VECTORES
Introducción a los vectores
En física, con mucha frecuencia se necesita trabajar con cantidades físicas que tienen propiedades tanto numéricas como direccionales. A estas cantidades se les conoce como cantidades vectoriales o simplemente vectores.
Para describir un vector analíticamente, supondremos que los vectores a considerar yacen en un plano de coordenadas bidimensional o espacio bidimensional.
Muchos aspectos de la física incluyen una descripción de una ubicación en el espacio. Por ejemplo, el del movimiento de un objeto requiere un método para describir la posición del este en varios tiempos. En dos dimensiones esta descripción se logra con el uso del sistema de coordenadas cartesianas,en el que ejes perpendiculares cruzan en un punto definido como el origen, FIGURA 1.
Las coordenadas cartesianas también se llaman coordenadas rectangulares.
Cualquier punto en el plano cartesiano puede dar como resultado un vector. El vector que se muestra en la FIGURA 2 , cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto final es P($x_1$, $y_1$) recibe el nombre de vector posición del punto P y se escribe
Para describir un vector analíticamente, supondremos que los vectores a considerar yacen en un plano de coordenadas bidimensional o espacio bidimensional.
Muchos aspectos de la física incluyen una descripción de una ubicación en el espacio. Por ejemplo, el del movimiento de un objeto requiere un método para describir la posición del este en varios tiempos. En dos dimensiones esta descripción se logra con el uso del sistema de coordenadas cartesianas,en el que ejes perpendiculares cruzan en un punto definido como el origen, FIGURA 1.
Las coordenadas cartesianas también se llaman coordenadas rectangulares.
Fig. 1
Cualquier punto en el plano cartesiano puede dar como resultado un vector. El vector que se muestra en la FIGURA 2 , cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto final es P($x_1$, $y_1$) recibe el nombre de vector posición del punto P y se escribe
$$\vec {OP} = < x_1, y_1>$$
Fig 2. Vector posición
En general, cualquier vector en el espacio bidimensional $\mathbb R ^2$ puede identificarse con un vector posición único $\textbf {a} = \ <a_1, a_2>$. Los números $a_1$ y $a_2$ son las componentes del vector posición $\textbf a$, por supuesto que esto se puede extrapolar al espacio tridimensional $\mathbb R ^3$.
Las operaciones que se pueden llevar a cabo con las componentes son:
Y a su vez, los vectores tienen las siguiente propiedades:
Por supuesto que cuando trabajamos no siempre vamos a trabajar con vectores posición o vectores en $\mathbb R ^2$ o sea, en el plano bidimensional.
Otra notación para un vector es de la forma
$$\vec {\textbf a} = a_x\hat {\textbf i} + a_y\hat {\textbf j} + a_z\hat {\textbf k} $$
Por ejemplo, el punto $P_1$ tiene como vector posición $<x_1, y_1, z_1>$ o $\vec {OP_1}$ y el punto $P_2$ tiene como vector posición $<x_2, y_2, z_2>$ o $\vec {OP_2}$ Y con estos dos vectores se puede obtener el vector $\vec {P_1P_2}$ de la siguiente manera:
$$\overrightarrow {P_1P_2} = (x_2 - x_1)\hat {\textbf i} + (y_2 - y_1)\hat {\textbf j} + (z_2 k- z_1)\hat {\textbf k } $$
Con base al Teorema de Pitágoras se puede definir la magnitud, longitud o norma de un vector $\textbf a = <a_1, a_2>$ en $\mathbb R ^2$ como:
$$|\textbf a | = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} $$
Y para vectores en $\mathbb R ^3$ con $\textbf a = <a_1, a_2, a_3>$ como:
$$|\textbf a | = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $$
Otra notación para un vector es de la forma
$$\vec {\textbf a} = a_x\hat {\textbf i} + a_y\hat {\textbf j} + a_z\hat {\textbf k} $$
a) b)
Fig. 3 a) Vector en $\mathbb R ^3$ b) Vector que conecta dos puntos
Por ejemplo, el punto $P_1$ tiene como vector posición $<x_1, y_1, z_1>$ o $\vec {OP_1}$ y el punto $P_2$ tiene como vector posición $<x_2, y_2, z_2>$ o $\vec {OP_2}$ Y con estos dos vectores se puede obtener el vector $\vec {P_1P_2}$ de la siguiente manera:
$$\overrightarrow {P_1P_2} = (x_2 - x_1)\hat {\textbf i} + (y_2 - y_1)\hat {\textbf j} + (z_2 k- z_1)\hat {\textbf k } $$
Con base al Teorema de Pitágoras se puede definir la magnitud, longitud o norma de un vector $\textbf a = <a_1, a_2>$ en $\mathbb R ^2$ como:
$$|\textbf a | = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} $$
Y para vectores en $\mathbb R ^3$ con $\textbf a = <a_1, a_2, a_3>$ como:
$$|\textbf a | = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $$
Fig 4 Distancia entre dos puntos en el espacio tridimensional $\mathbb R ^3$
Un vector que tiene magnitud 1 recibe el nombre de vector unitario. Se puede obtener un vector unitario de cualquier vector $\textbf u$ al multiplicar el vector por el escalar positivo $k = 1 / | \textbf a |$, asi que podemos decir que
$$\hat {\textbf u} = \bigg |\frac{1}{|\textbf a |} \textbf a \bigg | = \frac{1}{|\textbf a |} |\textbf a |$$
EJEMPLO 1. Dado el punto P(2, 4, 5), obtén su vector unitario.
SOLUCIÓN 1 Recordemos que un vector unitario, es aquél que va desde el origen de plano cartesiano hasta dicho punto, por lo que el vector posición es:
$$\vec {\textbf OP} = \vec {\textbf u} = <2, 4, 5>$$
Ahora, para hacer el vector unitario, lo que tenemos que encontrar es su magnitud:
$$|\vec {\textbf u}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 5^2} = 3\sqrt{5}$$
Y dividir $\vec {\textbf u}$ por su magnitud:
$$\boxed { \ \ \hat {\textbf u} = \frac{1}{3\sqrt{5}} <2, 4, 5> \ \ }$$
Producto escalar
Se pueden efectuar dos tipos de productos, el primero es el producto punto, también conocido como producto interior o producto escalar. Este último nombre no implica que se hace el producto de dos escalares, sino que el productos de dos vectores da como resultado un número real o escalar y es porque está definido en término de las componentes de los vectores.
Una forma alterna de expresar el producto punto de dos vectores en términos de las longitudes de los vectores y del ángulo entre ellos
Las dos definiciones del producto punto se pueden usar simultáneamente para resolver ciertos problemas. Recuerden que la solución de problemas implica muchas veces, más de lo que se está viendo ya que frecuentemente tienen que hacer uso de sus conocimientos previos sobre variados temas.
El producto punto posee las siguientes propiedades
NOTA, de aquí en adelante designaré un vector sin usar la flechita sobre la letra que representará el vector, esto es: $$\vec {\textbf a} \equiv \textbf a$$
Esto lo hago para simplificar la escritura ya que aqui si se puede escribir un vector con negrillas mientras que en escritura normal no.
