Se ha considerado únicamente el movimiento traslacional, en el que la posición de un objeto cambia a lo largo de una línea recta. Pero es posible que un objeto se mueva en una trayectoria curva o que tenga un movimiento rotacional. Por ejemplo, las ruedas, ejes, poleas, giróscopos y muchos otros dispositivos mecánicos, giran sobre su eje sin que haya movimiento traslacional.
DESPLAZAMIENTO ANGULAR
El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si el punto A en el disco giratorio de la figura 1 gira sobre su eje hasta el punto B. el desplazamiento angular se denota por el ángulo $\theta$
Fig 1. Desplazamiento angular $\theta$, se indica por el área sobreada
Ya hemos manejado unidades para describir la rotación de cuerpos libres como $1 rev = 360 °$. Sin embargo, estas unidades no son muy adecuadas para la descripción de este proceso, por lo que usaremos en su lugar el radián (rad). Un ángulo de un radián es un ángulo central cuyo arco s es igual en longitud al radio R (ver la figura 2). El radián se define por la siguiente ecuación.
$$\theta = \frac{s}{R}\qquad \qquad \qquad (1)$$
Fig. 2. Medida del desplazamiento angular y una comparación de unidades
$$\theta = \frac{s}{R} = \frac{2\pi R}{R} = 2\pi\ rad $$
Así que tenemos
$$1\ rev = 360 ° = 2\pi\ rad$$De donde vemos que$$1\ rad = \frac{360°}{2\pi} = 57.3 °$$
EJEMPLO 1. Un extremo de una cuerda se ata a una cubeta de agua y el otro extremo se enrolla muchas veces alrededor de un carrete circular de 12 cm de radio. ¿Cuántas revoluciones del carrete se requiere para levantar la cubeta a una distancia vertical de 5 m?
SOLUCIÓN 1. La distancia vertical de elevación debe ser igual a la longitud de la cuerda envuelta alrededor del carrete de modo que la longitud de arco s = 5 m.
Primero encontramos la rotación en radianes necesarios para una longitud de 5 m.
$$\theta = \frac{s}{R} = \frac{5\ m}{0.12\ m} = 41.7\ rad$$
Sabemos que $1\ rev = 2\pi\ rad$, , así que usamos este factor de conversión
$$\boxed{\ \ \ \theta = 41.7\ rad \bigg( \frac{1\ rev}{2\pi\ rad} \bigg) = 6.63\ rev \ \ \ }$$
EJEMPLO 2. Un asiento en el perímetro de una rueda de la fortuna en la feria experimenta un desplazamiento angular de 37°. Si el radio de la rueda es 20 m, ¿qué longitud de arco describe el asiento?
SOLUCIÓN 2 Para poder usar la ecuación (1), necesitaremos convertir los 37 ° a radianes.
$$37° = 37° \bigg ( \frac{2\pi \ rad}{360°} \bigg) = 0.646\ rad$$
Ahora bien, la longitud del arco está dado por
$$s = R\theta = (20\ m )(0.646\ rad)$$$$\boxed{\ \ \ s = 12.9\ m \ \ \ }$$
VELOCIDAD ANGULAR
A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le llama velocidad angular.
Si un objeto gira a través de un ángulo $\theta$ en un tiempo $t$, su velocidad angular media está dada por
$$\bar{ \omega} = \frac{\theta}{t}$$El símbolo $\omega$ (letra griega omega) se usa para denotar la velocidad angular. Cuando una barra aparece sobre el símbolo, indica que la velocidad angular es un valor medio.
Si la frecuencia de revoluciones en rev/s se denota por medio del símbolo $f$, la velocidad angular en rad/s está dada por
$$\omega = 2\pi f$$
EJEMPLO 3 La rueda de una bicicleta tiene de radio de 33 cm y gira 40 revoluciones en 1 min. ¿Qué distancia lineal recorrerá la bicicleta en 30 s?
