COORDENADAS POLARES
Si $R$ es una es una región acotada por las gráficas de las ecuaciones polares $r = g_{1}(\theta)$, $r = g_{2}(\theta)$ y los rayos $\theta = \alpha$, $\theta = \beta$ y que $f$ es una función de $r$ y $\theta$ que es continua sobre $R$. Ver la figura 1.
Fig. 1 Región R en coordenadas polares
Con el fin de definir la integral doble de $f$ sobre $R$, empleamos rayos y círculos concéntricos para dividir la región en una retícula de “rectángulos polares” o subregiones $R_{k}$ . Ve la figura 2b). El área de una subregión típica $R_{k}$, que se muestra en la figura 2c), es la diferencia de áreas de dos sectores circulares:
$$\Delta A_{k} = \frac{1}{2}r_{k + 1}^2 \Delta \theta _{k} - \frac{1}{2}r_{k}^2 \Delta \theta _{k} = \frac{1}{2}(r_{k + 1}^2 - \frac{1}{2}r_{k}^2) \Delta \theta _{k}$$$$ = \frac{1}{2}(r_{k + 1} + r_{k})(r_{k + 1} - r_{k}) \Delta \theta _{k} = r_{k}^*\Delta r_{k} \Delta \theta _{k}$$
Fig 2. Partición de $R$ usando coordenadas polares
Eligiendo un punto muestra $(r_{k}^*, \Delta _{k}^*)$ en cada $R_{k}$, la integral doble de $f$ sobre $R$ es
La integral doble se evalúa entponces por medio de una integral iterada
$$\iint_{R} f(r, \theta) dA = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{g_{1}(\theta)}^{g_{2}(\theta)} f(r, \theta) r dr d\theta $$
Si la región $R$ es como se indica en la figura 3, la integral doble de $f$ sobre $R$ es entonces$$\iint_{R} f(r, \theta) dA = \int_{a}^{b}\int_{h_{1}(r)}^{h_{2}(r)} f(r, \theta) r dr d\theta $$
EJEMPLO 1 Encuentre la masa de la lámina que corresponde a la región acotada por la curva llamada pétalo de rosa $r = 2 sen 2\theta$ en el primer cuadrante si la densidad en el punto P en la lámina es directamente proporcional a la distancia desde el origen polar.
Fig. 3. Lámina del ejemplo 1
SOLUCIÓN 1 Primero expresamos la densidad de una manera matemática clara, $\rho (r, \theta) = k| r |$, donde $k$ es una constante de proporcionalidad, así que la ecuación para encontrar la masa, como se vio en nuestras clases de física utilizando la densidad, sería
$$m = \iint _{R} k | r | dA = k \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{2 sen 2\theta} (r) r dr d\theta$$$$= k\int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{3}r^3 \bigg ]_{0}^{\pi /2} d \theta$$$$= \frac{k}{3}\int_{0}^{\pi / 2} \bigg[ (2\ sen\ 2\theta)^3 - (0)^3 \big]$$$$= \frac{8}{3}k \int_{0}^{\pi / 2} sen^3 \ 2 \theta\ d\theta$$$$ = \frac{8}{3}k \int_{0}^{\pi / 2} sen^2 \ 2 \theta\ sen \ 2\theta d\theta$$$$ = \frac{8}{3}k \int_{0}^{\pi / 2} (1 - cos^2 \ 2 \theta)\ sen \ 2\theta d\theta$$$$ = \frac{8}{3}k \bigg[ \int_{0}^{\pi / 2} sen\ 2\theta\ d\theta - \int_{0}^{\pi / 2}\cos^2\ 2 \theta\ sen \ 2\theta\ d\theta \bigg]$$$$ = \frac{8}{3}k \bigg[- \frac{1}{2} cos\ 2\theta - \frac{1}{2} \frac{1}{3}\cos^3\ 2 \theta \bigg]_{0}^{\pi / 2}$$$$\boxed{\ \ m = \frac{16}{9} k \ \ }$$
EJERCICIO 1 Usa coordenadas polares para evaluar
$$\int_{0}^{2} \int_{x}^{\sqrt{8 - x^2}} \frac{1}{5 + x^2 + y^2} dy\ dx$$
SOLUCIÓN 1 Lo primero que haremos es dibujar la gráfica correspondiente para poder encontrar de manera más fácil los límites en coordenada polares
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COORDENADAS CILÍNDRICAS
El sistema de coordenadas cilíndricas combina la descripción polar de un punto en el plano con la descripción rectangular de la componente $z$ de un punto en el espacio.