EJEMPLO 2 Encuentra a) 3$\textbf a$, b) $\textbf a + \textbf b$, c) $\textbf a - \textbf b$, d) |$\textbf a + \textbf b$|, e) |$\textbf a - \textbf b$|
1. $\textbf a = 2\hat {\textbf i} + 4\hat {\textbf j}$, $\textbf b = -\hat {\textbf i} + 4\hat {\textbf j} - 3\hat {\textbf k}$
2. $\textbf a = <1, 1, 1>$, $\textbf b = <2, 3, 4>$
SOLUCIÓN 2
1)
a) 3$\textbf a = 3(2\hat {\textbf i} + 4\hat {\textbf j}) = \boxed {6\hat {\textbf i} + 12\hat {\textbf j} }$
b) $\textbf a + \textbf b = ( 2\hat {\textbf i} + 4\hat {\textbf j} ) + ( -\hat {\textbf i} + 4\hat {\textbf j} - 3\hat {\textbf k} ) = \boxed {\hat {\textbf i} + 8\hat {\textbf j} - 3\hat {\textbf k} }$
c) $\textbf a - \textbf b = ( 2\hat {\textbf i} + 4\hat {\textbf j} ) - ( -\hat {\textbf i} + 4\hat {\textbf j} - 3\hat {\textbf k} ) = \boxed {3\hat {\textbf i} + 3\hat {\textbf k} }$
d) Del inciso b, ya tenemos la suma de los dos vectores, así que
$$|\textbf a + \textbf b | = \sqrt {1^2 + 8^2 + (- 3)^2} = \boxed {74 }$$
e) También ya tenemos la diferencia de los vectores del inciso c, así que
$$|\textbf a - \textbf b| = \sqrt {3^2 + 3^3} = \boxed { 3\sqrt{2} }$$
2. Se hace exactamente lo mismo que el inciso 1)
EJEMPLO 3 Encuentra el punto final del vector $\overrightarrow {P_1P_2} = 4\hat {\textbf i} + 8\hat {\textbf j}$ si su punto inicial es $(4, 7)$.
SOLUCIÓN 3 Explicarlo en clase
EJEMPLO 4 Determina un escalar $c$ de manera que $\textbf a = 3\hat {\textbf i} + c\hat {\textbf j}$ y $\textbf a = - \hat {\textbf i} + 9\hat {\textbf j}$ sean ortogonales.
SOLUCIÓN 4 Recordemos que la palabra ortogonal es igual a perpendicular. Sabemos que de la relación entre la primera y segunda definición del producto punto tenemos:
$$\textbf a \ \cdotp \textbf b = | \textbf a| |\textbf b| cos \theta = a_1b_1 + a_2b_2 $$$$|\textbf a | | \textbf a | cos 90° = (3)(-1) + (c)(9)$$$$ 0 = -3 + 9c $$$$\boxed {\ \ c = \frac {1}{3}\ \ } $$
EJEMPLO 5 Determina un angulo $\theta$ entre los vectores dados
a) $\textbf a = <2, 4, 0>$, $\textbf b = <-1, -1, 4>$
b) $\textbf a = 3\hat {\textbf i} - \hat {\textbf k}$, $\textbf b = 2\hat {\textbf i} + 2\hat {\textbf k}$
SOLUCIÓN 5 Recordemos la relación:$$\textbf a \ \cdotp \textbf b = | \textbf a| |\textbf b| cos \theta = a_1b_1 + a_2b_2 $$
a) calculamos la magnitud de los vectore
$| \textbf a | = \sqrt {(2)^2 + (4)^2 + (0)^2} = \sqrt {20}$, $| \textbf b| = \sqrt {(-1)^2 + (-1)^2 + (4)^2} = \sqrt {18}$
$$|\textbf a| | \textbf b| cos \theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$$$\sqrt{20} \sqrt{18} = (2)(-1) + (4)(-1) + (0)(4) $$$$\sqrt{20*18}\ cos\ \theta = -2 -4 $$$$cos\ \theta = \frac{- 6}{\sqrt{360}}$$$$cos\ \theta = \frac{-6}{6 \sqrt{10} }$$$$cos\ \theta = \frac{- 1}{\sqrt{10} }$$Ahora que ya conocemos el coseno, se saca el coseno inverso para obtener el ángulo:
$$arccos (\frac{-1}{\sqrt{10} } $$$$\boxed {\ \ \theta = 108.43° \ \ }$$
EJEMPLO 6 Determina un escalar $c$ de manera que los vectores dados sean ortogonales $\textbf a = 2\hat {\textbf i} - c\hat {\textbf j} + 3\hat {\textbf k}$ y $\textbf a = 3\hat {\textbf i} + 2\hat {\textbf j} + 4\hat {\textbf k}$
SOLUCIÓN 6 Una condición para que dos vectores sean perpendiculares es que su producto punto sea igual a cero o sea:
$$\textbf a \cdotp \textbf b = |\textbf a ||\textbf b | cos\theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$
Y si el ángulo es $\theta = 90$ entonces $cos (90) = 0$, por lo que
$$0 = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$Y aprovechando esta propiedad tendremos
$$<2, - c, 3> \cdotp <3, 2, 4> = 0$$$$(2)(3) + (-c)(2) + (3)(4) = 0$$$$6 -2c + 12 = 0$$$$18 - 2c = 0$$$$\boxed { \ \ c = 9 \ \ }$$
PRODUCTO CRUZ
Otro producto entre dos vectores es el producto cruz, cuyo resultado es un vector perpendicular al plano formado por los dos vectores.
