que une los dos puntos, si el campo eléctrico es
$$\vec {\textbf E} = 2x\hat{\textbf i} - 4y\hat{\textbf j} \quad (V/m)$$
El diferencial de trabajo es:
$$dW = - q dV = - q \vec {\textbf E} \cdot d \vec {\textbf S} $$$$= - 2( 2x\hat{\textbf i} - 4y\hat{\textbf j}) \cdot (dx \hat{\textbf i} + dy \hat{\textbf j} + dz \hat{\textbf k})$$$$ dW = - 4xdx + 8ydy$$Ahora, usamos esta integral para la trayectoria dada, donde $x + y = 0$, o $y = 2 - x$ y de esta ecuación $dy = - dx$, la cual sustituimos en la ecuación anterior
$$ dW = - 4xdx + 8(2 - x)(- dx)$$$$DW = (4x - 16) dx$$
$$W = \int _2^0 ( 4x - 16)dx $$$$\boxed{\ \ \ W = 24\ j \ \ \ }$$
No hay que olvidar que 1 V/m = 1 N/C = 1 J/(C m)
EJERCICIO 1 Encuentra el trabajo realizado en el campo del ejemplo 1 si la carga de 2 C es movida desde (2, O, O) m hasta (O, O, O) a lo largo del eje x. Luego desde (O, O, O) m hasta (O, 2, O) m a lo largo del eje y.
PROBLEMA 4 Como se muestra en la figura 3a, una carga $q_1 = 2.00\ \mu C$ se ubica en el origen y una carga $q_2 = - 6.00\ \mu C$ se ubica en (0, 3.00) m.
a) Encuentre el potencial eléctrico total debido a estas cargas en el punto P, cuyas coordenadas son (4.00, 0) m.
b) Encuentre el cambio en energía potencial del sistema de dos cargas más una tercera carga $q_3 = 3.00\ \mu C$ conforme la última carga se mueve del infinito al punto P (figura 3b).
SOLUCIÓN 4 Como las cargas de $2.00\ \mu C$ y de $- 6.00\ \mu C$ son cargas fuente y establecen un campo eléctrico así como un potencial en todos los puntos del espacio, incluido el
punto P.
Fig. 3 Potencial eléctrico en P debido a dos cargas
a) El potencial se evalúa con
$$V_p = k_e \Big( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \Big)$$$$= (8.99\ \text{x}\ 10^9 N \cdot m^2 /C^2) \Big( \frac{2.00\ \text{x}\ 10^{-6} C}{4.00\ m} + \frac{- 6.00\ \text{x}\ 10^{-6} C}{5.00\ m} \Big)$$$$\boxed{\ \ \ V_P = - 6.29\ \text{x}\ 10^3\ V \ \ \ }$$
b) Como la partícula se aproxima desde el infinito $U_i = 0$, por lo que $U_f = q_3 V_p$ y por tanto
$$\Delta U = U_f - U_i = q_3 V_p - 0 = (3.00\ \text{x}\ 10^{-6} C ) (- 6.29\ \text{x} 10^3\ V )$$$$\boxed{\ \ \ \Delta U = - 1.89\ \text{x}\ 10^{-2}\ J\ \ \ }$$
EJERCICIO 2 Un dipolo eléctrico consiste de dos cargas de igual magnitud y signo opuesto separadas por una distancia 2a como se muestra en la figura 4. El dipolo está a lo largo del eje X y tiene centro en el origen.
a) Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje Y
Sol. $V_P = k_e \sum_{i = 1}^n \frac{q_i}{r_i} = 0$
b) Calcule el potencial eléctrico en el punto R sobre el eje + X
Sol $V_R = - \frac{2k_e q a}{x^2 - a^2}$
c) Calcule $V$ y $E_x$ en un punto sobre el eje X lejos del dipolo
Sol. $V_R = - \frac{2k_e q a }{x^2}$
Maestro necesito comunicarme con usted (es algo urgente)
ResponderBorrarBuenas noches Dezko Perez. Puedes escribirme al correo o llamarme al cel como gustes
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