1 Algebra vectorial

Álgebra vectorial en R$^2$ 

ESCALARES En ingeniería, en matemáticas y ciencias se usan dos magnitudes importantes: escalares y vectores.  Un escalar es un número real que se representa frecuentemente con letra minúscula: $a,\ s, \ x,$ etc.  Los escalares se usan para representar magnitudes y frecuentemente tienen asociadas unidades específicas, como por ejemplo:  24 km,  57 N,  120 mm.

VECTORES  Un vector se representa como una flecha que conecta dos puntos en el espacio.  La cola  de la flecha se le conoce como punto inicial  y a la punta de la flecha como punto final.

Fig 1.  Un vector del punto inicial A al punto final B.

Como podemos ver, un vector se puede representar utilizando una letra negrita, pero como eso es algo difícil de hacer en una libreta, lo que se hace es utilizar las letras que se usan para representar los puntos que unirán la flecha que representa el vector:  $\overrightarrow {AB}$.   Algunos ejemplo de cantidades vectoriales se muestran en la figura 2.

Fig. 2   Cantidades vectoriales

La distancia entre los puntos inicial y final de un vector $\overrightarrow {AB}$ se le conoce como longitud, magnitud o norma del vector y se denota como $|\overrightarrow {AB}|$.  Dos vectores que tienen la misma magnitud y la misma dirección se dice que son iguales. Esto lo podemos ver en la figura 3a.

a)  vectores iguales                           b)  vectores paralelos

Fig 3

El negativo de un vector $\overrightarrow {AB}$ se escribe como: $\textbf - \overrightarrow {AB}$, es un vector que tiene la misma magnitud que $\overrightarrow {AB}$ pero dirección opuesta.

Si $k \not = 0$ es un escalar, el múltiplo escalar de un vector  $k\overrightarrow {AB}$, es un vector que es $|k|$ veces la longitud de  $\overrightarrow {AB}$.

Si $k > 0$, entonces $k\overrightarrow {AB}$ tiene la misma dirección que el vector $\overrightarrow {AB}$.

Si $k < 0$ entonces $k \overrightarrow {AB}$ tiene la dirección opuesta a la de $\overrightarrow {AB}$.

Cuando $k = 0$, afirmamos que $0 \overrightarrow {AB} = \mathbf O$  es el vector cero.

Dos vectores son paralelos si y solo si son múltiplos escalares uno del otro.

SUMA Y RESTA   Es posible considerar a dos vectores con el mismo punto inicial común, tal como A en la figura 4.

Fig 4  Suma de dos vectores

Así, si vectores no paralelos  $\overrightarrow {AB}$  y  $\overrightarrow {AC}$  son los lados de un paralelogramo en la fig. 4b)   Se dice que el vector que está en la diagonal principal, o $\overrightarrow {AD}$, es la suma de  $\overrightarrow {AB}$  y  $\overrightarrow {AC}$,  y se escribe como:

$$\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB}  +  \overrightarrow {AC}$$

En ciencia y en ingeniería, si dos vectores representan fuerzas,  entonces su suma se denomina la fuerza resultante.

La diferencia de dos vectores  $\overrightarrow {AB}$  y  $\overrightarrow {AC}$  se define como:

$$ \overrightarrow {AB}  -  \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + (-  \overrightarrow {AC})$$

Como se observa en la figura 5a),  la diferencia  $\overrightarrow {AB}  -  \overrightarrow {AC}$  se puede interpretar como la diagonal principal del paralelogramo con lados $\overrightarrow {AB}$  y   $-  \overrightarrow {AC}$

Fig 5  Resta de vectores

Sin embargo, como se muestra en la fig 5b),  la misma diferencia vectorial también puede interpretarse como el tercer lado de un triángulo con lados   $\overrightarrow {AB}$  y  $\overrightarrow {AC}$.   En esta segunda interpretación, observa que la diferencia de vectores  $\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} -  \overrightarrow {AC}$  apunta hacia el punto final del vector desde el cual se está restando el segundo vector.  

