COORDENADAS ESFÉRICAS
Las coordenadas esféricas $(\rho, \theta, \phi)$ de un punto P en el espacio se ilustra en la figura 1, donde $\rho = |OP|$ es la distancia del origen a P, $\theta$ es el mínimo ángulo en coordenadas cilíndricas y $\phi$ es el ángulo entre el eje $z$ positivo y el segmento de recta OP. Es importante notar que
$$\rho \geq 0\qquad \qquad \qquad 0 \leq \leq \phi$$
Figura 1 Coordenadas esféricas de un punto P
El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría respecto a un punto y el origen se coloca en este punto.
La gráfica de la ecuación $\rho = c $, es una esfera con centro en el origen, ver figura 2, la ecuación $\theta = c$ es un plano vertical, ver la figura 3, la ecuación $\phi = c$ representa un semi cono con el eje $z$ en su eje. Ver figura 4
La relación entre las coordenadas rectangulares y esféricas se puede ver en la figura 5.
Figura 5.
De los triángulos OPQ y OPP' tenemos
$$z = \rho \,cos \phi \qquad \qquad \qquad r = \rho \, sen \phi$$
pero $x = cos \theta \quad y = r \, sen\theta$ de modo que para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares, usamos las ecuaciones:
$$\boxed{x = \rho \, sen\phi\, sen\theta \qquad \qquad y = \rho\, sen \phi\, sen \theta \qquad z = \rho\, cos \phi }$$
$$\boxed{\rho^2 = x^2 + y^2 + z^2}$$
Evaluación de integrales triples con coordenadas esféricas
En el sistema de coordenadas esféricas, la contratarte de una caja rectangular es una cuña esférica. que se muestra en la gráfica 6.
$$\Delta\,V = \rho^2\, sen\phi\,\Delta\rho\,\Delta\phi\,\Delta\theta$$
De tal modo, en una integral triple de una función continua en coordenadas esféricas $f (\rho,\, \phi, \, \theta)$ el diferencial de volumen $dV$ es
$$dV = \rho^2\, sen\phi\, d\rho \, d\phi \, d\theta$$
Por tanto, una integral triple común en coordenadas esféricas tiene la forma
$$\int\int \limits_{D}\int f(\rho,\, \phi, \, \theta ) dV = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{g_{1}(\theta )}^{g_{2} (\theta)} \int_{h_{1}(\phi, \theta)}^{h_{2}(\phi, \theta)} f(\rho. \, \phi, \, \theta )\rho^2 sen\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta$$
EJEMPLO 1
Un sólido en el primer octante tiene la forma determinada por la gráfica del cono de un solo manto $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ y los planos $z = 1$, $x = 0$, y $y =0$. encontrar el volumen de dicho cuerpo.
Solución
Primero ponemos nuestra integral triple y luego la integral iterada:
$$ V = \int\int \limits_{D}\int \,dV = \int_{0}^{\pi / 2}\int_{0}^{\pi / 4}\int_{0}^{sec\, \phi} \rho^2\, sen \phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta =$$
$$ V = \int_{0}^{\pi / 2}\int_{0}^{\pi / 4} \frac{1}{3}\rho^3\bigg|_{0}^{sec \phi}\, sen \phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta =$$
$$= \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi / 2}\int_{0}^{\pi / 4} sec^3 \phi\, sen \phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta =$$
$$= \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi / 2}\int_{0}^{\pi / 4} sec^2 \phi \,\frac{1}{cos \phi} \, sen \phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta =$$
$$= \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi / 2}\int_{0}^{\pi / 4} sec^2 \phi \, tan \phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{2}\, tan^2 \phi \bigg|_{0}^{\pi / 4}\, d\theta$$
$$= \frac{1}{6}\int_{0}^{\pi / 2} d\theta = \frac{1}{12} \pi$$
EJERCICIOS
Convierte la ecuación dada a coordenadas esféricas
1. $x^2 + y^2 + z^2 = 64$
2. $x^2 + y^2 + z^2 = 4z$
3. $z^2 = 3x^2 + 3y^2$
4. $- x^2 - y^2 + z^2 = 1$
Convierte la ecuación dada a coordenadas rectangulares
5. $\rho = 10$
6. $\phi = \frac{\pi}{3}$
7. $\rho = 2 sec\phi$
8. $\rho \, sen^2 \phi = cos\phi$
No hay comentarios. :
Publicar un comentario