Como se ve en la figura.4a) , las coordenadas cilíndricas de un punto P se denotan mediante la triada ordenada $(r, \theta, z)$
La palabra cilíndricas surge del hecho de que un punto P en el espacio está determinado por la intersección de los planos z = constante, $\theta$ = constante, con un cilindro r = constante. Ve la figura 4b).
Fig 4. Coordenadas cilíndricas de un punto en el espacio tridimensional
Integrales triples en coordenadas cilíndricas
Vimos en coordenadas polares como se calculó el área de un "rectángulo polar", que era $\Delta A = r^{*} \Delta r \Delta \theta$, donde $r^*$ es el radio promedio.
De la figura 5 vemos que el volumen de una “cuña cilíndrica” es simplemente
$$\Delta V = (\text {área de la base})\cdot (\text {altura}) = r^* \Delta r \Delta \theta \Delta z$$
Fig 5. Cuña cilíndrica en a); región en el espacio tridimensional en b)
Entonces, si $f(r, \theta, z)$ es una función continua sobre la región $D$, como se ve en la figura 5b), la integral triple de $F$ sobre $D$ está dada por
EJEMPLO 2 Un sólido en el primer octante tiene la forma determinada por la gráfica del cono de un solo manto $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ y los planos $z = 1$, $x = 0$ y $y = 0$. Determina la masa, si la densidad está dada por $\rho (r, \theta, z) = r$
SOLUCIÓN 2 Recordando de las ecuaciones polares que: $r^2 = x^2 + y^2$, entonces la ecuación del cono es $z = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{r^2} = r$, entonces, vemos de la figura 6 que
$$m = \iiint_{D} r\ dV = \int_{0}^{\pi / 2}\int_{0}^{1}\int_{r}^{1} r (r dz\ dr\ d \theta$$$$= \int_{0}^{\pi / 2}\int_{0}^{1}r^2\ z\bigg]_{r}^{1}\ dr\ d \theta$$$$ = \int_{0}^{\pi / 2}\int_{0}^{1}(r^2 - r^3)\ dr\ d \theta$$$$ = \int_{0}^{\pi / 2} \bigg[\frac{1}{3}r^3 - \frac{1}{4}r^3 \bigg]_{0}^{1}\ d \theta$$$$= \frac{1}{12} \int_{0}^{\pi / 2}\ d\theta$$$$= \frac{1}{12}\Big[ \theta \Big]_{0}^{\pi / 2}$$$$\boxed{\ \ \ m = \frac{1}{24} \pi\ \ \ }$$
Fig. 6- Sólido del ejemplo 2
COORDENADAS ESFÉRICAS
Integrales triples en coordenadas esféricas
Como se observa en la figura 7 , el volumen de una “cuña esférica” está dado por la aproximación
$$\Delta V \approx \rho ^2 sen \phi \Delta \rho \Delta \phi \Delta \theta$$
Fig 7. Cuña esférica
De tal modo, en una integral triple de una función continua en coordenadas esféricas $f (\rho, \phi, \theta)$, la diferencial de volumen es
$$dV = \rho ^2 \ sen \phi\ d\rho\ d \rho\ d \theta $$
Por consiguiente, una integral triple común en coordenadas esféricas tiene la forma
EJEMPLO 3 Emplea coordenadas esféricas para determinar el volumen del sólido en el primer octante que tiene la forma determinada por la gráfica de $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ y los planos $z = 1$, $x = 0$, $y = 0$.
SOLUCIÓN 3 Recuerden que primero se grafica la función. Esta corresponde a la del ejemplo 2. Figura 6. La grafica nos ayuda a la hora de definir los límites.
