Espacio tridimensional

SISTEMA TRIDIMENSIONAL DE COORDENADAS

Para localizar un punto en un plano, son necesarios dos números. Se sabe que cualquier punto en el plano se puede representar como un par ordenado (x, y) de números reales. Por esta razón, un plano se llama bidimensional  $\mathbb {R^2 }$. Para localizar un punto en el espacio  $\mathbb {R^3 }$, se requieren tres números. Se representa cualquier punto en el espacio mediante una terna ordenada (x, y, z) de números reales (Figura 1).

Fig. 1   Eje de coordenadas en $\mathbb {R^3 }$   y la regla de mano derecha

La ubicación de los ejes coordenados no es arbitrario, para su ubicación se sigue la regla de la mano derecha  (figura 1). Además el eje-x, eje-y  y  el  eje-z, tienen la característica de que son perpendiculares entre sí.
Los tres ejes de coordenadas determinan los tres planos coordenados ilustrados en la figura 1. El plano xy es el plano que contiene el eje-x   y   el eje-y y; el plano yz contiene el eje-y y el eje-z; el plano xz contiene el ejes-x y  el eje-z.
Estos tres planos coordenados dividen el espacio en ocho partes, llamados octantes, ver la figura 2. El primer octante, en primer plano, se determina mediante los ejes positivos.

Fig. 2.   Los planos formando los 8 octantes en  $\mathbb {R^3 }$

El punto P(a, b, c) determina una caja rectangular como en la figura 3. Si se traza una perpendicular de P al plano xy, se obtiene un punto Q con coordenadas (a, b, 0) conocido como proyección de P en el plano xy. De manera similar, R(0, b, c) y S(a, 0, c) son las proyecciones de P sobre el plano yz y el plano xz, respectivamente.

Fig 3.  Proyecciones del punto P en los planos XY,  XZ y  YZ

NOTA.  a $\mathbb {R^3 }$  se le conoce también como producto cartesiano:   

$$\mathbb {R}\ X\ \mathbb {R}\ X\ \mathbb {R} = \{ (x, y, z)\ |\ x, y, x\ \in \mathbb {R} \}$$

Que se lee como:  Conjunto de las ternas (x, y, z)  tal que x, y y z  son elementos de loa números reales.

En geometría analítica bidimensional, la gráfica de una ecuación en $x$  y  $y$  es una curva en $\mathbb {R^2}$ . En geometría analítica tridimensional, una ecuación en $x$,   $y$   y  $z$   representa una superficie en $\mathbb {R^3}$ .

EJEMPLO 1     ¿Qué superficies en   $\mathbb {R^3 }$  están representadas por las siguientes ecuaciones?
a)    $z = 3$                               b)   $y = 5$

SOLUCIÓN 1     
a)   La ecuación  z = 3   representa el conjunto de $\{(x, y, z) |  z = 3 \}$   que es el conjunto de todos los puntos en $\mathbb {R^3}$  cuya coordenada z  es  3.  Éste es el plano horizontal  paralelo al plano xy  y está tres unidades arriba de él,  ver figura 4a)

                                                                       Fig 4.     Ejemplo 1

b)   La ecuación y = 5 representa el conjunto de todos los puntos en  $\mathbb {R^3}$  cuya coordenada y es 5. Éste es el plano vertical que es paralelo al plano xz y está cinco unidades a la derecha de él como en la figura 4b).

EJEMPLO 2     
a)     ¿Qué puntos (x, y, z)  satisfacen las ecuaciones
$$x^2\ +\ y^2\ =\ 1 \qquad\ y\ \qquad z = 3$$
b)     ¿Qué representa la ecuación  $x^2\ +\ y^2\ =\ 1$  como superficie en $\mathbb {R^3}$ ?

SOLUCIÓN 2
a)       Como z  =  3, los puntos están en el plano horizontal z = 3 del ejemplo 1a). Debido a que $x^2\ +\ y^2\ =\ 1$, los puntos se hallan sobre la circunferencia con radio 1 y centro sobre el eje-x. Véase la figura 5.

