TRABAJO
El término trabajo tiene una definición operacional, explícita y cuantitativa. Para que se realice un trabajo han de cumplirse tres requisitos:
1. Debe haber una fuerza aplicada.
2. La fuerza debe actuar a través de cierta distancia, llamada desplazamiento.
3. La fuerza debe tener una componente a lo largo del desplazamiento.
Suponiendo que se cumplen esas condiciones, es posible dar una definición formal de trabajo:
Trabajo es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes del desplazamiento y de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento.
Trabajo = componente de la fuerza x desplazamiento
$$\text{Trabajo} = F_x x$$
En esta ecuación, $F_x$ es la componente de F a lo largo del desplazamiento x. En la figura
1, sólo $F_x$ contribuye al trabajo. Su magnitud puede determinarse por trigonometría, y el trabajo puede expresarse en términos del ángulo $\theta$ formado entre F y x:
$$\text {Trabajo} = (F cos\theta) x$$
Fig 1. El trabajo realizado por una fuerza F que ocasiona un desplazamiento x
EJEMPLO 1 ¿Qué trabajo realiza una fuerza de 60 N al arrastrar un carro como el de la figura 1 a través de una distancia de 50 m, cuando la fuerza transmitida por el manubrio forma un ángulo de 30° con la horizontal?
SOLUCIÓN 1
Aplicamos la formula del trabajo
$$\text {Trabajo} = (Fcos \theta) x = (60\ N) (cos 30°)(50\ m)$$$$\boxed{\ \ \ \text{Trabajo} = 2600\ N \cdot m \ \ \ }$$
Observemos que las unidades de trabajo son las unidades de fuerza multiplicadas por las de distancia. Por tanto, en unidades del SI, el trabajo se mide en newtons-metro (N • m). Por convención, esta unidad combinada se llama joule y se representa con el símbolo J.
Definición
Un joule (1 J) es igual al trabajo realizado por una fuerza de un newton al mover un objeto a lo largo de una distancia paralela de un metro.
En Estados Unidos, el trabajo se expresa a veces también en unidades del SUEU. Cuando la fuerza se expresa en libras (Ib) y el desplazamiento en pies (ft), la unidad de trabajo correspondiente se llama libra-pie (ft • Ib).
Definición
Una libra-pie (1 ft • Ib) es igual al trabajo realizado por una fuerza de una libra al mover un objeto a lo largo de una distancia paralela de un pie.
Los factores de conversión siguientes son útiles cuando se comparan unidades de trabajo
en los dos sistemas:
1 J = 0.7376 ft • Ib 1 ft- Ib = 1.356 J
TRABAJO RESULTANTE
Cuando consideramos el trabajo de varias fuerzas que actúan sobre el mismo objeto es útil distinguir entre el trabajo positivo y el negativo. En este texto se sigue la convención de que el trabajo de una fuerza concreta es positivo si la componente de la fuerza se halla en la misma dirección que el desplazamiento. El trabajo negativo lo realiza una componente de fuerza que se opone al desplazamiento real. Así, el trabajo que realiza una grúa al levantar una carga es positivo, pero la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre la carga realiza uno negativo.
De igual forma, si estiramos un resorte, el trabajo sobre éste es positivo y el trabajo sobre el resorte es negativo cuando éste se contrae y nos arrastra. Otro ejemplo importante de trabajo negativo es el que se realiza mediante una fuerza de fricción que se opone a la dirección del desplazamiento.
Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo en movimiento, el trabajo resultante (trabajo total) es la suma algebraica de los trabajos de las fuerzas individuales. Esto también será igual al trabajo de la fuerza resultante. La realización de un trabajo neto requiere la existencia de una fuerza resultante.
Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo en movimiento, el trabajo resultante (trabajo total) es la suma algebraica de los trabajos de las fuerzas individuales. Esto también será igual al trabajo de la fuerza resultante.
EJEMPLO 2 Una fuerza de impulsión de 80 N mueve un bloque de 5 kg hacia arriba por un plano inclinado a 30°, como se muestra en la figura 2. El coeficiente de fricción cinética es de 0.25 y la longitud del plano es de 20 m.
a) Calcule el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque,
b) Demuestre que el trabajo neto realizado por estas fuerzas tiene el mismo valor que el trabajo de la fuerza resultante.
Fig 2. Trabajo que se requiere para empujar un bloque hacia arriba por un plano inclinado a 30°
SOLUCIÓN 2
ENERGÍA
La energía puede considerarse algo que es posible convertir en trabajo. Cuando decimos que un objeto tiene energía, significa que es capaz de ejercer una fuerza sobre otro objeto para realizar un trabajo sobre él. Por el contrario, si realizamos un trabajo sobre un objeto, le hemos proporcionado a éste una cantidad de energía igual al trabajo realizado. Las unidades de energía son las mismas que las del trabajo: joule y libra-pie.
En mecánica nos interesan dos tipos de energía:
Energía cinética K, que es la energía que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento.
Energía potencial U, que es la energía que tiene un sistema en virtud de su posición o condición.
TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA
Hemos definido la energía cinética como la capacidad de realizar trabajo como resultado del movimiento de un cuerpo.
Fig 3. El trabajo realizado por la fuerza resultante F produce un cambio en la energía cinética de la
masa total m.
Para analizar la relación entre movimiento y trabajo, consideremos una fuerza F que actúa sobre el carrito de la figura 3. Supondremos que esta fuerza es la fuerza resultante sobre el carrito y despreciaremos toda fuerza de fricción. Digamos que el carrito y su carga tienen una masa combinada m y que tiene una velocidad inicial y final $v_0$ y $v_f$, respectivamente. De acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento, habrá una aceleración resultado de la razón
$$a = \frac{F}{m}$$
Para proseguir con este ejemplo, recuerden que
$$2 ax = v_f^2 - V_0^2$$
que puede expresarse en términos de a como sigue:
$$a = \frac{v_f^2 - V_0^2}{2x}$$
Si sustituimos esta expresión en la ecuación de la aceleración en función de F queda
$$a = \frac{F}{m} = \frac{\frac{v_f^2 - V_0^2}{2x}}{2x}$$
Después de reordenar los factores y simplificar se obtiene
$$F x = \frac{1}{2}m v_f^2 - \frac{1}{2}m v_0^2$$
Si prestamos atención, este resultado muestra que el miembro izquierdo de la ecuación representa el trabajo resultante hecho por una fuerza constante ejercida a lo largo del desplaza miento x. Los términos del miembro derecho son los valores inicial y final de una cantidad importante $(\frac{1}{2} m v^2)$. Denominaremos a esta cantidad la energía cinética y escribiremos la fórmula
$$K = \frac{1}{2} m v^2\qquad \qquad \qquad \text{Energía cinética}$$
Con esta definición, ahora podemos afirmar que el trabajo resultante efectuado sobre una masa m por una fuerza constante F ejercida a lo largo de una distancia x es igual al cambio de energía cinética $\Delta K$. Ésta es la definición de lo que designaremos teorema del trabajo-energía.
Definición
Teorema del trabajo-energía: El trabajo de una fuerza externa resultante ejercida sobre un cuerpo es igual al cambio de la energía cinética de ese cuerpo
$$F x = \frac{1}{2}m v_f^2 - \frac{1}{2}m v_0^2$$
EJEMPLO 3 Calcula la energía cinética de un mazo de 4 kg en el instante en que su velocidad es de 24 m/s.
SOLUCIÓN 3
$$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2}(4\ Kg)(24\ m/s)^2$$$$\boxed{\ \ \ 1150\ J \ \ \ }$$
EJEMPLO 4 Calcula la energía cinética de un automóvil de 3, 200 Ib que viaja a 60 mi/h ( 88 ft/s)
SOLUCIÓN 4
$$K \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \bigg( \frac{W}{m} \Bigg) v^2$$$$= \frac{1}{2} \bigg( \frac{3, 200\ lb}{32\ ft/s^2}\bigg) (88\ ft/s)^2 $$$$\boxed{\ \ \ K = 3.87\ \text{x}\ 10^5\ lb\cdot lb \ \ \ }$$
EJERCICIO 1 ¿Qué fuerza media F es necesaria para detener una bala de 16 g que viaja a 260 m/s y que penetra en un trozo de madera a una distancia de 12 cm?
ENERGÍA POTENCIAL
La energía que posee el sistema en virtud de sus posiciones o condiciones se llama energía potencial.
La fuerza externa F necesaria para elevar un cuerpo debe ser por lo menos igual al peso
W. Entonces, el trabajo realizado por el sistema está dado por
$$\text{Trabajo} = Wh = mgh$$
W. Entonces, el trabajo realizado por el sistema está dado por
$$\text{Trabajo} = Wh = mgh$$
Esta cantidad de trabajo también puede ser efectuada por el cuerpo después de caer una distancia $h$.
Por tanto, el cuerpo tiene una energía potencial igual en magnitud al trabajo externo necesario para elevarlo.
Por tanto, el cuerpo tiene una energía potencial igual en magnitud al trabajo externo necesario para elevarlo.
Con base en lo anterior, la energía potencial $U$ se determina a partir de
$$U = Wh = mgh \qquad \qquad \text{Energía potencial} $$
donde $W$ y $m$ son, respectivamente, el peso y la masa de un objeto situado a una distancia $h$ arriba de un punto de referencia.
EJEMPLO 5 Una caja de herramientas de 1.2 kg se halla 2 m por encima de una mesa que está a la vez a 80 cm del piso. Determine la energía potencial respecto a la parte superior de la mesa y respecto al piso.
SOLUCIÓN 5
EJEMPLO 6 Una unidad comercial de aire acondicionado de 300 kg es elevada por medio de la cadena de un montacargas hasta que su energía potencial es de 26 kJ con relación al piso. ¿Cuál será la altura arriba de éste?
SOLUCIÓN 6
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Con mucha frecuencia, a rapideces relativamente bajas tiene lugar un intercambio entre las
energías potencial y cinética. Supongamos que se levanta una masa m hasta una altura h y
luego se la deja caer (figura 4). Una fuerza externa ha incrementado la energía del sistema, dándole una energía potencial $U = mgh$ en el punto más alto.
