No importa si se tiene movimiento rectilíneo uniforme o movimiento rectilínea uniformemente acelerado, siempre habrá que considerar el marco de referencia desde donde se harán las medidas. Anteriormente les había hecho una tabla donde se resume esto, pero lo haremos ahora pero resolviendo problemas con esos conceptos.
Los problemas con movimiento uniforme no tienen mucha dificultad ya que si el marco de referencia es que el eje positivo esté a la derecha, las medidas a la derecha son positivas y a la izquierda son negativas, lo mismo pasa con las velocidades. Pero veamos un problema de caída libre.
1. Una piedra se lanza hacia arriba con una rapidez de 20 m / s. En su camino hacia abajo es atrapada en un punto situado a 5.0 m por encima del lugar desde donde se lanzó.
a) ¿Qué rapidez tenía cuando fue atrapada?
b) ¿Cuánto tiempo tomó el recorrido?
SOLUCIÓN Como les he comentado, hay que hacer una gráfica para poder entender bien el proceso del problema. A continuación muestro la gráfica pero observen que prácticamente ya se nos está dando el marco de referencia a usar: el suelo. Ahí es donde se ubicará nuestro eje coordenado.
Fig 1. piedra lanzada hacia arriba. Problema 1
a) Recordemos que la rapidez es una cantidad positiva y tenemos de datos $v_{viy} = 20\ m/s$, $y = 5\ m$ y sabemos que como la gravedadva hacia abajo, esta vale $-\ 9.8 m/s^2$. Para este caso podemos usar la ecuación
$$v_{fy}^2 = v_{iy}^2 + 2 ay $$$$v_{fy} = \pm\ \sqrt{(20\ m/s)^2 + 2(-9.8\ m/s^2)(5\ m)} = \pm\ 17.38\ m$$Como la piedra al ser lanzada pasa por ese punto (5 m), dos veces (ver la figura 2) es de suponerse que pasará en dos tiempos diferentes y tendrá dos velocidades diferentes.
NOTA. Aquí, aunque no estamos manejando vectores, escribí velocidades ya que la rapidez en los dos puntos es la misma, pero la velocidad no!!
Fig 2. Gráfica de la $\textbf v \text vs \textbf y$
En la gráfica ubicamos y = 5 m y veremos que hay dos velocidades, una positiva y una negativa.
b) En este inciso nos piden calcular el tiempo que le toma a la piedra llegar a la posición dada, desde que es lanzada hasta que la atrapan.
El caso más sencillo es usar la ecuación
$$a = \frac{v_{fy} - v_{iy}}{t}$$Así que al despejar el tiempo y evaluar, tendremos
$$t = \frac{- 17.38\ m/s - 20\ m/s}{- 9.8\ m/s^2 } = 3.8\ s$$$$\boxed{\ t = 3.8\ s \ }$$
Pero, ¿qué hubiese pasado si se usara la ecuación?
$$y_{f} = y_{i} + v_{iy}t + \frac{1}{2} gt^2$$Tendríamos que $y_{iy} = 0$, ya que su posición inicial cuando se lanza es en $y = 0$, así que
$$y_{fy} = 0 + (20\ m/s)t + (0.5)(- 9.8 m/s^2) t^2$$Expresando esta ecuación de forma matemática, sin unidades.
$$y_{fy} = 20\ t - 4.9\ t^2$$$$ y_{fy}= t\ (20 - 4.9\ t)$$
La primera ecuación representa una parábola: ver figura 3
Fig 3. Gráfica de la distancia recorrida por la piedra contra su tiempo en hacerlo
Y se observa que hay dos posiciones de la piedra iguales pero con tiempos diferentes!!!
¿qué significa esto? pues que al subir la piedra, todas las posiciones por las que pasa ésta, la vuelve a pasar la piedra de bajada y obvio, se hacen en diferentes tiempo.