Si  $\overrightarrow {AB}  =  \overrightarrow {AC}$, entonces   $\overrightarrow {AB}  -  \overrightarrow {AC} = \mathbf O$

VECTORES EN UN PLANO COORDENADO  Para describir un vector analíticamente consideraremos que estos yacen en un plano de coordenadas bidimensional o espacio bidimensional.  El vector se muestra en la figura 6, cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto final es  $P(x_1,  y_1)$,  este recibe el nombre de vector de posición del punto P  y se escribe como

$$\overrightarrow {OP}  = \langle x_1, \ y_1 \rangle $$

COMPONENTES   En general, cualquier vector en el espacio bidimensional puede identificarse con un vector de posición único  $\textbf a  =  \langle a_1, \ a_2 \rangle$.    los números  $a_1$  y   $a_2$ son las componentes del vector de posición $\textbf a$.

Fig. 6   Vector  posición

EJEMPLO 1   Vector posición

El desplazamiento desde un punto inicial  $P_1 (x, y)$  hasta el punto final  $P_2(x + 4, y + 3)$ en la figura 7a)  está cuatro unidades a la derecha y tres unidades hacia arriba.   COmo se ve en la figura 7b),  el vector posición de $\textbf a  = \langle 4,  3 \rangle$   es equivalente al vector de desplazamiento  $\overrightarrow {P_1P_2}$ desde  $P_1 (x, y)$  hasta  $P_2(x + 4, y + 3)$

Fig.  7   Equivalencia de vectores de desplazamiento y posición

Las definiciones geométricas, pocas veces son de utilidad pero nos sirven para entender mejor un fenómeno o proceso.  Ahora nos enfocaremos a dar las definiciones algebraicas equivalentes utilizando la forma de componentes de vectores.

RESTAS    Utilizando (2)  definimos el negativo  del vector  $\textbf b$  mediante

$$- \textbf b  =  (-1)\textbf b  =  \langle - b_1,\ b_2 \rangle$$

Entonces es posible definir la resta, o la  diferencia de dos vectores como

$$\textbf a  -  \textbf b  =  \textbf a + (- \textbf b)  =  \langle a_1 - b_1,\ a_2 - b_2 \rangle $$

En la figura 8a)  vemos ilustrada la suma de 2 vectores  $\overrightarrow {OP_1}$   y   $\overrightarrow {OP_2}$.  En la figura 8b)   el vector  $\overrightarrow {P_1P_2}$, con punto $P_1$  y el punto final  $P_2$, es la diferencia de los vectores de posición

$$\color {red} {\overrightarrow {P_1P_2}  =  \overrightarrow {OP_2} -  \overrightarrow {OP_1} =  \langle x_2 - x_1,\ y_2 - y_1 \rangle } $$

Fig 8      Resta de vectores

EJEMPLO 2   Suma y diferencia de vectores

Si  $\textbf a  =  \langle 1,\ 4 \rangle$  y  $\textbf b  =  \langle - 6,\ 3 \rangle$,   encontrar:

$a$)  $\textbf a  +  \textbf b$,          $b$)   $\textbf  a \ -\ \textbf b$     y     $c$)   $2\textbf a  +  \ 3\textbf b$

SOLUCIÓN  2

$a$)   $\textbf a + \textbf b  = \langle 1 + (-6),  4 +  3 \rangle  =  \langle -5,  7 \rangle$
$b$)   $\textbf a  - \textbf b  = \langle 1 - (-6),  4  -  3\rangle  =  \langle7,  1\rangle$

$c$)   $2 \textbf a  +  3 \textbf b  =  2\langle 1, 4 \rangle  +  3 \langle -6,  3 \rangle  =  \langle 2,  8 \rangle   +  \langle -18,  9 \rangle  =  \langle  -16,  17 \rangle$

PROPIEDADES    La forma de componentes de un vector puede usarse para verificar cada una de las siguientes propiedades.

