FUNDAMENTOS
El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente sabemos que un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
NOTACIÓN
Para evitar una anarquía como en algunas áreas, se denotan los conjuntos con letras mayúsculas
$$A,\ \ B,\ \ X,\ \ Y, .\ .\ .\ .$$Los elementos de los conjuntos se representan con letras minúsculas
$$a,\ \ b,\ \ x,\ \ y, \ .\ .\ .$$
Algunos sinónimos de “conjunto” son “clase”, “colección” y “familia”.
La pertenencia a un conjunto se denota como:
a $\in$ S denota que a pertenece al conjunto S.
a, b ∈ S denota que a y b pertenecen al conjunto S.
Aquí ∈ es el símbolo para indicar “es un elementos de” y $\not \in$ significa “no es un elemento de”.
ESPECIFICACIÓN DE CONJUNTOS
Hay dos formas para especificar un conjunto particular.
1. Por extensión: Que consiste en enumerar o proporcionar en una lista, todos sus elementos
Ejemplo 1: A = {$a$, $b$, $c$, $d$}
Separando los elementos por comas y encerrándolos entre llaves { }. Esta es la llamada forma tabular de un conjunto.
$$B = \{ x | x \ \ \text {es un entero par,} \ \ x > 0 \}$$Que se lee como; B es el conjunto de $x$ tal que $x$ es un entero par y es mayor que 0
Ejemplo 2: B = { x | x es par }, que se lee << B es el conjunto de los números $x$ tales que $x$ es par >>.
Tengan en cuenta que la barra vertical " | " se lee " tales que ".
Ejemplo 3. Tipos de conjuntos
- Los números 1, 3, 7, 10
- Las soluciones de la ecuación $x^2 - 3x - 4 = 0$
- Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, u.
- Las personas que habitan la tierra
- Los estudiantes Nepomuceno, Aeropajita y Castulo.
- Los alumnos ausentes en esta clase.
- Los paises, Inglaterra, Francia y Dinamarca.
- Las ciudades capitales de México
- Los números 2, 4, 6, 8.
- Los ríos de Guanajuato
CARDINALIDAD
La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee- Se denota por nedio de símbolo $\eta$ 0 #
Por ejemplo, sean V = {a, e, i, o, u} y P = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}
La cardinaledad de los conjuntos anteriores es: $\eta(V) = 5$ y $\eta(P) = 8$
La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee- Se denota por nedio de símbolo $\eta$ 0 #
Por ejemplo, sean V = {a, e, i, o, u} y P = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}
La cardinaledad de los conjuntos anteriores es: $\eta(V) = 5$ y $\eta(P) = 8$
SUBCONJUNTOS
Supongamos que todo elemento de un conjunto A también es un elemento de un conjunto B; es decir, si a ∈ A implica que a ∈ B. Entonces se dice que A es un subconjunto de B. También se dice que A está contenido en B o que B contiene a A. Esta relación se escribe como
$$A \ \subseteq B \qquad \text {o} \qquad B \ \supseteq \ A$$
Ejemplos 4: - El conjunto C = {1, 3, 5} es un subconjunto de D = {5, 4, 3, 2, 1} ya que todo número 1, 3, 5 está contenido en D.
- El conjunto E = {2, 4, 6} es un subconjunto de F = {6, 2, 4}, pues cada número 2, 4 y 6 que pertenece a E, pertenece también a F. Observen en particular que E = F. De la misma manera se puede mostrar que todo conjunto es subconjunto de si mismo.
- Sean G = { $x$ | $x$ es par } y F = { $x$ | $x$ es una potencia entera positiva de 2 } entonces F $\in$ G
El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por
$$A = B$$
Ejemplo 5: Sean A = {1, 2,3, 4} y B = {3, 1, 4, 2}.
Entonces A = B, es decir, {1, 2,3 4} = {3, 1, 4, 2}, pues cada uno de los elemento de 1, 2, 3, y 4 de A pertenece a B y cada uno de los elementos 3, 1, 4 y 2 de B pertenece a A.