El uso de estas coordenadas es simplemente aplicarlas a una integral triple y simplemente convertir la función al tipo de coordenadas y usar el diferencial de volumen en dichas coordenadas.
$$V = \iiint_{D} f(\rho, \phi, \theta) dV = \int_{\alpha}^{\beta}\int _{g_{1}(\theta)}^{g_{2}(\theta)}\int_{h_{1}(\phi,\ \theta)}^{h_{2}(\phi,\ \theta)} f(\rho, \phi, \theta) \rho ^2\ sen \phi \ d\rho\ d\phi\ d\theta$$
Observa que en la integral triple, aparece una función que depende de las tres variables que se multiplica con el diferencial de volumen $dV$, cuanto debe de valer la función para que la integral de solo VOLUMEN?. Perfectamente bien contestado, debe valer .. 1 !!!!.
Ahora lo que sigue es definir los límites pero para coordenadas esféricas. Para eso, veamos la figura 8.
Fig 8. Sólido del ejemplo 3
$$V = \int_{0}^{\pi / 2}\int _{0}^{\pi / 4}\int_{0}^{sec\ \phi} \rho ^2\ sen \phi \ d\rho\ d\phi\ d\theta$$$$ = \int_{0}^{\pi / 2}\int _{0}^{\pi / 4}\bigg[\frac{1}{3} \rho ^3 \bigg]_{0}^{sec\ \phi} sen \phi \ d\phi\ d\theta$$$$ = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi / 2}\int _{0}^{\pi / 4}\sec ^3\phi\ sen \phi \ d\phi\ d\theta$$$$ = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi / 2}\int _{0}^{\pi / 4}\sec ^2\phi\ \frac{1}{cos \phi} sen \phi \ d\phi\ d\theta$$$$ = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi / 2}\int _{0}^{\pi / 4} tan \phi \sec ^2\phi\ \ d\phi\ d\theta$$$$ = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi / 2}\bigg[ \frac{1}{2} tan ^2\phi\ \bigg]_{0}^{\pi / 4} \ d\theta$$$$ = \frac{1}{6} \int_{0}^{\pi / 2}\bigg[ tan ^2(\pi / 4) - tan^2(0) \bigg] \ d\theta$$$$ = \frac{1}{6} \int_{0}^{\pi / 2} \ d\theta$$$$ = \frac{1}{6} \Big[ \theta \Big]_{0}^{\pi / 2} \ d\theta$$$$\boxed{\ \ \ V = \frac{1}{12} \pi \ \ \ }$$EJERCICIOS
1. Calcula el volumen de la región acotada abajo por el paraboloide $z = x^2 + y^2$ , a los lados por el cilindro $x^2 + y^2 = 1$ y arriba por el paraboloide $z = x^2 + y^2 + 1$
2. Calcula el volumen del sólido cilíndrico de pared gruesa $1 \leq x^2 + y^2 \leq 2$ cortado por los conos $z = \pm \sqrt{x^2 + y^2}$
3. Calcula el volumen de la región que está dentro de la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ y fuera del cilindro $x^2 + y^2 = 1$.
4. Calcula el volumen de la región encerrada por el cilindro $x^2 + y^2 = 4$ y por los planos $z = 0$ y $y + z = 4$.
5. Calcula el volumen de la región encerrada por el cilindro $x^2 + y^2 = 4$ y por los planos $z = 0$ y $x + y + z = 4$.
6. Calcula el volumen de la región acotada arriba por el paraboloide $z = 5 - x^2 - y^2$ y abajo por el paraboloide $z = 4x^2 + 4y^2$ .
7. Calcula el volumen de la región acotada arriba por el paraboloide $z = 9 - x^2 - y^2$ , abajo por el plano XY y que está fuera del cilindro $x^2 + y^2 = 1$.
8. Calcula el volumen de la región del cilindro sólido $x^2 + y^2 \leq 1$ cortada por la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4$.
9. Calcule el volumen de la región acotada arriba por la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ y abajo por el paraboloide $z = x^2 + y^2 $
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