Dados dos vectores no cero $\textbf a = \langle a_{1}, a_{2}, q_{3}\rangle$ y $\textbf b = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ es muy útil disponer de un vector no cero c que sea perpendicular a a y b.
Definición
Si $\textbf a = \langle a_{1}, a_{2}, q_{3}\rangle$ y $\textbf b = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$, entonces el producto cruz de a y b es el vector
$$\boxed{\ \textbf a\ \text x\ \textbf b = ( a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2})\ \hat {\textbf {i}} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3})\ \hat {\textbf {j}} + (a_{1} b_{3} - a_{2} b_{1})\hat {\textbf {i}}\ }$$Observemos que el resultado es un vector y la dirección de este vector la da la regla de la mano derecha, Ver figura 1.
Fig. 1. Regla de la mano derecha para indicar la dirección de un producto cruz.
Si somos observadores y hemos trabajado ya con determinantes podemos darnos cuenta que el producto cruz también se puede representar como:
$$\textbf a\ \text x\ \textbf b = \left|
\begin{array}{cc}
\hat {\textbf {i}} & \hat {\textbf {j}} & \hat {\textbf {k}}\\
a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
b_{1} & b_{2} & b_{3}
\end{array}
\right|$$
EJEMPLO 1 Si $\textbf a =\hat {\textbf {i}} + 3\hat {\textbf {j}} + 4 \hat {\textbf {k}}$ y $\textbf b = 2\hat {\textbf {i}} + 7\hat {\textbf {j}} - 5 \hat {\textbf {k}}$, encuentra el producto $\textbf a\ \text x\ \textbf b$
SOLUCIÓN 1
$$\textbf a\ \text x\ \textbf b = \left|
\begin{array}{cc}
\hat {\textbf {i}} & \hat {\textbf {j}} & \hat {\textbf {k}}\\
1 & 3 & 4\\
2 & 7 & -5
\end{array}
\right| =$$$$ = [(3)(-5) - (7)(4)]\hat {\textbf {i}} + [(2)(4) - (1)(-5)]\hat {\textbf {j}} + [(1)(7) - (3)(2)]\hat {\textbf {k}} = $$$$ = (-15-28)\hat {\textbf {i}} + (8 + 5)\hat {\textbf {j}} + (7 - 6)\hat {\textbf {k}} = $$$$\boxed{ \textbf a\ \text x\ \textbf b = -43\hat {\textbf {i}} + 13\hat {\textbf {j}} + \hat {\textbf {k}}\ }$$
Segunda definición del producto cruz Si $ \theta $ es el ángulo entre a y b de modo que $0 \leq \theta \leq \pi$, entonces:
$$|\ \textbf a\ \text x\ \textbf b\ | = |\ \textbf a|\ | \textbf b|\ |\ sen\ \theta $$
Como consecuencia de esta definición tenemos que, dos vectores a y b son paralelos si y sólo si $$\textbf a\ \text x\ \textbf b\ = \textbf 0$$
EJEMPLO 2 Encuentra un vector perpendicular al plano que pasa por los puntos P(1, 4, 6), Q(- 2, 5, - 1) y R(1, - 1, 1).
SOLUCIÓN 2 Como no se tienen vectores, lo que se hará es encontrar dos vetores que tenga un punto común, digamos $\vec {PQ}$ y $\vec {PR}$ y con el se forma un producto cruz que dará como resultado un vector perpendicular a los dos vectores generados o al plano de los tres puntos.
