Un capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial eléctrica y carga eléctrica. Para hacer un capacitor, basta aislar dos conductores uno del otro. Para almacenar energía en este dispositivo hay que transferir carga de un conductor al otro, de manera que uno tenga carga negativa y en el otro haya una cantidad igual de carga positiva. Debe realizarse trabajo para trasladar las cargas a través de la diferencia de potencial resultante entre los conductores, y el trabajo efectuado se almacena como
energía potencial eléctrica.
Para un capacitor en particular, la razón entre la carga de cada conductor y la diferencia de potencial entre los conductores es una constante llamada capacitancia. La capacitancia depende de las dimensiones y las formas de los conductores y del material aislante (si lo hay) entre ellos. En comparación con el caso en que sólo hay vacío entre los conductores, la capacitancia aumenta cuando está presente un material aislante (un dieléctrico). Esto sucede porque en el interior del material aislante ocurre una redistribución de la carga, llamada polarización.
El estudio de la polarización ampliará nuestra perspectiva de las propiedades eléctricas de la materia.
CAPACITOR Y CAPACITANCIA
Dos conductores separados por un aislante (o vacío) constituyen un capacitor (figura 1). En la mayoría de las aplicaciones prácticas, cada conductor tiene inicialmente una carga neta cero, y los electrones son transferidos de un conductor al otro; a esta acción se le denomina cargar el capacitor.
Fig 1. Capacitor
Cuando se dice que un capacitor tiene carga Q, o que una carga Q está almacenada en el capacitor, significa que el conductor con el potencial más elevado tiene carga + Q y el conductor con el potencial más bajo tiene carga - Q
El símbolo para representar un capacitor en diagramas es el siguiente
Fig 2. Símbolo del capacitor
El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los conductores es proporcional a la magnitud Q de carga en cada conductor. Por lo tanto, la diferencia de potencial $V_{ab}$ entre los conductores también es proporcional a Q.
Si se duplica la magnitud de la carga en cada conductor, también se duplican la densidad de carga en
cada conductor y el campo eléctrico en cada punto, al igual que la diferencia de potencial entre los conductores; sin embargo, la razón entre la carga y la diferencia de potencial no cambia. Esta razón se llama capacitancia C del capacitor:
$$C = \frac{Q}{V_{ab}}\qquad \qquad \qquad (1)$$
Esa es la definición de capacitancia y su unidad en el SI es el farad o faradio (F). Por la ecuación (1), u farad es igual a un coulomb por volt (C/V)
$$1\ F = 1\ \text{farad} = 1\ C/V$$
Cálculo de la capacitancia
La forma más sencilla de un capacitor consiste en dos placas conductoras paralelas, cada una con área A, separadas por una distancia d que es pequeña en comparación con sus dimensiones (figura 3a). Cuando las placas tienen carga, el campo eléctrico está localizado casi por completo en la región entre las placas (figura 3b).
Fig 3. Capacitor de placas paralelas con carga
Ya sabemos calcular la magnitud del campo eléctrico $E$ para este arreglo utilizando el principio de superposición de campos eléctricos y además, empleando la ley de Gauss.
$$EA = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon _0}$$$$ E = \frac{Q}{\varepsilon _0 A}$$$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon _0}$$
Como la distancia $d$ es pequeña con respecto a las dimensiones de las placas, entonces $E$ es uniforme y la diferencia de potencial entre las dos placas es
$$V_{ab} = Ed = \frac{Q}{\varepsilon _0 A}d$$De donde tenemos que
$$\frac{Q}{V_{ab}} = \varepsilon _0 \frac{A}{d}$$Y como $$C = \frac{Q}{V}$$Entonces$$\boxed{\ \ \ C = \varepsilon _0 \frac{A}{d} \qquad \qquad \qquad (2) \ \ \ }$$
De donde se observa que la capacitancia solo depende de la geometría del capacitor
Veamos ahora las unidades del farad nuevamente:
$$1\ \text{farad} = \frac{C^2}{(N*m^2)} \frac{m^2}{m} = \frac{C^2}{N*m}$$$$1\ \text{farad} = \frac{C^2}{J}$$
EJEMPLO 1 Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 1.0 F. Si las placas tienen una separación de 1.0 mm, ¿cuál es el área de las placas?