Como se hizo en la discusión del producto punto, definimos el producto cruz de dos vectores a y b en términos de las componentes de los vectores.
La cuál también se puede representar como:
Para esta encrucijada usaremos la regla de la mano derecha:
 |
| Fig 5. Regla de la mano derecha |
Productos especiales
El triple producto escalar de los vectores a, b y c es $\textbf a \ \cdotp (\textbf b\ \text {x} \ \textbf c)$ puede escribirsse como un determinante de 3 X 3$$\textbf a \ \cdotp (\textbf b \ \text {x} \ \textbf c ) = \left | \begin {array} {cc} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right |$$
Utilizando las propiedades de los determinantes se puede mostrar que:
$$\textbf a \ \cdotp (\textbf b \ \text {x} \ \textbf c ) = ( \textbf a \ \text {x} \ \textbf b ) \ \cdotp \ \textbf c $$
El Triple producto vectorial de tres vectores a, b y c es:
$$\textbf a \ \text {x} \ (\textbf b \ \text {x} \ \textbf c )$$El triple producto se relaciona con el producto punto por medio de
$$\textbf a \ \text {x} \ (\textbf b \ \text {x} \ \textbf c ) = (\textbf a \ \cdotp \ \textbf c)\textbf b - (\textbf a \ \cdotp \ \textbf b)\textbf c$$
Areas
Dos vectores distintos de cero y no paralelos a y b pueden considerarse como los lados de un paralelogramo. El área A de un paralelogramo es$$A = (base)(altura)$$En la figura 5 a) se puede ver que $A = |\textbf a |(|\textbf b|\ sen \theta ) = |\textbf a ||\textbf b|\ sen \theta $ , o lo que es lo mismo:
$$A = |\textbf a \ \text {x}\ \textbf b |$$
De la misma manera que en la figura 6 b), vemos que el área del triángulo con lados a y b es:
$$A = \frac{1}{2} |\textbf a \ \text{x} \ \textbf b |$$
Fig. 6
EJEMPLO 9 Encuentra el área del triángulo determinado por los puntos $P_1(1, 1, 1)$, $P_2(2, 3, 4)$ y $P_3(3, 0, -1)$
SOLUCIÓN 9 Recuerden que Primeramente graficamos los puntos dados, ya que para calcular el área de un triángulo requerimos de dos vectores, por lo que elegimos con esos tres punto crear dos vectores arbitrarios, digamos:
$$\overrightarrow {P_1P_2} = \hat {\textbf i} + 2 \hat {\textbf j} + 3\hat {\textbf k} \qquad y \qquad \overrightarrow {P_2P_3} = \hat {\textbf i} - 3 \hat {\textbf j} -5 \hat {\textbf k}$$Ahora hacemos el producto cruz
$$\overrightarrow {P_1P_2} \text{x} \ P_2P_3 = \left | \begin{array}{cc} \hat {\textbf i} & \hat {\textbf j} & \hat{\textbf k}\\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & - 1 & - 5 \end{array} \right | = - \hat{\textbf i} + 8 \hat{\textbf j} - 5 \hat {\textbf k}$$Y con este resultado ahora obtenemos el área que es:
$$\boxed {\ \ A = \frac{1}{2} |- \hat {\textbf i } + 8 \hat{\textbf j} - 5 \hat {\textbf k} | = \frac {1}{2} \sqrt {(-1)^2 + 8^2 + ( - 5)^2} = \frac{3}{2} \sqrt {10}\ \ }$$
Volumen de un paralelepípedo
Si los vectores a, b y c no yacen en el mismo plano, entonces el volumen del paralelepípedo con bordes a, b y c que se muestra en la fig 7 es$$V = (área \ de \ la \ base)(altura)$$$$V = |\textbf a \ \cdotp \ (\textbf b \ \text{x} \ \textbf c)|$$
Fig 7. Paralelepípedo formado por tres vectores
EJEMPLO 10 Encuentra el volumen del paralelepípedo para el cual los vectores dados son los tres bordes. $\textbf a = \hat {\textbf i} + \hat {\textbf j}$, $\textbf b = - \hat {\textbf i} + 4 \hat {\textbf j}$ y $\textbf c = 2 \hat {\textbf i} + 2 \hat {\textbf j} + 2 \hat {\textbf k}$
SOLUCIÓN 10
ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA EN EL ESPACIO
Al igual que en geometría analítica, que se puede obtener una recta cuando conocemos un punto y su pendiente, también en cálculo vectorial, una recta en el espacio se determina conociendo un punto $P_0 (x_0, y_0, z_0)$ y un vector distinto de cero $\textbf v$.
A través del punto $P_0$ pasa sólo una recta L paralela al vector dado. Supón que $P(x, y, z)$ es cualquier punto sobre la recta. Si $\textbf r = \overrightarrow {OP}$ y $ \textbf r _0 = \overrightarrow {OP_0}$ son los vectores de posición de $P$ y $P_0$, entonces debido a que $\textbf r - \textbf r _0$ es paralelo al vector $\textbf v$ existe una escalar t tal que $\textbf r - \textbf r _0 = t\textbf v$. Esto proporciona una ecuación vectorial de la recta.
$$\textbf r - \textbf r _0 = t\textbf v$$
Fig 8a) Línea que pasa por $P_0$ Fig 8b) Línea que pasa por $P_0$ y $P_1$
Paralela a $\textbf v$
EJEMPLO 7 Encuentra una ecuación vectorial para la recta que pasa por (4, 6, 3) y es paralela a $\textbf v = 5\hat {\textbf i} - 10\hat {\textbf j} + 2\hat {\textbf k}$
SOLUCIÓN 7 Recordemos que la ecuación vectorial de la recta está dada por
$$\textbf r = \textbf r _0 + t\textbf v$$Donde $\textbf r$ es un vector posición que apunta a un punto cualquiera sobre la recta y $\textbf r _0$ es un vector posición que apunta a un punto específico sobre la recta, por lo que:
$$\textbf r = <x, y, z> \qquad \qquad y \qquad \qquad \textbf r _0 = <4, 6, 3>$$Con estos datos podemos obtener la ecuación vectorial de la recta
$$<x, y, z> = <4, 6, 3> + t <5, -10, 2>$$o también se puede expresar de la siguiente manera
$$\boxed {\ \ <x, y, z> \ = \ <4 + 5t,\ 6 -10t ,\ -3 +2t> \ \ }$$
EJEMPLO 8 Encuentra una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, -1, 8) y (5, 6, -3).