La ecuación $ y_{fy}= t\ (20 - 4.9\ t)$ nos ayuda a ubicar el caso cuando la piedra esta en el suelo. La primera cuando sale disparada y la segunda cuando regresa al suelo:
$$ 0 = t$$$$0 = 20 - 4.9\ t$$Tenemos dos tiempo $t = 0$ cuando la piedra sale disparada o sea, $y = 0$, y $ t = 20/4.9\ s = 4.08\ s$ o sea, $y = 0$ también, que es cuando la piedra regresa al suelo
2. Se lanza una pelota de béisbol verticalmente hacia arriba en la superficie lunar con una rapidez inicial de 35 m / s. Calcula:
a) La máxima altura que alcanza la pelota,
b) El tiempo que tarda en alcanzar esa altura,
c) Su velocidad 30 s después de lanzarse y
d) Cuando (sin acento) la pelota está a 100 m de altura.
e) ¿Cuándo (con acento) la pelota está a 100 m de altura?
SOLUCIÓN
Antes de iniciar a resolver el problema, observa que el mismo problema nos da el marco de referencia, esto es, donde estará ubicado nuestro sistema coordenado. Además los datos conocido son: $v_{iy} = 35\ m/s, \ \ v_{fy} = 0, \ \ g = 1.6\ m/s$
a) La altura máxima se encuentra con la ecuación
$$v_{fy}^2 = v_{iy}^2 + 2a y$$$$0 = (35\ m/s)^2 + 2 (-1.6\ m/s^2)y$$$$\boxed{\ y = 0. 383\ m\ }$$
b) El tiempo que tarda en alcanzar esta altura se obtiene usando:
$$v_{fy} = v_{iy} + at$$O, despejando $t$:
$$t = \frac{v_{fy} - v_{iy}}{a}$$$$t = \frac{0 - 35\ m/s}{- 1.6\ m/s^2} = 21.88\ s$$$$\boxed{\ t = 21.88\ s \ }$$
c) Aquí hay que tener mucho cuidado al resolver este tipo de problemas, ya que muchas veces queremos hacerlo en dos partes: 1) mover nuestro marco de referencia hasta su punto máximo y luego ahí, 2) hacemos una caída libre tomando el tiempo de caída como 30 s - 21.88 s = 8.12 s
El resultado es el mismo si usamos la ecuación del inciso b)
$$v_{fy} = v_{iy} + at = (35\ m/s) + (- 1.6\ m/s^2)(30\ s) = $$$$\boxed{\ v_{fy} = - 13\ m/s\ }$$ El signo menos indica que el cuerpo ya va de caída. Recordemos que nuestro marco de referencia, está el el suelo lunar y las y positivas son hacia arriba y las negativas hacia abajo.
d) Aquí se nos está pidiendo nuevamente la velocidad, pero cuando la pelota está a 100 m de altura, obviamente, medidos desde el suelo lunar. La ecuación a usar es ahora:
$$v_{fy}^2 = v_{iy}^2 + 2a y$$O lo que es lo mismo
$$v_{fy} = \pm \sqrt{ v_{iy}^2 + 2a y}$$$$v_{fy} = \pm \sqrt{ (35\ m/s)^2 + 2(- 1.6\ m/s^2)(100\ m)}$$$$\boxed{\ v_{fy} = \pm 30.1\ m/s \ }$$Por supuesto que el signo positivo nos indica que la pelota va hacia arriba y el signo negativo cuando va hacia abajo.
3. Desde un globo que está a 300 m sobre el suelo y se eleva a 13 m / s, se deja caer una bolsa de lastre. Para la bolsa, encuentra:
a) La altura máxima que alcanza,
b) Su posición y velocidad después de 5.0 s de haberse desprendido y
c) El tiempo que tarda en bajar y golpear el suelo.
SOLUCIÓN
Antes de empezar la resolución es necesario ubicar el marco de referencia y no moverlo. Lo haremos en dos marcos,
Marco de referencia en el suelo.