SOLUCIÓN 1
En este problema solo hay que aplicar directamente la fórmula (2)
$$C = \varepsilon _0 \frac{A }{d}$$ De donde
$$A = \frac{Cd}{\varepsilon _0}$$$$= \frac{(1.0 F )(1.0\ \text{x}\ 10^{\ \textbf - 3}m)}{8.85\ \text{x}\ 10^{\ \textbf - 12} F/m}$$$$\boxed{\ \ \ A = 1.1\ \text{x}\ 10^8 \ m^2 \ \ \ }$$
EJEMPLO 2 Las placas paralelas de un capacitor con vacío están separadas una distancia de 5.00 mm y tienen 2.00 $m^2$ de área. Se aplica una diferencia de potencial de 10,000 V (10.0 kV) a través del capacitor. Calcula
a) la capacitancia,
b) la carga en cada placa y
c) la magnitud del campo eléctrico en el espacio entre ellas.
SOLUCIÓN 2
a)
$$C = \varepsilon _0 \frac{A}{d} = 8.85\ \text{x}\ 10^{\ \textbf - 12} F/m \frac{2.00\ m^2}{5.0\ \text{x}\ 10^{\ \textbf -3}\ m}$$$$\boxed{\ \ \ 3.54\ \text{x}\ 10^{\ \textbf - 9}\ F \ \ \ }$$
b)
La carga del capacitor esta dada por la ecuación
$$Q = C V_{ab} = (3.54\ \text{x}\ 10\ \text{x}\ 10^{\ \textbf - 9}\ C/V)(1.00\ \text {x}\ 10^4 \ V)$$$$\boxed{\ \ \ Q = 3.54\ \text{x}\ 10^{\ \textbf - 5}\ C = 35.4\ \mu C\ \ \ }$$
La placa con mayor potencial, esto es, la positiva, tiene una carga de $+\ 35.4\ \mu C$ y la otra placa tiene $-\ 35.4\ \mu C$
c)
La magnitud del campo eléctrico es
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon _0} = \frac{Q}{\varepsilon _0 A} = \frac{ 3.54\ \text{x}\ 10^{\ \textbf - 5}\ C}{(8.85\ \text{x}\ 10^{\ \textbf - 12} F/m)(2.00\ m^2)}$$
$$\boxed{\ \ \ E = 2.0\ \text{x}\ 10^6\ N/C \ \ \ }$$
EJEMPLO 3 Dos corazas conductoras esféricas y concéntricas están separadas por
vacío. La coraza interior tiene una carga total $+\ Q$ y radio exterior r a , y la coraza exterior tiene carga 2Q y radio interior r b (figura 4). (La coraza interior está unida a la coraza exterior mediante delgadas varillas aislantes que tienen un efecto despreciable sobre la capacitancia.) Determina la capacitancia del capacitor esférico.
Fig 4. Capacitor esférico
SOLUCIÓN 3
Este capacitor no es de placas paralelas, por lo que no podremos usar las relaciones desarrolladas para esa geometría particular por lo que tomaremos la definición fundamental de la capacitancia: la magnitud de la carga en cualquier conductor dividida entre la diferencia de potencial de los conductores.
Empezaremos por encontrar el campo eléctrico entre los conductores esféricos usando la ley de Gauss. Esto es con la finalidad de encontrar la diferencia de potencial $V_{ab}$ entre los dos conductores.
$$\oint \vec {\textbf E}\cdot d \vec {\textbf A} = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon _0}$$
De la figura 4, observamos que los dos vectores de la integral son paralelos en toda la esfera por lo que ley de Gauss se reduce a
$$ (E)(4\pi r^2) = \frac{Q}{\varepsilon _0}$$$$ E = \frac{Q}{4\pi \ \varepsilon _0 r^2}$$
Es importante notar que este resultado es igual al de una carga puntual $Q$ por lo que .... la expresión para el potencial también puede tomarse aquella para una carga puntual:
$$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon _0}\frac{Q}{r}$$
Por lo que
$$V_{ab} = V_a - V_b = \frac{1}{4 \pi \varepsilon _0}\frac{Q}{r_a} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon _0}\frac{Q}{r_b}$$$$= \frac{Q}{4 \pi \varepsilon _0}\Big[ \frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b} \Big]$$$$V_{ab} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon _0}\Big[ \frac{r_b \ - r_a}{r_a\ r_b} \Big]$$
Y ahora, por último tenenos
$$C = \frac{Q}{V_{ab}} = Q\ (V_{ab})^{-1} = Q\ \bigg( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon _0}\Big[ \frac{r_b \ - r_a}{r_a\ r_b} \Big] \bigg)^{-1} $$$$\boxed{\ \ \ C = 4 \pi \varepsilon _0 \frac{r_a\ r_b}{r_b \ - r_a}\ \ \ }$$
EJEMPLO 4 Un conductor cilíndrico largo tiene un radio $r_a$ y densidad lineal de carga $+ \lambda$. Está rodeado por una coraza conductora cilíndrica coaxial con radio interior $r_b$ y densidad lineal de carga $- \lambda$ (figura 5). Calcula la capacitancia por unidad de longitud para este capacitor, suponiendo que hay vacío en el espacio entre los cilindros.
