$$\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$Exactamente de la misma manera, podemos definir la derivada de primer orden de una función de dos variables $z = f(x, y)$ con respecto a cada variable.
DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN
Si $z = f(x, y)$ es una función de dos variables, entonces la derivada parcial con respecto a x
en un punto es
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}\qquad \qquad (1)$$
y la derivada parcial con respecto a y es
$$\frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x , y + h) - f(x, y)}{h}\qquad \qquad (2)$$
siempre que exista el límite.
EJEMPLO 1 Si $z = 4x^3y^2 - 4x^2 + y^6 + 1$, encuentra
a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ y a) $\frac{\partial z}{\partial y}$
SOLUCIÓN 1
a) Diferenciamos a $z$ con respecto a $x$ mientra $y$ permanece como una constante
$$\frac{\partial z}{\partial x} = (12x^2)y^2 - 8x + 0 + 0 = \boxed{\ \ 12x^2y^2 - 8x \ \ }$$
$$\frac{\partial z}{\partial y} = 4x^3(2y) - 0 + 6y^5 + 0 = \boxed{\ \ 8x^3y + 6y^5 \ \ }$$
Las derivadas parciales $\partial z / \partial x$ y $\partial z / \partial y$ a menudo se representan por medio de símbolos alternos. Si $z = f(x, y)$, entonces
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} = z_x = f_x \qquad \quad y \qquad \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} = z_y = f_y$$
Símbolos como $\partial / \partial x$ y $\partial / \partial y$ se denominan operadores de diferenciación parcial y denotan la operación de tomar una derivada parcial, en este caso con respecto a $x$ y $y$.
El valor de una derivada parcial en un punto $( x_0, y_0 )$ se escribe de diversas maneras. Por ejemplo, la derivada parcial de $z = f(x, y)$ con respecto a $x$ para $(x_0, y_0)$ se escribe como
$$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,\ y_0)},\qquad \frac{\partial z}{\partial x}(x_0,\ y_0) \qquad o \qquad f_x (x_0\ y_0)$$
EJEMPLO 2 Si $f(x, y) = x^5y^{10}\ cos(xy^2)$, encuentra $f_y$
SOLUCIÓN 2
Como se va a derivar con respecto a $y$, $x$ se mantendrá fija y lo demás se deriva como un producto de funciones de $y$.
$$f_y (x, y) = x^5[y^10 (- 2xy\ sen(xy^2)) + (10y^9)\ cos(xy^2) ]$$$$f_y (x, y) = \boxed{\ \ -2x^6y^11\ sen(xy^2) + 10x^5y^9\ cos(xy^2) \ \ }$$
EJEMPLO 3 La función $S = 0.1091w^{0.425}h^{0.725}$ relaciona el área superficial (en pies cuadrados) del cuerpo de una persona como una función del peso w (en libras) y la altura h (en pulgadas). Encuentra $\partial S / \partial w$ cuando w = 150 y h = 72. Interpreta.