SOLUCIÓN 8 Observemos que ahora no se nos da un vector $\textbf v$ de referencia, por lo que será necesario crearlo. y ya vimos que con dos puntos podemos encontrar un vector que pase por ambos puntos y los sustituiremos por $\textbf v$
$$\overrightarrow {P_0P_1} = \textbf v$$$$\textbf v = <5 - 2,\ 6 - (-1),\ -3 -8 > = $$$$\textbf v = <3,\ 7,\ -11>$$Y con este vector, ya podemos encontrar la ecuación vectorial de la recta, pedida.
$$\boxed {\ \ <x,\ y,\ z > = <2,\ -1,\ 8> + t<3,\ 7,\ -11> = <2 + 3t,\ -1 + 7t,\ 8 - 11t>\ \ }$$
EJERCICIO 1 Determina las ecuaciones paramétricas de la recta
a) que pasa (5, 2, 4) y es paralela a $\textbf = 4\hat {\textbf i} + 7\hat {\textbf j} - 9\hat {\textbf k}$
b) que pasa por (-1, 0, 1) y (2, -1, 6).
SOLUCIÓN 1
EJERCICIO 2 Encuentra el punto donde la recta del ejercicio 7 interseca al plano XY.
SOLUCIÓN 2
EJERCICIO 3 Determina si las recta
$$L_1: \quad x = -6 -t,\quad y = 20 + 3t, \quad z = 2t$$$$L_2:\quad x = 5 + 2s,\quad y = -9 - 4s,\quad z = 1 + 7s$$
SOLUCIÓN 3
A través del punto $P_0$ pasa sólo una recta L paralela al vector dado. Supón que $P(x, y, z)$ es cualquier punto sobre la recta. Si $\textbf r = \overrightarrow {OP}$ y $ \textbf r _0 = \overrightarrow {OP_0}$ son los vectores de posición de $P$ y $P_0$, entonces debido a que $\textbf r - \textbf r _0$ es paralelo al vector $\textbf v$ existe una escalar t tal que $\textbf r - \textbf r _0 = t\textbf v$. Esto proporciona una ecuación vectorial de la recta.
$$\textbf r - \textbf r _0 = t\textbf v$$
Fig 8a) Línea que pasa por $P_0$ Fig 8b) Línea que pasa por $P_0$ y $P_1$
Paralela a $\textbf v$
EJEMPLO 7 Encuentra una ecuación vectorial para la recta que pasa por (4, 6, 3) y es paralela a $\textbf v = 5\hat {\textbf i} - 10\hat {\textbf j} + 2\hat {\textbf k}$
SOLUCIÓN 7 Recordemos que la ecuación vectorial de la recta está dada por
$$\textbf r = \textbf r _0 + t\textbf v$$Donde $\textbf r$ es un vector posición que apunta a un punto cualquiera sobre la recta y $\textbf r _0$ es un vector posición que apunta a un punto específico sobre la recta, por lo que:
$$\textbf r = <x, y, z> \qquad \qquad y \qquad \qquad \textbf r _0 = <4, 6, 3>$$Con estos datos podemos obtener la ecuación vectorial de la recta
$$<x, y, z> = <4, 6, 3> + t <5, -10, 2>$$o también se puede expresar de la siguiente manera
$$\boxed {\ \ <x, y, z> \ = \ <4 + 5t,\ 6 -10t ,\ -3 +2t> \ \ }$$
EJEMPLO 8 Encuentra una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, -1, 8) y (5, 6, -3).
SOLUCIÓN 8 Observemos que ahora no se nos da un vector $\textbf v$ de referencia, por lo que será necesario crearlo. y ya vimos que con dos puntos podemos encontrar un vector que pase por ambos puntos y los sustituiremos por $\textbf v$
$$\overrightarrow {P_0P_1} = \textbf v$$$$\textbf v = <5 - 2,\ 6 - (-1),\ -3 -8 > = $$$$\textbf v = <3,\ 7,\ -11>$$Y con este vector, ya podemos encontrar la ecuación vectorial de la recta, pedida.
$$\boxed {\ \ <x,\ y,\ z > = <2,\ -1,\ 8> + t<3,\ 7,\ -11> = <2 + 3t,\ -1 + 7t,\ 8 - 11t>\ \ }$$
EJERCICIO 1 Determina las ecuaciones paramétricas de la recta
a) que pasa (5, 2, 4) y es paralela a $\textbf = 4\hat {\textbf i} + 7\hat {\textbf j} - 9\hat {\textbf k}$
b) que pasa por (-1, 0, 1) y (2, -1, 6).