Ejemplo 6: Sean E = { $x$ | $x^2 - 3x = - 2$ }, F = {2, 1} y G = {1, 2, 2, 1}. Resulta entonces E = F = G.
CONJUNTO VACÍO
Conviene introducir el concepto del conjunto vacío, es decir, de un conjunto que carece de elementos. Este conjunto se suele llamar conjunto vacío o nulo y se le denota por el símbolo $\phi$
Ejemplo 7: Si A es el conjunto de personas vivientes mayores de 200 años. A es vacío según las últimas estadísticas conocidas.Ejemplo 8: Sea A = { $x$ | $x^2 = 4$, $x$ es impar }. B es entonces un conjunto vacío.
Definición 1 Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y solo si, A $\subseteq$ B y B $\subseteq$ A. Si A es un subconjunto de B, se puede escribir también
$$B \supseteq A$$
Que se lee " B es un superconjunto de A" o " B contiene a A".
Si A no es subconjunto de B, entonces
$$A \not \subseteq B \qquad \text {o} \qquad B \not \supseteq A$$
SUBCONJUNTO PROPIO
Puesto que todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, se dirá que B es un subconjunto propio de A si, en primer lugar B es un subconjunto de A y, en segundo lugar, B no es igual a A. O dicho de otra manera, es un subconjunto propio de A si
$$B \subseteq A \qquad \text {y} \qquad B \neq A$$Y se denota como
$$B \subset A$$CONJUNTO UNIVERSAL
En toda aplicación de la teoría de conjuntos, todos los conjuntos que se consideran serán muy probablemente subconjuntos de un mismo conjunto dado. Este conjunto se llama conjunto universal y se denotará por $U$
CONJUNTOS DISJUNTOS
Si dos conjuntos, A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A está en B y si ningún elemento de B está en A, se dice que A y B son disjuntos o ajenos.
Ejemplos 9: Sean A = {1, 3, 7, 8} y B = {2, 4, 7, 9}; A y B no son disjuntos ya que 7 está en ambos conjuntos, esto es 7 $\in$ A y 7 $\in$ B
Ejemplos 10: Sea A el conjunto de números positivos y B el conjuntos de números negativos, Entonces A y B son disjuntos ya que ningún número puede ser positivo y negativo a la vez.
SÍMBOLOS ESPECIALES
Usarenos muy a menudo algunos conjuntos, para lo que se usan símbolos especiales. Algunos de estos símbolos son:
N = conjunto de números naturales o enteros positivos: 1, 2, 3, . . .
Z = conjunto de todos los enteros: . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
Q = conjunto de números racionales
R = conjunto de números reales
C = conjunto de números complejos
Es de observarse que:
$$\textbf N \ \subseteq\ \textbf Z \ \subseteq\ \textbf Q\ \subseteq\ \textbf R \ \subseteq\ \textbf C$$
DIAGRAMAS DE VENN-EULER
Se logra visualizar de manera mas sencilla e instructiva las relaciones entre conjuntos mediante los llamados diagramas de Venn-Euler o de Venn simplemente. que representan a los conjuntos por figuras plana, normalmente por círculos.
Ejemplo 14: Supón que $A \subset B$ y $A \neq B$. Entonces A y B se describen como uno de los diagramas siguientes.
Como ya sabemos, los conjunto los podemos representar de varias maneras: Por extensión, por compresión y por diagramas de Venn:
Si quisiéramos representar las vocales del alfabeto en estas tres formas, sería así:
Por extensión: V = { a, e, i, o , u }
Por comprensión: V = { x | x es una vocal }
Por diagrama de Venn:
EJERCICIOS
1. Si A = { $x$ | $2x = 6$ } y b = 3. entonces ¿ b = A?
2. Si M = { $r, s, t$ }, Dí cuáles de las afirmaciones son correctas:
a) r $\in$ M b) r $\subset$ M c) {r} $\in$ M d) {r} $\subset$ M
3. Enunciar con palabras y luego escribe en forma tabular
a) A = {$x$ | $x^2 = 4$ }.
b) B = {$x$ | $ x - 2 =5$ }.
c) C = {$x$ | $x$ es positivo, x es negativo}.
d) D = {$x$ | $x$ es una letra de la palabra "correcto"}.