MAGNITUD   Con base en el teorema de Pitágoras y la  figura 9, definimmos la magnitud,  longitud   o   norma   de un vector   $\textbf a  =  \langle a_1,  a_2 \rangle$   como
$$|\textbf a |  =  \sqrt{a_1^2  +  a_2^2}$$

Fig 9   Magnitud de un vector

Claramente,   $| \textbf a |  \geqslant  0$  para cualquier vector $\textbf a$,  y  $| \textbf a | = 0$   si y sólo sí  $\textbf a = \textbf 0$.    Por ejemplo, si  $\textbf a =  \langle 6,\ -2 \rangle$,  entonces

$$| \textbf a | = \sqrt{6^2  +  (- 2)^2 }  =  \sqrt {40}  =  2\sqrt{10} $$

VECTORES UNITARIOS  Un vector que tiene magnitud 1 recibe el nombre de vector unitario.   Obtenemos un vector unitario $\hat  {\textbf {u}}$ en la misma dirección que un vector distinto de cero $\textbf a$ al multiplicar $\textbf a$  por el escalar positivo  $k  =  \frac{1}{| \textbf a |}$   (recíproco de su magnitud ).  En este caso afirmamos que  $\hat {\textbf {u} }  =  \frac{1}{| \textbf a |}  \textbf a$   es la normalización del vector  $\textbf a$.      La normalización de vector  $\textbf a$ es el vector unitario debido a que:
$$| \hat {\textbf {u} }  |=  \Bigg | \frac{1}{| \textbf a |} \textbf a \Bigg |  = \frac{1}{| \textbf a |} \textbf a  =  1$$

EJEMPLO  3    Dado   $\textbf v  = \langle 2, \ -1\rangle$   forma un vector unitario
$a$)  En la misma dirección de  $\textbf v$         $b$)    En la dirección opuesta de $\textbf v$

SOLUCIÓN  3


LOS VECTORES $\hat {\textbf {i}},\ \ \hat {\textbf{j}}$     Cualquier vector $\textbf a  =\langle a_1,\  a_2 \rangle$  puede escribirse como una suma:
$$\langle a_1, \ a_2 \rangle  =  \langle a_1, \ 0 \rangle  +  \langle 0 , a_2 \rangle  =   a_1 \langle 1, \ 0 \rangle  +  a_2\langle 0 , \ 1 \rangle  $$

Los vectores unitarios $\langle 0, \ 1 \rangle$   y  $\langle 1, \ 0 \rangle$  suelen darse mediante  los símbolos  $\hat {\textbf {i}}$  y  $\hat {\textbf {j}}$,  respectivamente.  Ver la figura 10

Fig  10,  los vectores $\hat {\textbf {i}}$  y   $\hat {\textbf {j}}$ como componentes

Así si
$$\hat {\textbf {i}}  =  \langle 1,\ 0 \rangle \qquad y \qquad \hat {\textbf {j}} =  \langle  1,\ 0\rangle$$
entonces 
$$\langle a_1, \ a_2 \rangle =  a_1 \hat {\textbf {i}}  + a_2  \hat {\textbf {j}}$$

Puesto que cualquier vector a puede escribirse únicamente como una combinación lineal de  $\hat {\textbf i}$ y $\hat {\textbf {j}}$, estos vectores unitarios se conocen como la base estándar del sistema de vectores bidimensionales. 

Si $\textbf a  =  a_1 \hat {\textbf i}  +  a_2 \hat {\textbf j}$  es un vector de posición, entonces la figura 11b) muestra que $\textbf a$ es la suma de los vectores $ a_1 \hat {\textbf i}$   y  $a_2 \hat {\textbf j}$   los cuales tienen el origen como un punto inicial común y yacen, respectivamente, sobre los ejes $x$  y  $y$. 

El escalar $a_1$ se denomina la componente horizontal de $ \textbf a$  y  el escalar $a_2$ se llama la componente vertical de $ \textbf a$.

EJERCICIOS

ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y VECTORES

En tres dimensiones, o espacio tridimensional  $\mathbb R ^3$, se construye un sistema de coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente perpendiculares. El punto en el cual estos ejes se intersecan se denomina origen O. Estos ejes, que se muestran en la FIGURA 11a) , se marcan de acuerdo con la llamada regla de la mano derecha: Si los dedos de la mano derecha, apuntando en la dirección del eje x positivo, se curvan hacia el eje y positivo, el pulgar apuntará entonces en la dirección del nuevo eje perpendicular al plano de los ejes x y y. Este nuevo eje se denomina eje z. Las líneas punteadas en la figura 11a) representan los ejes negativos. Ahora bien, si

$$x = a,\qquad y = b, \qquad z = c$$

son planos perpendiculares a los ejes x, y y z, respectivamente, el punto P en el cual estos planos se intersecan puede representarse mediante una triada ordenada de números que se dice son las coordenadas rectangulares o cartesianas del punto. Los números a, b y c se denominan, a su vez, las coordenadas x, y y z de Ve figura 11b).