Fig 4. Si no hay fricción, la energía total (U + K) es constante.
Si denotamos la energía total de un sistema con $E$, entonces podemos escribir
Energía total = energía cinética + energía potencial = constante
E = K + U = constante
Siempre que se aplique este principio resulta conveniente pensar en el principio y el fin
del proceso de que se trate. En cualquiera de esos puntos, si hay velocidad v, existe una energía cinética K; si hay altura h, hay energía potencial U. Si asignamos los subíndices 0 y /a los puntos inicial y final, respectivamente, podemos escribir
Energía total en el punto inicial = energía total en el punto final
$$U_0 + K_0 = U_f + K_f $$
O con base a las fórmulas correspondientes
$$mgh_0 + \frac{1}{2} m v_0^2 = mgh_f + \frac{1}{2} m v_f^2 $$
Desde luego, esta ecuación se aplica estrictamente sólo en los casos donde no hay fuerzas de fricción y no se añade energía al sistema.
EJEMPLO 7 En la figura 5 , una bola de demolición de 40 kg se impulsa lateralmente hasta que queda 1.6 m por arriba de su posición más baja. Despreciando la fricción, ¿cuál será su velocidad cuando regrese a su punto más bajo?
Fig 5. La velocidad de una masa suspendida al pasar por el punto más bajo de su
trayectoria puede determinarse a partir de las consideraciones generales sobre la energía.
ENERGÍA Y FUERZAS DE FRICCIÓN
Consideremos un trineo en la cima de una colina y supongamos una energía total de 1000 J. Si 400 J de energía se pierden a causa de las fuerzas de fricción, el trineo llegaría al fondo con una energía de 600 J para usarlos en velocidad. No es posible recobrar los 400 J perdidos en trabajo contra las fuerzas de fricción, así que la energía total $E_f$ es menor que la energía total inicial $E_0$. Además, aún hay que considerar el calor y otras pérdidas disipadoras en el proceso. Podríamos escribir la afirmación siguiente:
Energía total inicial = energía total final + pérdida debida a la fricción
$$U_0 + K_0 = U_f + K_f + | \text{trabajo contra la fricción} |$$Al considerar la fricción ahora podemos escribir un postulado más general de la conservación de la energía:
Conservación de la energía: La energía total de un sistema es siempre constante, aun cuando se trasforme la energía de una forma a otra dentro del sistema.
$$mgh_0 + \frac{1}{2} m v_0^2 = mgh_f + \frac{1}{2} m v_f^2 +| f_k x |$$
EJEMPLO 7 Un trineo de 20 kg descansa en la cima de una pendiente de 80 m de longitud y 30° de inclinación, como se observa en la figura 6. Si $\mu_k$ = 0.2, ¿cuál es la velocidad al pie del plano inclinado?
Fig 6.
POTENCIA
En nuestra definición de trabajo, el tiempo no participó en forma alguna. La misma cantidad
de trabajo se realiza si la tarea dura una hora o un año. Si se le da tiempo suficiente, aun el
motor menos potente llega a levantar una carga enorme. Sin embargo, si deseamos realizar una tarea con eficiencia, la razón de cambio con la que se efectúa el trabajo se vuelve una cantidad importante en ingeniería.
Potencia es la razón de cambio con la que se realiza el trabajo.
$$P = \frac{Trabajo}{tiempo}$$La unidad del SI para la potencia es el joule por segundo, y se denomina watt (W). Por tanto, un foco de 80 W consume energía a razón de 80 J/s.
El watt y la libra-pie por segundo tienen el inconveniente de ser unidades demasiado pequeñas para la mayor parte de los propósitos industriales. Por ello, se usan el kilowatt (kW) y el caballo de fuerza (hp), que se definen como:
$$1 kW = 1,000W$$
$$ hp = 550 ft \cdot lb/s$$Otras equivalencias son
$$1\ hp = 746\ W = 0.746\ kW$$
$$1\ kW = 1.34\ hp$$
Puesto que el trabajo se realiza de manera continua, es útil disponer de una expresión
para la potencia que incluya la velocidad. Así,
$$P = \frac{\text{Trabajo}}{t} = \frac{F x}{t}$$De donde
$$P = F \frac{x}{t} = Fv$$
EJEMPLO 8 La carga de un ascensor tiene una masa total de 2800 kg y se eleva a una altura de 200 m en un lapso de 45 s. Exprese la potencia media tanto en unidades del SI como del SUEU
SOLUCIÓN 8
EJERCICIOS
How much work does the gravitational force do on the block as the block travels from point P to
(a) point Q and
(b) the top of the loop? If the gravitational potential energy of the block–Earth system is taken to be zero at the bottom of the loop,what is that potential energy when the block is
(c) at point P,
(d) at point Q, and
(e) at the top of the loop?
(f) If, instead of merely being released, the block is given some initial speed downward along the track,do the answers to (a) through (e) increase,decrease,or remain the same?
Fig 7
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