4. Escribir en forma constructiva los siguientes conjuntos
a) A consiste de las letras $a, b, c, d, e$
b) B = {2, 4, 6, 8, ......}
c) El conjunto C de todos los países de las Naciones Unidas
d) El conjunto D = {3}
e) Sea E Margarita Esther Zavala Gómez del Campo, Jaime "El bronco" Rodríguez Calderón y Armando Ríos Piter
5. Escribe en forma tabular
a) P = { $x$ | $x^2 - x -2$ }.
b) Q = { $x$ | $x$ es una letra de la palabra "calcular" }.
c) R = { $x$ | $x^2 = 9, \ \ x - 3 = 5$}.
d) S = {$x$ | $x$ es una vocal }.
e) T = { $x$ | $x$ es una cifra del número 2324 }.
6. Si E = {0, 1}, decir entre las afirmaciones siguientes, cuáles son correctas o incorrectas y ¿por qué?
a) {0} $\in$ E, b) $\phi\ \in$ E, c) {0} $\subset$ E, d) 0 $\in$ E, e) 0 $\subset$ E
8. Si F = { 0, {1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8, 9} }, hallar todos los subconjuntos de F
9. Decir si son correctas o incorrectas las siguientes afirmaciones y ¿por qué?
a) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.
b) Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinito.
10. Entre las afirmaciones siguientes, di cuales son correctas o incorrectas.
a) {1, 4, 3} = {3, 4, 1} d) {4} $\subset$ { {4} }
b) {1, 3, 1, 2, 3, 2} $\subset$ {1, 2, 3} e) $\phi$ $\subset$ { {4} }
c) {4} $\in$ { {4} }
11. ¿Cuál de estos conjuntos son vacíos?
a) A = { $x$ | $x$ es una letra anterior a $a$ en el alfabeto }
b) B = { $x$ | $x^2 = 9$ y "2x = 4" }
c) C = { $x$ | $x\ \neq\ x$ }
d) D = { $x$ | $x + 8 = 8$ }
12. Definir los siguientes conjuntos de figuras del plano euclidiano
Q = { $x$ | $x$ es un cuadrilátero } H = { $x$ | $x$ es un rombo }
R = { $x$ | $x$ es un rectángulo } S = { $x$ | $x$ es un cuadrado }
OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS
Como bien sabemos (eso espero), en aritmética se suma: $x + y$, se resta: $x - y$ y se multiplica $xy$. En conjuntos definiremos las operaciones: unión, diferencia e intersección de conjuntos.UNIÓN
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o B o a ambos. Se denota la unión de A y de B por
$$A\ \cup \ B$$
Que se lee "A unión B".
Ejemplo 15: Sean S = { $a, b, c, d$ } y T = { $f, b, d, g$ }, encontrar $S\ \cup \ T$
$$S\ \cup\ T = \{ \ a, b ,c, d, f, g\ \} $$
Ejemplo 16: Sean P el conjunto de los números reales positivos y Q el conjunto de los números reales negativos. $P\ \cup\ Q$ conste de todos los números reales exceptuando el cero
La unión de A y B se puede definir también concisamente como
$$\boxed {\ \ A\ \cup\ B = \{ \ x \ | \ x \in A \ \ o \ \ x \in B\ \} \ \ }$$
DIFERENCIA
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B. Se denota la diferencia de A y B como
$$A\ -\ B $$
Que se leee "A diferencia B" o simplemente "A menos B"
La diferencia de A y B se puede definir también concisamente como
$$\boxed {\ \ A\ -\ B = \{ \ x \ | \ x \in A \ \ , \ \ x \not \in B\ \} \ \ }$$
Ejemplo 17: Sean A = { $a, b, c, d$ } y B = { $f, b, d, g$ }, encontrar A - B
$$A - B = \{\ a,\ c\ \}$$
Ejemplo 18: Sea R el conjunto de los números reales y Q el conjunto de los números racionales. entonces
$$R - Q = \{\ \text {números irracionales} \ \}$$