Fig. 11  La regla de la mano derecha

Distancia entre dos puntos en $\mathbb R ^3$
Para encontrar la distancia entre dos puntos $P_1 (x_1, y_1, z_1)$ y $P_2(x_2, y_2, z_2$ en $\mathbb R ^3$

$$| \overrightarrow {P_1P_2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2  +  (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Vectores entre dos puntos
Al igual que en $\mathbb R ^2$, la distancia entre dos puntos se extrapola de una manera directa para $\mathbb R ^2$, el sistema tridimensional.
Si tenemos dos puntos $P_1 = (x_1, y_1, z_1)$  y  $P_2 = (x_2, y_2, z_2)$,  el vector entre esos dos puntos será
$$\overrightarrow {P_1P_2} = \langle x_2 - x_1,\  y_2 - y_1,\  z_2 - z_1 \rangle$$

EJEMPLO 4   Determina el vector  $\overrightarrow {P_1P_2}$   si los puntos  $P_1 = (4,\ 6,\ -2)$   y   $P_2 = (1,\ 8,\ 3)$

SOLUCIÓN  4
$$\overrightarrow {P_1P_2}  = \langle 1 - 4.\ \ 8 - 6,\ \ 3 - (-2)  \rangle  = \color {red} { \langle -3,\ \ 2,\ \ 5 \rangle }$$

Explicarlo usando vectores de posición

EJEMPLO 5   Encuentra un vector unitario en la dirección de  $\textbf a  =  \langle - 2,\ \ 3,\ \ 6 \rangle$

SOLUCIÓN  5
Recordemos que la definición de vector unitario es:
$$\hat {\textbf a}  =  \textbf a / | \textbf a |$$
Así que:
$$|\textbf a | =  \sqrt{(-2)^2  +  3^2  + 6^2}|  =  \sqrt{49}  =  7$$
$$\hat {\textbf a}  =  \frac{\langle -2,\ \ 3,\ \ 6 \rangle}{7}  =  \Big {\langle} - \frac{2}{7},\ \ \frac{3}{7},\ \ \frac{6}{7} \Big{\rangle}$$$$\color {red} { \hat {\textbf a}  =  \Big {\langle} - \frac{2}{7},\ \ \frac{3}{7},\ \ \frac{6}{7} \Big{\rangle} }$$

PRODUCTO PUNTO

En los vectores podemos encontrar dos tipos de productos entre ellos:  el producto punto  y el producto cruz.

El producto punto, definido a continuación, se conoce también como producto interior o producto escalar. El producto punto de dos vectores a y b se denota mediante  $\textbf a \cdot \textbf b$  y es un número real, o escalar, definido en términos de las componentes de los vectores.

EJEMPLO 6   Si $\textbf a  =  10 \hat {\textbf i}  +  2 \hat {\textbf j}  - 6 \hat {\textbf k}$    y   $\textbf b  =  - \frac{1}{2} \hat {\textbf i}  +  4 \hat {\textbf j}  - 3 \hat {\textbf k}$,   encontrar  $\textbf a \cdot \textbf b$

SOLUCIÓN  6
$$\textbf a \cdot \textbf b = (10)(- \frac{1}{2})  +  (2)(4)  +  (- 6)(-3)  =  - 5 + 8  + 18$$$$\color {red} {\textbf a \cdot \textbf b = 21 }$$

FORMA ALTERNA DEL PRODUCTO PUNTO
Esta forma alterna puede expresarse en términos de dos vectores en términos de las longitudes de los vectores y de ángulo entre ellos.