Fig. 5.   Izquierda, la circunferencia $x^2  +  ^2 = 1$,  $z = 3$;  

Derecha,  el cilindro $x^2  +  y^2 = 1$

EJEMPLO 2    Describe y bosqueje la superficie en $\mathbb {R^ 3}$ representada por la ecuación  $y = x$.

SOLUCIÓN 2
La ecuación representa el conjunto de todos los puntos en  $\mathbb {R^3}$ cuyas coordenadas $x$ y $y$ son iguales, es decir, ${(x, x, z) |\ x \in \mathbb {R}, z \in {R}}$. Éste es un plano vertical que interseca al plano xy en la recta y = x, z = 0. La porción de este plano que se encuentra en el primer octante se bosqueja en la figura 6.

Fig 6.  El plano $y = x$

Vimos en geometría analítica la formula de la distancia entre dos puntos en $\mathbb {R^2}$, la cual se puede extender fácilmente a $\mathbb {R^3}$

FORMULA DE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN TRES DIMENSIONES
La distancia $|P_{1}P_{2}|$  entre dos puntos $P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$  y  $P_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2})$  es
$$\boxed {\ \ \ |P_{1}P_{2}| = \sqrt {(x_{2}  -  x_{1})^2  +  (y_{2}  -  y_{1})^2  +  (z_{2}  -  z_{1})^2}\ \ \ }$$

EJEMPLO 3    Halla una ecuación de la esfera con radio r y centro C(h, k, l ).

SOLUCIÓN 3
Recordemos que por definición, una esfera es el conjunto de todos los puntos P(x, y, z) cuya distancia desde C es r. (Ve la figura 7). Así, P está sobre la esfera si y sólo si $|PC| = r$. Al elevar al cuadrado ambos lados, se tiene $|PC^2 = r^2$ , o bien
$$(x  -  h)^2  +  (y  -  k)^2  +  (z  -  l)^2  =  r^2$$

EJEMPLO 4    Demuestre que $x^2  +  y^2  +  z^2 + 4x - 6y + 2z + 6 = 0$ es la ecuación de una esfera, y determine su centro y radio.

SOLUCIÓN 4
Si agrupamos todos los términos con la misma variable y el término constante lo pasamos al lado contrario de la igualdad, tendremos
$$x^2 +  4x   +  y^2  - 6y  +  z^2 + 2z  =  -6$$  Como tenemos un término cuadrático y uno linea, solo nos faltaría una constante para completar un binomio cuadrado perfecto y eso lo conseguimos dividiendo el coeficiente del término lineal entre 2 y el resultado lo elevamos al cuadrado, de esa manera se lo agregamos (sumamos) a cada par de términos de la misma variable y tendremos tres términos que factorizando nos dará un cuadrado perfecto.
$$(x^2 +  4x   +  4)  +  (y^2  - 6y  +  9)  +  (z^2 + 2z  +  1)=  -6 + 4  +  9  +  1$$  Es de observarse que si a una igualdad le agregamos una cantidad de un lado, también se la deberemos agregar del otro para no alterar la igualdad.  Ahora factorizamos y tendremos
$$(x +  2)^2  +  (y  -  3)^2  +  (z  +  1)^2 =  8$$  Así, de esta forma observamos que el centro de la esfera es  C(- 2, 3,  -1)  y su radio = $\sqrt{8}$

EJEMPLO 5    ¿Qué región en $\mathbb {R^3}$ está representada por las siguientes desigualdades?
$$1\ \leq\ x^2 + y^2 + z^2\ \leq\ 4 \qquad \quad z\ \leq 0$$

SOLUCIÓN 5
Las desigualdades
$$1\ \leq\ x^2 + y^2 + z^2\ \leq\ 4$$ Se pueden escribir como
$$1\ \leq\ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\ \leq\ 2$$ Y ahora podemos ver que esta desigualdad representa todos los puntos (x, y, z)  cuya distancia es al menos 1  a lo mas 2,  esto es, es, son los puntos contenidos entre dos esferas concéntricas de radio 1 y radio 2,  además tenemos otra condicionante, que los puntos z deben ser menos que cero o sea,   $z\ \leq\ 0$, así que solo serán los puntos que están abajo del plano xy como se ve en la figura 7

Fig 7.   Ejemplo 5

PROBLEMAS