Nota: La diferencia de A y B se denota a veces por A/B o por A $\approx$ B
INTERSECCIÓN
La intersección de los conjuntos A y B, es el conjunto de los elementos que son comunes a A y B. Esto es, aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B como
$$A\ \cap\ B$$
La intersección de A y B también se puede definir concisamente como
$$\boxed{\ \ A\ \cap\ B = \{ x\ |\ x\ \in A,\ x\ \in B \} \ \ }$$
Ejemplo 19: Sean A = { $a, b, c, d$ } y B = { $f, b, d, g$ }, encontrar la intersección de A y B
$$A\ \cap\ B = \{\ b, d\ \}$$
Ejemplo 20: Sean V = { 2, 4, 6, ..... } y W = { 3, 6, 9, ..... }, encontrar la intersección de
V con W
$$V\ \cap\ W = \{ 6, 12, 18, ....... \}$$
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A, Es decir, la difefrencia del conjunto universal U y el de A.Se denota el complemento de A como:
$$\overline a = A' = A^c$$
También se puede definir el complemento de A como
$$\boxed{\ \ \overline A = A' = \{ x | \ x\ \in \ U, \ \ x \ \not \in A \} \ \ }$$
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS
1) $A - B = A \cap\ \overline B$
Propiedad asociativa
2) $( A \cup B ) \cup C = A \cup (B \cup C ) $
3) $( A\ \cap B )\ \cap\ C = A\ \cap\ ( B \cup C)$
Propiedad conmutativa
4) $A \cup B = B\cup A$
5) $A \cap B = B \cap A$
Idempotente
6) $A \cup A = A$
7) $A \cap \ A = A$
Simplificación
8) $A \cup ( B \cap A ) = A$
9) $A \cap ( B \cup A ) = A$
Absorción
10) $A \cup U = U$
11) $A \cap \phi = \phi $
Distributiva
12) $A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap (A \cup B)$
13) $A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup (A \cap B)$
Complemento
14) $( A^c )^c = A$
Leyes de Morgan
15) $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
16) $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$
Ejemplo 21
Sean A, B, C tres conjuntos no vacíos, utiliza las propiedades de los conjuntos para probar que:
$$(A \cap B \cap C) \cup (A^C \cup B^C \cup C^C) = U$$
Ejemplo 22
Simplifica la expresión de modo que A, B y C aparezcan a lo sumo una vez
a). $[\ (A^C \cup C^C ) \cap B\ ]^C \cup [\ A \cup (C \cap B)^C \cup C\ ]^C$
b) $ [A \cup (B \cup C)^C]^C \cap [A^C \cup (B \cap C)^C]^C$
Sol a) $(A \cap C) \cup B^C$ b) $\phi$
CARDINALIDAD
También, de acuerdo a las definiciones de unión, complemento y diferencia, se puede establecer que sus respectivas cardinalidades se pueden se pueden obtener a través de:
Para dos conjuntos no vacíos
$\eta(A\ \cup \ B) = \eta(A) + \eta(B) - \eta(A\ \cap \ B)$
$\eta( A^C) = \eta(U) - \eta(A)$
$\eta(A\ -\ B = \eta(A) - \eta (A\ \cap\ B)$
Para tres conjuntos no vacíos
$\eta(A \cup B) = \eta(A) + \eta(B) + \eta(C) - \eta(A \cap B) - \eta(A \cap C) - \eta(B \cap C) + \eta(A \cap B \cap C)$
Ejemplo 23: En una unidad habitacional viven 120 familias y se sabe que 70 de ellas tienen automóvil, que 30 poseen un reproductor de DVD y que 17 tienen ambas cosas. Se desea conocer: a) ¿cuántas familias tienen exclusivamente automóvil?, b) cuántas familias son dueños exclusivamente de un reproductor DVD, c) ¿cuántas familias son propietarias de un automóvil o de un reproductor DVD?, y d) ¿cuántas familias no poseen ni automóvil ni reproductor DVD?