EJEMPLO  7    Determina el ángulo entre  $\textbf a  =  2 \hat {\textbf i} + 3 \hat {\textbf j}  + \hat {\textbf k}$    y     $\textbf b  =  \textbf - \hat {\textbf i} + 5 \hat {\textbf j}  + \hat {\textbf k}$


SOLUCIÓN  7
Sabemos de la primera definición del producto punto que
$$\textbf a \cdot \textbf b  =  a_1b_1  +  a_2b_2  +  a_3b_3$$
Pero también sabemos que 
$$\textbf a \cdot \textbf b  =  |\textbf a |\ |\textbf b|\ cos\theta$$
Entonces
$$ a_1b_1  +  a_2b_2  +  a_3b_3  =  |\textbf a |\ |\textbf b|\ cos\theta$$
Y de aquí despejamos $cos \theta$
$$cos \theta = \frac {a_1b_1  +  a_2b_2  +  a_3b_3}{|\textbf a|\ |\textbf b| }$$

Las magnitudes de los vectores son:
$|\textbf a| = \sqrt {2^2 + 3^2  + 1^2} = \sqrt {14}, \qquad |\textbf b| = \sqrt{(-1)^2  + 5^2  +  1^2}  = \sqrt{27}$
y
$\textbf a \cdot \textbf b  =  (2)(-1)  +  (3)(5)  +  (1)(1)  =  14$, por tanto
$$cos\theta =  \frac{14}{\sqrt{14} \sqrt{27}}  =  \frac{1}{9} \sqrt{42}$$
Y por tanto
$$\theta  =  cos^{-1} \Bigg ( \frac {\sqrt{42}}{9}\Bigg ) $$$$\color {red} {\theta \thickapprox 44.9°}$$

COMPONENTE DE a SOBRE b

La componente del vector $\textbf a$  sobre el vector $\textbf b$, es un segmento de recta no dirigido sobre el vector  $\textbf b$  o su extensión, esto se puede ver en la figura 12

 Fig 12.  Componente de un vector $\textbf a$  sobre un vector $\textbf b$

Observemos que hay dos casos en la figura 12, y ambos conducen a 

$$comp_{\textbf b} \textbf a  = |\textbf a| cos\theta$$Que es igual a$$comp_{\textbf b} \textbf a  = \frac {|\textbf a| |\textbf b| cos\theta }{| \textbf b |}$$$$comp_{\textbf b} \textbf a  = \frac {\textbf a\cdot \textbf b }{| \textbf b |}$$$$comp_{\textbf b} \textbf a  = \textbf a \cdot \frac { \textbf b }{| \textbf b |}$$En otras palabras .......

Ejercicio: Sean  $\textbf a  =  2 \hat {\textbf i} + 3 \hat {\textbf j}  \ \ \textbf - \ \ \hat {\textbf k}$    y     $\textbf b  =  \hat {\textbf i} +  \hat {\textbf j}  + 2 \hat {\textbf k}$, encontar

a)   $comp_{\textbf b} \textbf a$            y        b)   $comp_{\textbf a} \textbf b$

PROYECCIÓN DE a SOBRE  b
Como se puede observar en la figura 13 a), la proyección de un vector a en cualquiera de las direcciones determinadas por i, j y  k es simplemente el vector  formado al multiplicar la componente de a  en la dirección especificada con un vector unitario en esa dirección.  Por ejemplo:

$$proy_{\hat {\textbf i}}\textbf a = (comp_{\hat {\textbf i}} \textbf a ) \hat {\textbf i} = (\textbf a \cdot \hat {\textbf i} ) \hat {\textbf i}  =  a_x \hat {\textbf i}$$

Fig. 13  Proyección de un vector a sobre un vector b

Trabajo realizado por una fuerza

Sabemos que cuando una fuerza constante F mueve un objeto a una distancia d en la misma dirección de la fuerza, el trabajo realizado es
$$F = Fd$$

Sin embargo, si una fuerza constante F aplicada a un cuerpo actúa en un angulo $\theta$ respecto a la dirección de movimiento, entonces el trabajo realizado  por  F se define como el producto de la componente de F en la dirección del desplazamiento y la distancia  |d|  que se mueve el cuerpo
$$W = (|\textbf F | cos \theta) |\textbf d | = |\textbf F | | \textbf d | cos\theta$$$$W  = \textbf F \cdot \textbf d $$