$$\vec {PQ} = (- 2 - 1)\hat {\textbf {i}} + (5 - 4)\hat {\textbf {j}} + (- 1 - 6)\hat {\textbf {k}} = - 3\hat {\textbf {i}} + \hat {\textbf {j}} - 7\hat {\textbf {k}}$$$$\vec {PR} = (1 - 1)\hat {\textbf {i}} + (-1 - 4)\hat {\textbf {j}} + (1 - 6)\hat {\textbf {k}} = -5 \hat {\textbf {j}} - 5\hat {\textbf {k}}$$
Ahora se encuentra el vector perpendicular a ellos con un producto cruz
$$\vec {PQ}\ \text x\ \vec {PR} = \left|
\begin{array}{cc}
\hat {\textbf {i}} & \hat {\textbf {j}} & \hat {\textbf {k}}\\
-3 & 1 & -7\\
0 & -5 & -5
\end{array}
\right| = $$$$ = (-5 -35) \hat {\textbf {i}} + (0 - 15) \hat {\textbf {j}} + (15 - 0) \hat {\textbf {k}}$$$$\boxed{\ \vec {PQ}\ \text x\ \vec {PR} = -40 \hat {\textbf {i}} - 15 \hat {\textbf {j}} + 15 \hat {\textbf {k} } \ }$$Cabe aclarar que como se pide solo un vector perpendicular al plano, est puede ser cualquiera, múltiplo de este vector.
EJEMPLO 3 Encuentra el área del triángulo con vértices P(1, 4, 6), Q(-2, 5, -1) y R(1, -1. 1).
SOLUCIÓN 3 Si recordamos, el área de un paralelogramo esta dada por:
$$| \vec {PQ}\ \text x\ \vec {PR} \ = \text{area del paralelogramo formado por dos vectores}$$
Como estos son los vértices del triángulo anterior, tomaremos su producto punto, se la saca el modulo de ese vector y se divide entre 2, ya que el paralelogramo está formado por dos triángulos iguales.
$$A = \frac{1}{2}| \vec {PQ}\ \text x\ \vec {PR} | = \frac{1}{2} \sqrt{(-40^2 + (-15)^2 + (15^2)} = $$$$\boxed {\ \text {Área del triángulo} =\frac{5}{2} \sqrt{82} \ }$$
Recordemos que como para este producto cruz se usa la regla de la mano derecha, entonces
$$\hat {\textbf {i}}\ \text x\ \hat {\textbf {j}}\ \not= \hat {\textbf {j}}\ \text x\ \hat {\textbf {i}}$$Por lo que el producto cruz no es conmutativo.
TABLA 1. Propiedades del producto cruz
Productos triples
El producto $\textbf a \ \cdot \ (\textbf b \text x \textbf c)$ que se presenta en a propiedad 5, se denomina triple producto escalar de los vectores a, b y c. Este triple producto escalar se puede escribir como un determinante
$$\textbf a \ \cdot \ (\textbf b\ \text x\ \textbf c)
= \left|
\begin{array}{cc}
a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
b_{1} & b_{2} & b_{3}\\
c_{1} & c_{2} & c_{3}
\end{array}
\right| $$El significado geométrico del triple producto escalar se puede ver en la figura 2. El paralelepípedo formado por los vectores a, b y c. El área de la base del paralelogramo es $A = | \textbf b \text x \textbf c |$. Si $\theta$ es el ángulo entre a y b x c, entonces la altura h del paralelepípedo es $h = |\textbf a | | cos \theta |$. Por lo tanto el volumen del paralelepípedo es
$$V = Ah = | \textbf b\ \text x\ \textbf c | |\textbf a | | cos \theta | = | \textbf a\ \cdot\ (\textbf b\ \text x\ \textbf c ) |$$
EJEMPLO 4 Usa el triple producto escalar para demostrar que los vectores a = <1, 4, -7>, b = <2, -1, 4> y c = <0, -9, 18> son coplanares
SOLUCIÓN 4 Les he comentado que muchas veces las ecuaciones nos dan mucha información pero no estamos acostumbrados a ver eso. Para resolver este problema, saquemos el triple producto de los vectores.
$$\textbf a \ \cdot \ (\textbf b\ \text x\ \textbf c)
= \left|
\begin{array}{cc}
1 & 4 & -7\\
2 & -1 & 4\\
0 & -9 & 18
\end{array}
\right| = $$
$$= [ (1)(-1)(18) - (1)(-9)(4) + (0)(4)(4) - (2)(4)(18) + (2)(-9)(-7) - (0)(-1)(-7)] =$$$$= -18 + 36 - 144 + 126 = 0$$
$$\boxed{\ \text {como el triple producto escalar es cero, entonces los puntos son coplanares} \ }$$Pero ¿Por qué?
EJERCICIOS
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