Solución
Identificando los datos por su cardinalidad:
Número de familias del conjunto universal, $\eta( U ) = 120$
Número de familias con automóvil, $\eta ( A ) = 70$
Número de familias con reproductor DVD, $\eta( D ) = 30$
Número de familias con automóvil y con reproductor DVD, $\eta(A\ \cap \ D ) = 17$
Del diagrama de a continuación, donde se muestran el número de elementos de los los conjuntos, se aprecia que
a) El número de familias que exclusivamente tienen automóvil es:
$$\eta( A ) - \eta( A\ \cap \ D ) = 70 - 17 = 53$$
b) El número de familias que son dueños exclusivamente de un reproductor DVD es:
$$\eta( D ) - \eta(A\ \cap\ D ) = 30 - 17 = 13$$
c) El número de familias que son propietarias de un automóvil o de un reproductor DVD es $\eta( A\ \cup \ B )$: asi que
$$\eta(A\ \cup \ D ) = \eta( A ) + \eta( D ) = - \eta ( A\ \cap \ D) = 70 + 30 - 17 = 83$$
d) El número de familias que no poseen ni un automóvil ni un reproductor DVD es: $\eta( A\ \cup \ B ) ' , por lo que:
$$\eta( A\ \cup D)' = \eta( U ) - \eta (A\ \cup \ D ) = 120 - 83 = 37$$
Ejemplo 24 En una encuesta a 100 personas acerca de sus preferencia de bebidas de las marcas A, B Y C. Se obtuvieron los siguientes resultados
- 24 beben C
- 9 solo beben B
- 7 beben solo C y B
- 43 no beben estas marcas
- 8 sólo beben C y A
- 6 beben las tres marcas
- 13 beben A y B
a) ¿ Cuántos beben sólo A ?
b) ¿ Cuántos beben al menos dos de estas marcas ?
c) ¿ Cuántos beben B ?
Solución
Nota Antes de empezar a mostrar los datos en el diagrama es importante considerar, primero mostrar el dato que incluye a la intersección de todos los conjuntos.
Para responder a las preguntas, se requiere construir el diagrama de Venn-Euler
a) ¿ Cuántos beben sólo A ?
Recordemos la formula:
$\eta(A \cup B \cup C) = \eta(A) + \eta(B) + \eta(C) - \eta(A \cap B) - \eta(A \cap C) - \eta(B \cap C) + \eta(A \cap B \cap C)$
- Como sabemos que son 100 personas en total, pero 43 de ellas no beben ninguna de esas marcas, entonces, las que si beben serán $\eta(A \cup B \cup C) = 100 - 43 = 57$
La cardinalidad de B es $\eta (A) = $9 + 7+ 6 + 7 = 29,
La cardinalidad de C es $\eta (C) = $3 + 7 + 6 + 8 = 24
por tanto
$57 = \eta (A) + 29 + 24 - (7 + 6) - (8 + 6) - (6 + 7) + 6$
De donde
$\eta (A) = 38$, Que es el total de elementos de A, pero queremos saber cuántos son los que beben sólo A, esto es: 38 - 8 - 6 - 7 = 17.
$$\boxed {.\text {Los que beben solo A son } 17 }$$
b) ¿ Cuántos beben a lo menos dos de estas marcas ?
Aquí queremos saber cuantos toman 2 bebidas y tres, con el "y" queremos decir que los que toman dos bebidas y los que toman tres. Como la intersección de los Grupos $A \cap B$, $A \cap C$ y $B \cap C$ son los que toman A y B, A y C, y B y C, entonces se suman la cardinalidad de estos conjuntos. y los que toman las tres bebidas es: $A \cap B \cap C$ Por lo que la suma de estas intersecciones son el número de personas que beben A y B, A y C, B y C y A y B y CO sea:
$\eta (A \cap B) + \eta (A \cap C) + \eta (B \cap C) + \eta (A \cap B \eta C) = 7 + 8 + 7 + 6 = 28$
$$\boxed {\text {Las personas que beben al menos 2 bebidas son: 28}}$$
c) ¿ Cuántos beben B ?