Datos iniciales: $v_{iy} = 13\ m/s$, $y_{i} = 300 m$, $a = -9.8\ m/s^2$, $t = 5\ s$
a) La altura máxima que alcanza. Recuerda que la altura se mide desde el marco de referencia. Su velocidad inicial es: por lo que
$$v_{fy}^2 = v_{iy}^2 + 2a(y_{f} - y_{i})$$$$y_{f} = \frac{( v_{fy}^2 - v_{iy}^2 )}{2a} + y_{i} $$$$y_{f} = \frac{0 - (13\ m/s)^2 }{2(- 9.8\ m/s^2)} + 300\ m = 308.6\ m $$$$\boxed{\ y_{f} = 300.86\ m \ }$$
b) ¿Qué harías en este caso? ¿Calcular el tiempo que tarda en llegar a su punto más alto y luego restar ese tiempo a 5 s para con ese tiempo calcular la distancia recorrida con ese tiempo y luego esa distancia restarla de 300\ m? Sí, ya lo sé, todo ese proceso se leyó... espeluznante, ¿verdad?, pero afortunadamente podemos hacer el cálculo con una sola ecuación:
$$y_{f} = y_{i} + v_{iy}t + \frac{1}{2}at^2$$No olvidando que nuestro marco de referencia es el suelo y la posición inicial 300 m desde el suelo y la posición final se medirá desde el suelo
$$y_{f} = 300\ m + (13\ m/s)(5\ s) + (0.5)(- 9.8\ m/s^2)( 5\ s)^2 = $$$$\boxed{\ y_{f} = 242.5\ m \ }$$
La velocidad se calcula con$$v_{fy} = v_{iy} + at$$$$v_{fy} = 13\ m/s + (- 9.8\ m/s^2)(5\ s) = $$$$\boxed{\ v_{fy} = - 36\ m/s \ }$$
c) El tiempo total de recorrido desde los 300 m de altura, hasta el suelo. Usando la ecuación
$$y_{f} = y_{i} + v_{iy}t + \frac{1}{2}at^2$$$$0 = 300\ m + (13\ m/s)t - 4.9\ m/s^2 t^2$$O poniéndolo como una ecuación algebraica:
$$ 4.9t^2 - 13t - 300 = 0$$La solución de esta ecuación es:
$$t_{1} = 9.3\ s \quad \quad y \quad \quad t_{2} = - 6.6\ s$$ Por supuesto que tomaremos el tiempo con signo positivo. ¿por qué?
$$\boxed{\ t = 9.3\ s \ }$$
Fig. 4. Problema donde hay un desplazamiento inicial.
MOVIMIENTO EN UN PLANO
Este tipo de movimiento realizado por una partícula u objeto, se analiza en dos parte:
a) El movimiento horizontal, el cual involucre solo una ecuación, ya que este es un movimiento uniforme. El problemas de este tipo, la velocidad horizontal es siempre la misma, pero ojo!!!! estamos asumiendo que el plano es vertical y que cuando se dispara la partícula u objeto, queda a expensas de la gravedad nada más.
b) El movimiento vertical que involucra las 3 ecuaciones principalmente.
$$y_{f} = y_{i} + v_{i} t + \frac{1}{2} a t ^2\qquad \qquad (1)$$$$v_{f}^2 = v_{i}^2 + 2a(y_{f} - y_{i} )\qquad \qquad (2)$$$$v_{f} = v_{i} + a t\qquad \qquad (3)$$
hay que tener cuidado a la hora de escoger su marco de referencia
PROBLEMA 4 desde la cima de un risco de 80 m de alto se dispara un proyectil con una rapidez horizontal de 30 m / s.
a) ¿Cuánto tiempo necesitará para chocar contra el suelo en la base del risco?
b) ¿A qué distancia del pie del risco será el choque?
c) ¿Con qué velocidad se estrellará?
Fig 5. Diagrama del problema 4
SOLUCIÓN 4
a) Para calcular el tiempo que le toma al proyectil llegar (o chocar en el suelo) se puede utilizar en algunos casos la ecuación $v_{x} = \frac{x}{t}$, pero desgraciadamente no conocemos $x$, por lo que escogeremos alguna de las ecuaciones (1), (2) o (3). Recuerden que para seleccionar la más adecuada es necesario ver de que datos disponemos.