SOLUCIÓN 3 La derivada parcial de S con respecto a w es:
$$\frac{\partial S}{\partial w} = (0.1091)(0.425) w^{- 0.575}h^{0.725}$$Ahora la evaluamos en (150, 72)
$$\frac{\partial S}{\partial w} \bigg|_{(150,\ 72)} = (0.1091)(0.425)(150)^{-0.575}(72^{0.725}) \approx 0.058$$
La derivada parcial $\partial S / \partial w$ es la tasa a la cual el área superficial de una persona de altura fija h, como un adulto, cambia con respecto al peso w. Puesto que las unidades para la derivada son pies$^2$ /libra y $\partial S / \partial w > 0$ se advierte que el aumento de 1 lb, mientras que h está fija en 72, produce un aumento en el área de la piel de aproximadamente $0.058 \approx \frac{1}{17}pie^2$
EJEMPLO 4 Para $z = 9 - x^2 - y^2$, encuentra la pendiente de la recta tangente en (2, 1, 4) en a) el plano x = 2 y b) el plano y = 1
SOLUCIÓN
a) Al especificar el plano x = 2, se mantienen todos los valores de x constantes. Por consiguiente, calculamos la derivada parcial de z con respecto a y:
$$\frac{\partial z}{\partial y} = - 2y$$Y al evaluarla en (2, 1, 4):
$$\boxed{\ \ \ \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(2,\ 1)} = -2 \ \ \ }$$
b) En el plano y = 1, y es constante por lo que encontraremos la derivada parcial de z con respecto a x
$$\frac{\partial z}{\partial x} = -2x$$Y la evaluamos en (2, 1, 4)
$$\boxed{\ \ \ \frac{\partial z}{\partial x}\bigg |_{(2,\ 1)} = -4 \ \ \ }$$
EJERCICIO 1 si $w = \frac{x^2 - z^2}{y^2 + z^2}$, encuentra $\partial w / \partial z$
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Para una función de dos variables $z = f(z, y)$, las derivadas parciales $\partial z / \partial x$ y $\partial z / \partial y$ son ellas mismas funciones de $x$ y $y$. En consecuencia, se pueden calcular las derivadas parciales de segundo orden y de orden superior.
De hecho, se encuentra la derivada parcial de $\partial z / \partial x$ con respecto a $y$, y la derivada parcial de $\partial z / \partial y$ con respecto a $x$.
Los últimos tipos de derivadas parciales se denominan derivadas parciales mixtas. En resumen, las segundas, terceras derivadas parciales y la derivada parcial mixta de están definidas por:
Derivadas parciales de segundo orden:
$$\frac{\partial ^2 z}{\partial x ^2} = \frac{\partial}{\partial x}\bigg( \frac{\partial z}{\partial x} \bigg) \qquad \quad y \qquad \quad \frac{\partial ^2 z}{\partial y ^2} =\frac{\partial}{\partial y}\bigg( \frac{\partial z}{\partial y} \bigg)$$
Derivadas parciales de tercer orden:
$$\frac{\partial ^3 z}{\partial x ^3} = \frac{\partial}{\partial x}\bigg( \frac{\partial^2 z}{\partial x ^2} \bigg) \qquad \quad y \qquad \quad \frac{\partial ^3 z}{\partial y ^3} =\frac{\partial}{\partial y}\bigg( \frac{\partial^2 z}{\partial ^2 y} \bigg)$$
Derivadas parciales de segundo orden mixtas:
$$\frac{\partial ^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\bigg( \frac{\partial z}{\partial y} \bigg) \qquad \quad y \qquad \quad \frac{\partial ^2 z}{\partial y \partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\bigg( \frac{\partial z}{\partial x} \bigg)$$
Símbolos alternos Las derivadas parciales de segundo y tercer orden también se denotan mediante $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xxx}$ etcétera. La notación de subíndice para las derivadas parciales de segundo orden mixtas es $f_{xy}$ o $f_{yx}$
.
Nota El orden de los símbolos en los subíndices de las parciales mixtas es justamente lo opues-
to al orden de los símbolos cuando se usa la notación de operador de diferenciación parcial:
$$f_{xy} = (f_x)_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigg( \frac{\partial z}{\partial x} \bigg) = \frac{\partial ^2 z}{\partial y \partial x}$$y$$f_{yx} = (f_y)_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigg( \frac{\partial z}{\partial y} \bigg) = \frac{\partial ^2 z}{\partial x \partial y}$$
EJERCICIO 2 Si $z = x^2y^2 - y^3 + 3x^4 + 5$, encuentra
$$\text {a)}\ \ \ \frac{\partial ^2 z}{\partial x^2},\qquad \qquad \frac{\partial ^3 z}{\partial x^3}$$
$$\text {b)}\ \ \ \frac{\partial ^2 z}{\partial y^2},\qquad \qquad \frac{\partial ^3 z}{\partial x^3}$$
$$\text{c)}\ \ \ \frac{\partial ^2 z}{\partial x \partial y}$$
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