Del diagrama de Venn-Euler se observa que son 29 personas.
$$\boxed {\ \text {29 personas beben B} \ }$$
Ejemplo 25
Encuentra la expresión para los siguientes diagramas
a) b)
EJERCICIOS
1. En el diagrama de Venn siguiente, marcar:
a) $B \cap B^c$
b) $( A \cup B )^c$
c) $(B - A )^c$
d) $A^c \cap B^c$
2. En el diagrama de Venn siguiente, marcar:
a) $A \cap ( B \cup C)$
b) $A \cap B ) \cup (A \cap C)$
c) $A \cup (B \cap C)$
d) $( A \cup B ) \cap (A \cup C )$
3. Sean los conjuntos:
$U = \{ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n \}$
$A = \{ a, d ,e, g, h, k, l, n \}$
$B = \{ a, c, f, g, k, l, m \}$
Obtener:
a) $A\ \cup\ B$ b) $A\ \cap\ B$ c) $ \overline A$ d) $\overline B$ e) $A - B$ f) $B - A$
g) $A^c \cup B$ h) $A \cap B^c$ i) $A^c \cap B^c$ j) $A^c - B^c$ k) $(A \cup B)^c$
l) $\overline {(A \cap B)}$
4. Utilizando las propiedades de asociatividad, conmutatividad y distributividad de la unión y la intersección y las Leyes de Morgan, comprueba las siguientes identidades:
ilustra cada caso con un diagrama de Venn.
a) $(A^C \cup B)^C = A \cap B^C$ d) $(A \cap B) \cup (A \cap B^C) = A$
b) $A \cap (B \cup A)^C = \phi$ e) $(A \cup B) \cap (A \cup B^C) = A$
c) $(A - B) - C = (A - C) - (B - C))$
5. Siendo A, B, C subconjuntos de U, simplificar la siguiente expresión
$$(A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C ^c) \cup (A^c \cap B)$$
6. De 100 computadoras, 80 tienen un virus A, 35 tienen un virus B y 12 no tienen ningún virus. ¿Cuántas computadoras están infectadas con los dos virus?
7. Escribe la expresión que corresponde al conjunto marcado en gris en los siguientes diagramas
8. Si el conjunto A tiene 5 elementos, el conjunto B tiene 3 elementos, y además se sabe que (A ∩ B) tiene 2 elementos entonces, ¿cuál es la cardinalidad de (A∪B)?
9. Dado que el conjunto A está definido como: A = { (a, b) | a Ι ∈ N, b Ι ∈ N y a + b = 12}
Entonces, ¿Cuál es a cardinalidad del conjunto A ?
10. Determina la cardinalidad de los conjuntos
a) A
b) B
c) C ⊂ U
si $\eta( U ) = 30$, $\eta (A U B U C)^C = 5$, $\eta( A U B ) = 23$, $\eta( A - C ) = 12$, $\eta(A ∩ C ) = 4$, $\eta( B ∩ C ) = 8$, $\eta( A ∩ B ∩ C) = 3$, $\eta( A ∩ B ) = 11$.
11. Sean A y B dos subconjuntos del universo U que tiene n elementos. Si
$\eta(A∩B) = \frac{3}{5}n$, $\eta(B) = \frac{1}{2} n$, $\eta (A' ∩ B')' = \frac{3}{20} n$, calcula
a) $\eta(A)$
b) $\eta [ (A−B) ∪ (B−A)]$.
12. Una agencia de autos vendió durante un año 180 unidades con las siguientes características:
- 57 tenían transmisión automática
- 77 tenían clima
- 45 tenían transmisión automática y clima
- 10 tenían transmisión automática pero no tenían ni clima ni estéreo
- 28 tenían transmisión automática y clima, pero no tenían estéreo
- 90 no tenían ninguna de las 3 características mencionadas
- 19 tenían clima y estéreo
¿Cuántas de estas unidades tenían estéreo?