SOLUCIÓN 1
EJERCICIO 2 Encuentra el punto donde la recta del ejercicio 7 interseca al plano XY.
SOLUCIÓN 2
EJERCICIO 3 Determina si las recta
$$L_1: \quad x = -6 -t,\quad y = 20 + 3t, \quad z = 2t$$$$L_2:\quad x = 5 + 2s,\quad y = -9 - 4s,\quad z = 1 + 7s$$
SOLUCIÓN 3
ECUACIÓN DE UN PLANO EN EL ESPACIO
La figura 8 a) ilustra el hecho de que hay un número infinito de planos $S_1, \ S_2 \ S_3, \ ...$ que pasan por un punto dado $P_0(x_0, y_0, z_0)$. Sin embargo, como se muestra en la figura 8 b), si se especifican un punto $P_0$ y un vector distinto de cero n, sólo hay un plano S que contiene a $P_0$ con la normal n, o perpendicular, al plano. Además, si $P(x, y, z)$ representa cualquier punto sobre el plano, y $\textbf r = \overrightarrow {OP}$, $\textbf r _0 = \overrightarrow {OP_0}$, entonces como se ilustra en la figura 8c), $\textbf r - \textbf r _0$ yace en el plano S. Y se e concluye que una ecuación vectorial del plano es
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = 0$$
Fig 8.
Y como ya vimos anteriormente, el producto punto está definido por
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$$Donde $\textbf n = n_x\hat {\textbf i} + n_y \hat {\textbf j} + n_z \hat {\textbf k}$
EJEMPLO 11 Encuentra una ecuación del plano que contiene el punto (4, -1, 3) y es perpendicular al vector $\textbf n = 2\hat {\textbf i} + 8\hat {\textbf j} - 5\hat {\textbf k}$
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$$
SOLUCIÓN 11
Recordemos que la ecuación de un plano esta representada por:
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$$
Observen en la figura 8c) se muestra un plano en donde se muestra $\textbf n = n_x\hat {\textbf i} + n_y\hat {\textbf j} + n_z\hat {\textbf k}$ que es un vector perpendicular al plano mostrado ahí. Además se muestra el vector $\textbf r - \textbf r _0$ que se forma con dos puntos $P_0 (x_0, y_0, z_0)$ y $P(x, y, z)$ que están sobre el plano y por supuesto, con estos puntos se generan los vectores de posición (que van desde el origen del sistema coordenado hasta los puntos dados).$\textbf r _0 = <x_0, y_0, z_0>$ y $\textbf r = <x, y, z>$ respectivamente. No olvidando que $P_0 (x_0, y_0, z_0)$ es un punto conocido y $P(x, y, z)$ es cualquier punto sobre el plano.
Y como sabemos que el producto $\textbf n \cdot (\textbf r - \textbf r _0) $ que son perpendiculares, entonces tenemos
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$$$$2(x - 4) + 8(y - (-1)) - 5(z - 3) = 0$$$$2x - 8 + 8y + 8 - 5z + 15 = 0$$ O lo que es lo mismo:
$$\boxed {\ \ \ 2x + 8y - 5z = - 15 \ \ \ }$$
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$$
Observen en la figura 8c) se muestra un plano en donde se muestra $\textbf n = n_x\hat {\textbf i} + n_y\hat {\textbf j} + n_z\hat {\textbf k}$ que es un vector perpendicular al plano mostrado ahí. Además se muestra el vector $\textbf r - \textbf r _0$ que se forma con dos puntos $P_0 (x_0, y_0, z_0)$ y $P(x, y, z)$ que están sobre el plano y por supuesto, con estos puntos se generan los vectores de posición (que van desde el origen del sistema coordenado hasta los puntos dados).$\textbf r _0 = <x_0, y_0, z_0>$ y $\textbf r = <x, y, z>$ respectivamente. No olvidando que $P_0 (x_0, y_0, z_0)$ es un punto conocido y $P(x, y, z)$ es cualquier punto sobre el plano.