En el problema, sabemos que $v_{i} = 0$, esto es, porque cuando el proyectil sale del risco y queda en el aire, este empieza a caer con velocidad inicial cero. Disponemos también de el valor de la gravedad, por lo que la ecuación más viable es la .ecuación (1)
$$y_{f} = y_{i} + v_{i} t + \frac{1}{2} a t ^2 $$$$- 80\ m = 0 + (0) t + \frac{1}{2} (- 9,81 m/s^2) t ^2 $$$$t = \sqrt{\frac{2(- 80\ m)}{- 9.8\ m/m^2}}$$$$\boxed{\ \ t = 4.04\ s \ \ }$$Antes de proseguir, aclaremos primero el porque de los signos negativo en la ecuación.
Dado que estamos ubicados en la parte superior del risco, ahí está nuestro sistema coordenado, por lo que, el suelo está a $- 80\ m$, y como la aceleración va hacía abajo desplazando al proyectil a unidades negativas de longitud ( m ), entonces $g = - 9.8\ m/s^2$
Por otro lado, tal vez haya confusión a la hora de escoger cual es $y_{f}$ y $y_{i}$. Recordemos que a ecuación (1) sirve para calcular la distancia de una partícula después de haber transcurrido un tiempo $t$. Bueno, pues ya sabemos que recorrerá 80 metros hacia abajo del sistema coordenado, así que $y_{f} = - 80\ m$ y como la partícula parte del reposo (verticalmente), es por eso que $v_{i} = 0$.
b) El proyectil chocará en el suelo después de los 4.04 s que le tomó a este caer verticalmente y chocar contra el piso. así que podremos ahora si usar $v = \frac{x}{t}$ o $x = v_{x}\ t$
$$x = (30\ m/s)(4.04\ s) =$$$$\boxed{ \ \ x = 121.2\ m \ \ }$$
c) La velocidad con la que se estrellará $v$ la forrmarán dos velocidades, una horizontal $v_{x}$ y una velocidad vertical $v_{y}$, como ya conocemos la primera, procederemos a calcular la segunda
$$v_{f} = v_{i} + a\ t$$$$v_{f} = 0 + (- 9.8\ m/s^2)(4.04\ s) = $$$$ v_{y} = - 40\ m/s $$Por lo que la velocidad resultante será
$$v = \sqrt{( 30\ m/s )^2 + (- 40\ m/s)^2 } $$$$\boxed{\ \ v = 50 \ \ }$$
PROBLEMA 5 se lanza una pelota desde lo alto de un edificio hacia otro más alto, a 50 m de distancia. La velocidad inicial de la pelota es de 20 m / s, con una inclinación de 40° SOBRE LA HORIZONTAL . ¿A qué distancia, por encima o por debajo de su nivel inicial, golpeará la pelota sobre la pared opuesta?
Fig 6. Diagrama del problema 5
SOLUCIÓN 5 Antes de empezar a resolver el problema hay que analizarlo y ver que datos tenemos y cuales podemos obtener para obtener lo que nos piden.
Como necesitamos el tiempo que le tomara a la pelota subir hasta cierta altura y luego regresar en caída libre hasta el punto que chocará contra el edificio de enfrente. ¿De dónde sacamos ese tiempo? Sencillo, como podemos calcular la componente en x de la velocidad y ademas conocemos la distancia que recorrerá esta: 50 m, Entonces, el tiempo lo calculamos con la única ecuación del movimiento horizontal NO ACELERADO.
Como necesitaremos las componentes de la velocidad, las calculamos tomando en cuenta que $v_{0} = 20\ m/s$
$$v_{x} = v_{0} cos \theta = (20\ m/s)(cos\ 40°) = 15.32\ m/s$$$$v_{y} = v_{0} sen \theta = (20\ m/s)(sen\ 40°) = 12.86\ m/s$$, Ahora calculemos el tiempo que le toma a la pelota llegar a la pared del edificio de enfrente
$$t = \frac{x}{v_{x}} = \frac{50\ m}{15.32} = 3.26\ s$$
Este tiempo es el que deberá de viajar la pelota antes de chocar en la pared contraria, así que calcularemos la posición de esta al transcurrir ese tiempo.
$$y_{f} = y_{i} + v_{i}t + \frac{1}{2}at^2$$$$y = 0 + (12.86\ m/s)(3.26\ s) + \frac{1}{2}(- 9.8\ m/s^2)(3.26)^2$$$$$$
$$\boxed{\ \ y = - 10.15\ m \ \ }$$
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