SOLUCIÓN 3 Como el tiempo $t$ está dado en segundos, la velocidad angular la expresaremos en radianes por segundo.
$$40 \frac{rev}{min} = 40 \frac{rev}{min} \Big(\frac{1\ min}{60\ s} \Big) = 0.667 rev/ s$$
Sustituyendo esta frecuencia en
$$\omega = 2\pi\ f = (2\pi\ rad)(0.66\ rev/s) = 4.19\ rad/s$$También sabemos que
$$s = \theta R\qquad \qquad y \qquad\qquad \theta = \bar{\omega}t$$Entonces$$s = (\omega t)R$$
$$s = (4.19\ rad/s)(30\ s)(0.33\ m)$$$$\boxed{\ \ \ s = 41.5\ m \ \ \ }$$
ACELERACIÓN ANGULAR
Al igual que el movimiento rectilíneo, el movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La velocidad de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante. La ecuación de la aceleración angular es
$$\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t}$$
La velocidad angular media es
$$\bar{\omega} = \frac{\omega_f + \omega_i}{2}$$
La siguiente tabla nos muestra las similitudes entre el movimiento rectilíneo y el rotacional
Tabla 1. Comparación de fórmulas de las aceleraciones lineal y aceleración angular.
EJEMPLO 4 Un volante aumenta su velocidad de rotación de 6 a 12 rev/s en 8 s. Determine la aceleración angular en radianes por segundo al cuadrado.
SOLUCIÓN 4 Primero encontraremos las velocidades angulares
$$\omega_0 = 2\pi f = \Big( \frac{2\pi\ rad}{1\ rev} \Big) \Big( \frac{6\ rev}{s} \Big) = 37.7\ rad/s$$$$\omega_f = 2\pi f = \Big( \frac{2\pi\ rad}{1\ rev} \Big) \Big( \frac{12\ rev}{s} \Big) = 75.4\ rad/s$$Y usando la ecuación de la aceleración angular:
$$\alpha = \frac{\omega_f - \omega_0}{t} = \frac{75.4\ rad/s - 37.7\ rad/s}{8\ s}$$$$\boxed{\ \ \ 4.71\ rad/s^2 \ \ \ }$$
EJEMPLO 5 Una rueda de esmeril que gira inicialmente a 6 rad/s recibe una aceleración constante de 2 rad/$s^2$ durante 3 s. Encuentra su desplazamiento angular y su velocidad angular final.
SOLUCIÓN 5 Como en todo problema, debemos organizar los datos primeramente y basado en lo que se tiene, seleccionamos la ecuación adecuada a nuestro problema.
Datos: $\omega _0 = 6\ rad/s , \quad \alpha = 2\ rad/s^2, \quad t 0 3\ S$
Se pide: $\theta\ \quad y \quad \omega_f$
La ecuación que nos sirve, basado en lo que tenemos y lo que nos piden, es:
$$\theta = \omega _0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$$$\theta = (6\ rad/s)(3\ s) + \frac{1}{2}(2\ rad/s^2)(3\ s)^2 $$$$\boxed{ \ \ \ \theta = 27.0 \ rad \ \ \ }$$
La ecuación angular final se obtiene con la ecuación
$$\omega_f = \omega_i + \alpha t$$$$= 6\ rad/s + (2\ rad/s^2)(3\ s)$$$$\boxed{ \ \ \ \omega_f = 12\ rad/s \ \ \ }$$
EJERCICIO 1 Calcula la aceleración resultante de una partícula que se mueve en un círculo de radio 0.5 m en el instante en que su velocidad angular es 3 rad/s y su aceleración angular es 4 rad/$s^2$.