13. En una oficina se repartió una encuesta para saber con qué bebida acompañaban su desayuno las 85 personas que ahí laboran. Las respuestas fueron las siguientes:
- 35 toman leche.
- 37 prefieren jugo.
- 52 acostumbran tomar café.
- 15 toman leche y jugo.
- 20 les gusta el jugo y el café.
- 14 generalmente toman café y leche.
- 7 comentaron que acostumbran tomar leche, jugo y café todos los días.
a) ¿Cuántas personas de esta oficina no toman ninguna de las tres bebidas con su desayuno?
b) ¿Cuántas personas solamente toman leche y no toman jugo ni café?
c) ¿Cuántas de estas personas solamente toman leche y jugo, pero no café?
14. Un estudio de mercado dio como resultado la siguiente información:
- 29 estudiantes les gustan la música de banda.
- 23 les gusta el rock.
- 40 les gusta la música romántica.
- 10 les gusta la música romántica y la de banda.
- 13 les gusta la música romántica y el rock.
- 5 les gusta el rock y la de banda.
- 3 les gusta el rock, la música de banda y la romántica.
a) ¿A cuántos estudiantes sólo les gusta el rock y no la música romántica y la de banda?
b) ¿A cuántos estudiantes no les gusta ninguno de los tres géneros?
15. De un total de 60 alumnos de un colegio:
- 15 estudian francés solamente,
- 11 estudian francés e inglés;
- 12 estudian alemán solamente;
- 8 estudian francés y alemán;
- 10 estudian inglés solamente;
- 5 estudian inglés y alemán; y
- 3 los tres idiomas.
Determina:
a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma?
b) ¿Cuántos estudian alemán?
c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?
d) ¿Cuántos estudian francés?
16. Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían casa propia;
233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa;
190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor.
a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
b. ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia?
c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor?
17. Una farmacia rebajó el precio de una loción y el de una crema. La contabilidad al final
de un día indicó que 66 personas habían comprado crema; 21 compraron loción y 21
ambos productos.
a) ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?
b) ¿Cuántas compraron solamente la loción?
c) ¿Cuántas compraron solamente la crema?
18. La empresa Kia ha decidido aumentar su producción de coches, por lo que saca a
concurso 22 plazas de trabajo para titulados en ingeniería. Los aspirantes han de ser
ingenieros mecánicos, ingenieros en electricidad o ingenieros mecatrónicos. Los
ingenieros en mecánica han de ser 11, los ingenieros en electricidad han de ser 12 y
en mecatrónica han de ser 10.
Algunos puestos han de ser ocupados por ingenieros con doble titulación, en concreto, 5 han de ser ingenieros mecánicos y en electricidad, 4 han de serlo en mecánica y mecatrónica, y 4 en electricidad y mecatrónica.
Algunas de las plazas ofrecidas deben ser ocupadas por ingenieros con triple titulación.
a) ¿Cuántos ingenieros han de poseer triple titulación?
b) ¿Cuántos puestos hay para ingenieros que tengan únicamente la especialidad en electricidad?
c) ¿Cuántas plazas se ofrecen para ingenieros especializados en electricidad y mecatrónica pero no en mecánica?
19. Determina el número de alumnos de una clase, si se sabe que cada uno participa en
al menos una de las tres seminarios de ampliación de las asignaturas Matemáticas,
Física o Química. 48 participan en el de Matemáticas, 45 en el de Física, 49 en el de
Química, 28 en el de Matemáticas y Física, 26 en el de Matemáticas y Química, 28 en
el de Física y Química y 18 en los tres seminarios.
a) ¿Cuántos alumnos participan en los seminarios de Física y Matemáticas, pero no en el de Química?
c) ¿Cuántos participan sólo en el de Química?
20. Un club consta de 78 personas, de las cuales 50 juegan al fútbol, 32 al balóncesto y
23 al volleyball. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno.
a) ¿Cuántas personas practican sólo un deporte?
b) ¿cuántas practican sólo dos deportes?
c) ¿Cuántas practican al menos dos deportes?
d) ¿Cuántas practican a lo sumo dos deportes?
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