Y como sabemos que el producto $\textbf n \cdot (\textbf r - \textbf r _0) $ que son perpendiculares, entonces tenemos
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$$$$2(x - 4) + 8(y - (-1)) - 5(z - 3) = 0$$$$2x - 8 + 8y + 8 - 5z + 15 = 0$$ O lo que es lo mismo:
$$\boxed {\ \ \ 2x + 8y - 5z = - 15 \ \ \ }$$
EJEMPLO 12 Encuentra una ecuación del plano que contiene a (1, 0, -1), (3, 1, 4) y (2, -2, 0)
SOLUCIÓN 12
Como solo hay puntos que están en el plano, tenemos que encontrar el vector $\textbf n$ normal a éste, ¿cómo lo encontramos? Recuerdan que el producto cruz les da un vector perpendicular a dos vectores, bueno, pues podemos utilizar este producto cruz, pero, ¿y los vectores? Ah!, pues sencillo con esos puntos podemos encontrar esos vectores, si los puntos son A, B y C, pues encontramos los vectores: $\overrightarrow {AB}$ y $\overrightarrow {AC}$.
Sean A(1, 0, -1), B(3, 1, 4) y C(2, -2, 0), entonces
Sean A(1, 0, -1), B(3, 1, 4) y C(2, -2, 0), entonces
$\overrightarrow {AB} = (3 - 1)\hat {\textbf i} + (1 - 0)\hat {\textbf j} + (4 - (-1))\hat {\textbf z} = 2\hat {\textbf i} + \hat {\textbf j} + 5\hat {\textbf z}$ y $\overrightarrow {AC} = (2 - 1)\hat {\textbf i} + (-2 - 0)\hat {\textbf j} + (0 - (-1))\hat {\textbf z} = \hat {\textbf i} - 2\hat {\textbf j} + \hat {\textbf k}$
Ahora que ya tenemos los vectores, con ellos encontramos el vector normal:
$$\overrightarrow {AB}\ \text x \ \overrightarrow {AC} = \left[ \begin{array}{cc} \hat {\textbf i} & \hat {\textbf j} & \hat {\textbf k} \end{array} \right]$$
Así que nuestro vector normal es:
$$\textbf n = \hat {\textbf i} - 2\hat {\textbf j} + \hat {\textbf k} $$
$$\overrightarrow {AB}\ \text x \ \overrightarrow {AC} = \left[ \begin{array}{cc} \hat {\textbf i} & \hat {\textbf j} & \hat {\textbf k} \end{array} \right]$$
Así que nuestro vector normal es:
$$\textbf n = \hat {\textbf i} - 2\hat {\textbf j} + \hat {\textbf k} $$
Y como la ecuación del plano es:
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$$Y se preguntarán, si $(x_0, y_0, z_0)$ es un punto conocido en el plano pero.... tenemos 3!!!, ¿cuál es el que debemos tomar?, se puede tomar cualquiera, pero por cuestión de orden, tomaremos A, que es el punto común a los dos vectores, así que:
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$$$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = (x - 1) - 2(y - 0) + (z - 1) = 0$$
o bien
$$x - 1 - 2y + z - 1 = 0$$$$\boxed{\ \ \ x - 2y + z = 2 \ \ \ }$$
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$$Y se preguntarán, si $(x_0, y_0, z_0)$ es un punto conocido en el plano pero.... tenemos 3!!!, ¿cuál es el que debemos tomar?, se puede tomar cualquiera, pero por cuestión de orden, tomaremos A, que es el punto común a los dos vectores, así que:
$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$$$$\textbf n \ \cdotp \ (\textbf r - \textbf r _0) = (x - 1) - 2(y - 0) + (z - 1) = 0$$
o bien
$$x - 1 - 2y + z - 1 = 0$$$$\boxed{\ \ \ x - 2y + z = 2 \ \ \ }$$
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