RELACIÓN ENTRE LOS MOVIMIENTOS ROTACIONAL Y RECTILÍNEO
El eje de rotación de un cuerpo rígido que gira se puede definir como la línea de partículas que permanecen estacionarias durante la rotación. Se puede tratar de una línea a través del cuerpo, como en el caso de un trompo, o puede ser una línea a través del espacio, como un aro en rotación. En cualquier caso, nuestra experiencia nos dice que cuanto más lejos está la partícula del eje de rotación, mayor es su velocidad tangencial. Este hecho se expresó en el capítulo 10 mediante la fórmula
$$v = 2\pi f R$$Donde $f$ es la frecuencia de rotación. Ahora deduzcamos una relación similar en términos de velocidad angular. La partícula de la figura 3 gira a través de un arco s que se describe como
$$s = \theta R$$
Fig 3. Relación entre velocidad angular y velocidad tangencial
Si la distancia es recorrida en un tiempo t, la velocidad tangencial de la partícula está dada por
$$v = \frac{s}{t} = \frac{\theta R}{t}$$Puesto que $\theta / t = \omega $, la velocidad tangencial se puede expresar como una función de la velocidad angular
$$v = \omega R$$
PROBLEMA 6 Un eje de tracción tiene una velocidad angular de 60 rad/s. ¿A qué distancia del eje deben colocarse unos contrapesos para que éstos tengan una velocidad tangencial de 12 m/s?
SOLUCIÓN 6 Tenemos que la ecuación $v = \omega R$ Despejamos R
$$R = \frac{v}{\omega} = \frac{12\ m/s}{60\ rad/s}$$$$\boxed{\ \ \ R = 0.20\ m \ \ \ }$$
Consideremos de nuevo una partícula que se mueve en un círculo de radio R y supongamos que la velocidad tangencial cambia de cierto valor inicial $v_0$ al valor final $v_f$ en un tiempo $t$. La aceleración tangencial $a_T$ de dicha partícula está dada por
$$a_T = \frac{v_f - v_i}{t}$$
Y como sabemos que las velocidad angular y la velocidad tangencia guardan una estrecha relación, entonces tenemos
$$a_T = \frac{\omega_f R - \omega _i R}{t} = \frac{\omega_f - \omega _i }{t} R$$O bien
$$a_T = \alpha R$$
Hay que tener mucho cuidado en distinguir entre la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta respectivamente
$$a_T = \alpha R \qquad \quad y \qquad \quad a_c = \frac{v^2 }{R}$$
NOTA: La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad tangencial, mientras que la aceleración centrípeta representa tan sólo un cambio en la dirección del movimiento.
EJEMPLO 6 Calcule la aceleración resultante de una partícula que se mueve en un círculo de radio0.5 m en el instante en que su velocidad angular es 3 rad/s y su aceleración angular es 4 rad/$s^2$.
SOLUCIÓN 6
Tenemos los siguientes datos: $R = 0.5\ m$ , $\omega = 3\ rad/s$ y $\alpha = 3\ rad/s^2$, por lo que
$$v = \omega R = (3\ rad/s)(0.5\ m) = 1.50\ m/s$$
La aceleración centrípeta es:
$$a_c = \frac{v^2 }{R} = \frac{(1.50\ m/s)^2 }{0.5\ m} = 4.5\ m/s^2$$
La ecuación tangencial está dada por
$$a_T = \alpha R = (4\ rad/s^2 )(0.5\ m) = 2.0\ m/s^2$$
Como nos piden la aceleración resultante, por supuesto que es entre la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta.
$$a = \sqrt{a_T^2 + a_c^2} = \sqrt{(2\ m/s^2)^2 + (4.5\ m/s^2} = $$$$\boxed{\ \ \ a = 4.92\ m/s^2 \ \ \ }$$
ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL: MOMENTO DE INERCIA
La energía cinética de una partícula que se mueve en un círculo de radio R y tiene una masa m es:
$$K = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m (\omega R)^2 = \frac{1}{2}m \omega ^2 R^2$$
Un cuerpo rígido como el de la figura 4 se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación O. La energía cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo. Así.
$$K = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{2}m_i\omega ^2 r_i^2$$
Fig. 4. Rotación de un cuerpo que puede considerarse como un conjunto de masas individuales.