EJEMPLO 8   Encuentra el trabajo realizado por una fuerza constante  $\textbf F =  2 \hat {\textbf i}  + 4 \hat {\textbf j}$   sobre un bloque que se mueve de $P_1(1, 1)$  a  $P_2(4, 6) $.   Supón que $|\textbf F |$ se mide en libras y  |d| en pies

SOLUCIÓN 8

Primero encontramos el vector desplazamiento
$$\textbf d = \overrightarrow {P_1P_2} = \overrightarrow {OP_2} - \overrightarrow {OP_1}  = (4 - 1)\hat {\textbf i} +  (6 - 1)\hat {\textbf j}  =  3\hat {\textbf i} +  5\hat {\textbf j}$$

Así, el trabajo realizado es

$$W = \textbf F \cdot \textbf d  =  (2 \hat {\textbf i}  + 4 \hat {\textbf j} \cdot ( 3 \hat {\textbf i}  + 5 \hat {\textbf j} =  (2)(3)  +  (4)(5)  =  26 \ \ pies-lb$$$$\color {red}  {W  =  26  \ \ pies-libra}$$

PRODUCTO CRUZ

El producto punto, que se presentó en la sección anterior, opera tanto en el espacio bidimensional como en el tridimensional y genera un número. Por otro lado, el producto cruz, sólo está definido para vectores en el espacio tridimensional y genera otro vector en el espacio tridimensional.

A continuación se muestra la definición del producto cruz

Si se observa, la definición anterior se puede expresar de la siguiente manera

EJEMPLO 9    sean   $\textbf a = 4 \hat {\textbf i}  -  2 \hat {\textbf j}  +  5 \hat {\textbf k}$  y    $\textbf a = 3 \hat {\textbf i}  +   \hat {\textbf j}  -   \hat {\textbf k}$.   encuentra  $\textbf a \ \text X \ \textbf b$

SOLUCIÓN 9

A continuación se muestran algunas propiedades del producto cruz

DEFINICIÓN ALTERNA DEL PRODUCTO CRUZ

PRODUCTOS ESPECIALES     El triple producto escalar de los vectores a, b  y  c es   $\textbf a cdot (\textbf b\ \text x  \textbf c) $.
Utilizando las formas de las componentes de las definiciones de los productos punto y cruz,  así que  tenemos

Pero también se puede escribir de la siguiente manera

TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL

El triple producto vectorial de tres vectores  a,  b  y  c   es
$$\textbf a\ \text x \ (\textbf b\ \text x \ \textbf c)$$
Y éste se relaciona con el producto punto por medio de
$$\textbf a\ \text x \ (\textbf b\ \text x \ \textbf c)  =  (\textbf a \cdot \textbf c)\textbf b  -  (\textbf a \cdot \textbf b ) \textbf c$$



ÁREA DE UN PARALELOGRAMO

Dos vectores distintos de cero y no paralelos a  y  b  pueden considerarse como los lados de un paralelogramo.  El área de un paralelogramo es

$$A  =  (base)( altura)$$

De la figura 14 observamos que

$$A  =  | \textbf a \text x \textbf b |$$

Fig 14.  Paralelogramo

EJEMPLO 10     Determina si   $\textbf a = 2 \hat {\textbf i}  +   \hat {\textbf j}  -  \hat {\textbf k}$  y    $\textbf b = - 6 \hat {\textbf i}  -  3 \hat {\textbf j}  +  3 \hat {\textbf k}$  son vectores paralelos

SOLUCIÓN 10

EJEMPLO  11     Encuentra el área del triángulo determinado por los puntos $P_1(1, 1, 1),\ \  P_2(2, 3, 4)\ \ \text y P_3(3, 0, -1)$

SOLUCIÓN  11

VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO

Si los vectores a, b y c no yacen en el mismo plano, entonces el volumen del paralelepípedo con bordes a, b y c que se muestra en la Figura 15 es