La ecuación se puede también escribir de la siguiente manera$$K = \frac{1}{2} \bigg( \sum_{i = 1}^n\ m_i r_i^2 \bigg) \omega ^2$$
La cantidad entre paréntesis se define como el momento de inercia y se representa por I:
$$I = m_1 r_1 ^2 + m_2 r_2 ^2 + m_3 r_3 ^2 + \cdots + m_n r_n ^2 $$O bien por
$$I = \sum_{i = 1}^n\ m_i r_i^2$$
Utilizando esta definición, podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular:
$$ K = \frac{1}{2}I \omega ^2$$
PROBLEMA 7 Calcula el momento de inercia para el sistema ilustrado en la figura 5. El peso de las barras que unen las masas es insignificante y el sistema gira con una velocidad angular de 6 rad/s. ¿Cuál es la energía cinética rotacional? (Considera que las masas están concentradas en un punto.)
Fig. 5 Cálculo del momento de inercia.
SOLUCIÓN 7
Como es un conjunto de cuerpos usamos la ecuación siguiente para calcular su energía cinética rotacional
$$K = \frac{1}{2} \bigg( \sum_{i = 1}^n\ m_i r_i^2 \bigg) \omega ^2$$$$= \frac{1}{2} [(2\ kg)(0.5\ m)^2 + (4\ kg)(0.2\ m)^2 + (2\ kg)(0.5\ m)^2 + (4\ kg)(0.2\ m)^2 ] (6\ rad/s)^2$$$$= \frac{1}{2} [ 1.32\ kg \cdot m^2 ] (6\ rad/s)^2$$$$\boxed{\ \ \ K = 23.8\ J \ \ \ }$$
LA SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO EN LA ROTACIÓN
Ahora, analicemos el movimiento de rotación de un cuerpo rígido en la figura 6. Considera a una fuerza F que actúa sobre la pequeña masa m, indicada por la porción sombreada del objeto, a una distancia r del eje de rotación.
Fig 6 La segunda ley de Newton para el movimiento de rotación
La fuerza F aplicada en forma perpendicular a r hace que el cuerpo gire con una aceleración tangencial:
$$a_T = \alpha r$$donde $\alpha$ es la aceleración angular. Partiendo de la segunda ley de Newton del movimiento,
$$F = m a_T = m \alpha r$$Y si multiplicamos toda la igualdad por $r$ tendremos
$$F r = (m r^2) \alpha$$Donde $F r$, sabemos que el el momento de torsión producido por la fuerza $F$ con respecto a eje de rotación, así que tendremos
$$\tau = (m r^2) \alpha$$Esta ecuación es solo para una partícula, para un conjunto de n partículas, podemos generalizar este resultado
$$\tau = \Big( \sum_{i = 1}^n m r^2\Big) \alpha$$Esta ecuación también se puede escribir como$$\tau = I \alpha$$
Tabla 1. Momentos de inercia o inercia rotacional de varios cuerpos
EJEMPLO 8 Un disco de esmeril de radio 0.6 m y 90 kg de masa gira a 460 rpm. ¿Qué fuerza de fricción, aplicada en forma tangencial al borde, hará que el disco se detenga en 20 s?
SOLUCIÓN 8
Muchas veces se tiene dificultad para resolver los problemas cuando la solución involucra varias ecuaciones y no sabemos con seguridad cual se ocupara, por lo que es recomendable que parta de una ecuación en la cual se incluya el parámetro que se pide. En nuestro caso es la fuerza F y esta, lo más seguro es
$$F r = I \alpha$$Y lo más seguro que se estén preguntando, ¿dónde meteremos la condición para que el disco se detenga?, pues será en la aceleración angular que involucrará la velocidad angular inicial y la velocidad angular final.