V = (Área de la base)(altura)

$$\ \ \ = | \textbf b\ \text x\ \textbf c | | comp_{\textbf b\ \text x\ \textbf c} \textbf a | $$$$\ \ \ = | \textbf b\ \text x\ \textbf c | \Big| \textbf a \cdot \Big(\frac{1}{ |\textbf b\ \text x\ \textbf c |} \textbf b\ \text x\ \textbf c\Big) \Big| $$$$\color {red} {V =  | \textbf a \cdot (\textbf b\ \text x\ \textbf c) |}$$

Fig. 14  Paralelepípedo formado por tres vectores

ECUACIÓN DE UNA RECTA

Una recta en el espacio se determina especificando un punto $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ y un vector  v  distinto de cero. A través del punto  $P_{0}$ pasa sólo una recta L paralela al vector dado.

Supón que P(x, y, z) es cualquier punto sobre la recta. Si $\textbf r = \overrightarrow {OP}$  y  $\textbf r _0 = \overrightarrow {OP_0}$ son los vectores de posición de $P$  y  $P_{0}$,  entonces debido a que $\textbf r  -  \textbf r _0$  es paralelo al vector v existe una escalar t tal que  $\textbf r  -  \textbf r _0 = t \textbf v$  Esto proporciona una ecuación vectorial de la recta L

$$\boxed{\ \textbf r = \textbf r _{0} + t \textbf v \qquad \qquad \qquad (1) \ }$$

Fig 15,  Línea que pasa por $P_{0}$  paralela a v

Al emplear vectores de posición (aquellos que inician en el origen del sistema coordenado), $\textbf r = \langle x, y, z\rangle$,   $\textbf r _{0}= \langle x_{0}, y_{0}, z_{0} \rangle$  y  $\textbf v = \langle a, b, c\rangle$,  entonces la ecuación (1)  se puede expresar como

$$\langle x, y, z \rangle = \langle x_{0} + at,\  y_{0} + bt,\  z_{0} + ct\rangle$$Al escalar t se le conoce como parámetro y el vector v distinto de cero recibe el nombre de vector direccional.  

Cualesquiera dos puntos distintos $P_{0}(x_{0},  y_{0}, z_{0})$  y  $P_{1}(x_{1},  y_{1}, z_{1})$ en el espacio tridimensional determinan únicamente la recta L entre ellos.  

Si $\textbf r = \vec {OP} $,  $\textbf r _{0} = \vec {OP_{0}} $  y  $\textbf r_{1} = \vec {OP_{1}} $ son vectores de posición, vemos en la  figura 14 que el vector   $\textbf v = \textbf r _{1}  -  \textbf  r _{0}$  es paralelo al vector  $\textbf r  -  \textbf  r _{1}$  Por tanto

$$\textbf r  =  \textbf r _1 +  t (\textbf r_{1}  -  \textbf r _{0})\  $$

Fig 16.  Línea que pasa por $P_0$  y   $P_1$

EJEMPLO 8    Encuentra una ecuación vectorial para la recta que para por (4, 6, -3)  y es paralela a $\textbf v = 5\hat {\textbf {i}} - 10\hat {\textbf {j}} + 2\hat {\textbf {k}} $

SOLUCIÓN 8    La coordenada conocida la podemos convertir de coordenada a un vector de posición  $(4, 6, -3) \longrightarrow \langle 4, 6, -3 \rangle$, así que usando la ecuación (1) tenemos

$$\textbf r = \langle 4,\ 6,\ -3 \rangle  +  t \langle 5,\ -10,\ 2 \rangle$$

$$\boxed{\ \textbf r =  \langle 4 + 5t,\ 6 - 10t,\ -3  + 2t \rangle   \ }$$

EJEMPLO 9    Encuentra una ecuación vectorial para la recta que pasa por  (2, -1, 8)  y  (5, 6, -3)

SOLUCIÓN 9    Dado que no se nos da le vector direccional v que nos dará la inclinación de la recta, esta se puede sacar de los puntos que etiquetaremos como $P_{0}(2, -1, 8)$  y  $P_{1}(5, 6 -3)$, entonces con ellos obtendremos un vector direccional

$$\textbf v = \overrightarrow {P_{0}P_{1}}  = \overrightarrow {0P_1} - \overrightarrow {0P_0} = \langle 5 - 2, 6 - (-1), -3 - 8 \rangle  =  \langle 3, 7, - 11 \rangle$$  

La ecuación de la recta es

$$\textbf r  =  \textbf r _{0} +  t \textbf v$$$$\langle x, y, z \rangle  =  \langle 2,\ -1,\ 8 \rangle +  t \langle 3,\ 7,\ 11 \rangle$$

PLANOS

En la figura 17a), se ve el hecho de que hay un número infinito de planos $S_1,\ S_2, S_3, \dots$  que pasan por un punto dado  $P_0(x_0,\ y_0,\ z_0)$.  Sin embargo, como se muestra en la figura 17b), si se especifican un punto $P_0$  y un vector distinto de cero n,  solo hay un plano $S$  que contiene a  $P_0$  con la normal  n, o perpendicular al plano.
Si  $P(x,\ y,\ z)$  representa cualquier punto sobre el plano  y   $\textbf r  =  \overrightarrow {OP}$,   $\textbf r _0  =  \overrightarrow {OP_0}$,  entonces, como se  ilustra en la figura  17c),   $\textbf r  -  \textbf r _0$  yace en el plano  $S$.   Se concluye que una ecuación vectorial  del plano es
$$\textbf n \cdot (\textbf r - \textbf r_0)  =  0$$

Fig. 17  Un punto  $P_0$   y un vector n  determinan un plano  

Si consideramos  que el vector normal es  $\textbf n  =  a\hat {\textbf i}  +  b\hat {\textbf j}  +  c\hat {\textbf k}$,  entonces   $$\textbf n \cdot (\textbf r - \textbf r_0) = 0$$   
produce una ecuación rectangular o cartesiana del plano que contiene  a  $P_0(x_0,\ y_0,\ z_0)$
$$\textbf n \cdot (\textbf r - \textbf r_0)  =  \langle a,\ b,\ c \rangle \cdot \langle x - x_0,\ y - y_0,\ z - z_0 \rangle  =  0$$$$a(x - x_0)  +  b(y - y_0)  +  c((z - z_0)  =  0$$
A esta ecuación se le denomina la forma  punto-normal  de la ecuación de un plano

EJEMPLO  10   Encuentra una ecuación del plano que contiene al punto  (4,  - 1,  3)  y es perpendicular al vector  $\textbf n = 2\hat {\textbf i}  +  8\hat {\textbf j}  -  5\hat {\textbf k}$

SOLUCIÓN  10  
Usando la ecuación
$$\textbf n \cdot (\textbf r - \textbf r_0)  =  \langle a,\ b,\ c \rangle \cdot \langle x - x_0,\ y - y_0,\ z - z_0 \rangle  =  0$$
Identificamos en seguida:  $x_0 = 4,\ \ y_0 = - 1,\ \ z_0 = 3,\ \ a = 2,\ \ b = 8,\ \ c = - 5$,  así que
$$2(x - 4)  +  8(y  +  1)  -  5(z  -  3)  =  0$$$$\color {red} {2x  +  8y  -  5z  + 15  = 0} $$

EJEMPLO 11    Encuentra la ecuación de un plano que contiene a  (1, 0, - 1),  (3, 1, 4)  y  (2, -2,  0)

SOLUCIÓN  11
Antes de empezar a resolver el problema, analicemos ¿qué vamos a hacer. para resolver el problema?
Como las datos que tenemos son sólo puntos y para obtener la ecuación de un plano  requerimos de un vector normal n  y un punto en el plano, que bien puede ser cualquiera de los tres.
¿Como obtenemos el vector normal n?.... Así es, usando el  producto cruz, pero  para ello necesitaremos hacer vectores con esos puntos:

Con los puntos (1, 0, -1)  y  (3, 1, 4) formamos el vector u

$$\textbf u = 2\hat {\textbf i}  + \hat {\textbf j}  + 5\hat {\textbf k}$$

Con los puntos (3, 1, 4)  y  (2, -2, 0) formamos el vector v$$\textbf v = \hat {\textbf i}  + 3\hat {\textbf j}  + 4\hat {\textbf k}$$

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