Empezaremos calculando la inercia rotacional del disco. La fórmula se puede encontrar en la tabla 1.
$$I = \frac{1}{2}m R^2 = \frac{1}{2} (90\ g)(0.60)^2 = 16.2\ Kg\cdot m^2$$Ahora es necesario convertir 460\ rpm a rad/s que corresponde a la velocidad angular angular inicial
$$\omega_0 = 460\ rpm \Big( \frac{2 \pi rad}{1 rev} \Big) \Big( \frac{1\ min}{60\ s} \Big) = 48.2\ rad/s$$Ahora calculamos la aceleración angular sabiendo que $\omega_f = 0$ ya que se debe de parar en t = 20 s.
$$\alpha = \frac{\omega_f - \omega_0}{t} = \frac{0 - 48.2\ rad/s}{20\ s^2} = - 2.41\ rad/s^2$$Y ahora con estos datos encontramos la fuerza que nos piden
$$F = \frac{I \alpha}{R} = \frac{(16.2\ Kg \cdot m^2)(- 2.41\ rad/s^2)}{0.60\ m} = - 65.0\ N$$
CÁLCULO DE MOMENTO DE INERCIA
Si un cuerpo rígido es una distribución continua de masa —como un cilindro o una esfera sólidos — no puede representarse con unas cuantas masas puntuales. En este caso, la sumatoria de masas y distancias que define el momento de inercia se vuelve una integral. Imagina que divide el cuerpo en elementos muy pequeños de masa $dm$, de modo que todos los puntos de un elemento estén prácticamente a la misma distancia perpendicular del eje de rotación. Llamamos r a esta distancia, como antes. El momento de inercia es, entonces,
$$I = \int r^2\ dm$$Para evaluar esta integral es necesario representar a $r$ y $dm$ en términos de la misma variable. Por ejemplo
EJEMPLO 9 La figura 7 muestra una varilla uniforme con masa M y longitud L. Podría ser el bastón (sin las tapas de hule) de una bastonera que marcha al frente a una banda de músicos. Calcula su momento de inercia alrededor de un eje que pasa por O, a una distancia arbitraria h de un extremo.
Fig 7 cálculo del momento de inercia de una varilla delgada
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
Mencioné anteriormente, que un cuerpo no tiene un solo momento de inercia. De hecho, tiene un número infinito, porque el número de ejes sobre los que podría girar es infinito. No obstante, hay una relación simple entre el momento de inercia $I_{cm}$ de un cuerpo de masa $M$ alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y el momento de inercia $I_P$ alrededor de cualquier otro eje paralelo al original pero desplazado una distancia d. Esta relación, llamada teorema de los ejes paralelos, dice que
$$I_p = I_{cm} + Md^2$$
Fig 8. Teorema de los ejes paraalelos
EJEMPLO 10 Una pieza de un acoplamiento mecánico (figura 9) tiene una masa de 3.6 kg. Medimos su momento de inercia alrededor de un eje que pasa a 0.15 m de su centro de masa y obtenemos $I_P$ = 0.132 kg \cdot m^2$ .
Calcula el momento de inercia $I_{cm}$ alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa.
Fig. 9. Cálculo de $I_{cm}$ a partir de una medición de $I_p$
SOLUCIÓN 10
Como nos piden encontrar $I_{cm}$, despejamos esta de la ecuación de los ejes paralelos.
$$I_{cm} = I_p - MD^2 = 0.132\ kg\cdot m^2 - (3.6\ kg)(0.15\ m^2)$$$$\boxed{\ \ \ I_{cm} = 0.051\ g \cdot m^2 \ \ \ }$$
EJERCICIOS
1. Calcule el momento de inercia de un aro (anillo hueco de paredes delgadas) con masa M y radio R, alrededor de un eje perpendicular al plano del aro y que pasa por un borde.
2. ¿Alrededor de qué eje tendrá una esfera uniforme de madera, el mismo momento de inercia que tiene una esfera hueca de plomo con los mismos valores de masa y radio alrededor de un eje que pasa por su diámetro?
3. Una lámina de acero rectangular delgada tiene lados que miden a y b y una masa de M. Use el teorema de los ejes paralelos para calcular el momento de inercia de la lámina alrededor de un eje perpendicular al plano de la lámina y que pasa por una esquina de ésta.
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