Fig 5. Capacitor cilindro largo
SOLUCIÓN 4
Igual que en el ejemplo anterior, encontraremos expresiones para la diferencia de potencial $V_{ab}$ entre los cilindros y la carga Q en una longitud L de los cilindros.
Anteriormente encontramos que el campo eléctrico de una línea de carga es
$$E = \frac{1}{2 \pi \varepsilon _0} \frac{\lambda}{r}$$
Y usando este resultado para encontrar por integracióm
$$V_a - V_b = \int_a^b \vec{\textbf E} \cdot d\vec{\textbf l} = \int_a^b E_r dr = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon _0} \int_{r_a}^{r_b} \frac{dr}{r}$$$$V_a - V_b = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon _0} Ln\frac{r_b}{r_a}$$
Ahora bien, la capacitancia es
$$C = \frac{Q}{V_{ab}} = Q (V_{ab})^{\ \textbf - 1} = \lambda\ L \Big(\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon _0} Ln\frac{r_b}{r_a} \Big)^{\ \textbf - 1}$$$$\boxed{\ \ \ \frac{C}{L} = \frac{2 \pi \varepsilon _0}{Ln (r_b / r_a)} \ \ \ }$$
CAPACITORES EN SERIE Y EN PARALELO
Los capacitores se fabrican con ciertas capacitancias y voltajes de trabajo estándares (figura 6). Sin embargo, estos valores estándar podrían no ser los que se necesiten en una aplicación específica. Se pueden obtener los valores requeridos combinando capacitores; son posibles muchas combinaciones, pero las más sencillas son la conexión en serie y la conexión en paralelo.
Fig. 6. Algunos capacitores disponibles en el comercio
Capacitores en serie
La figura 7a es un diagrama de una conexión en serie. Se conectan en serie dos capacitores (uno en seguida del otro) mediante alambres conductores entre los puntos a y b. Al principio ambos capacitores están inicialmente sin carga. Cuando se aplica una diferencia de potencial $V_{ab}$ positiva y constante entre los puntos a y b, los capacitores se cargan; la figura muestra que la carga en todas las placas conductoras tiene la misma magnitud.
Fig 7 Capacitores en serie
Al principio ambos capacitores están inicialmente sin carga. Cuando se aplica una diferencia de potencial $V_{ab}$ positiva y constante entre los puntos a y b, los capacitores se cargan; la figura muestra que la carga en todas las placas conductoras tiene la misma magnitud. Para saber por qué, primero observe que la placa superior de $C_1$ adquiere una carga positiva Q. El campo eléctrico de esta carga positiva atrae carga negativa hacia la placa inferior de $C_1$ hasta que todas las líneas de campo que comienzan en la placa superior terminan en la placa inferior. Para ello se requiere que la placa inferior tenga carga - Q. Estas cargas negativas tuvieron que venir de la placa superior de $C_2$, la cual se carga positivamente con carga +Q. Luego, esta carga positiva atrae la carga negativa - Q desde la conexión en el punto b a la placa inferior de $C_2$ . La carga total en la placa inferior de $C 1$ y la placa superior de $C_2$ , en conjunto, debe ser siempre igual a cero porque tales placas sólo están conectadas una con otra y con nada más. Así, en una conexión en serie, la magnitud de la carga en todas las placas es la misma. Así tendremos:
$$V_{ac} = V_1 = \frac{Q}{C_1} \qquad \qquad V_{cb} = V_2 = \frac{Q}{C_2}$$$$V_{ab} = V = V_1 + V_2 = Q \Big( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \Big)$$Esto es:
$$\frac{V}{Q} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$O lo que es lo mismo
$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$
Capacitores en paralelo
El arreglo que se muestra en la figura 8a se llama conexión en paralelo. Dos capacitores están conectados en paralelo entre los puntos a y b. En este caso, las placas superiores de los dos capacitores están conectadas mediante alambres conductores para formar una superficie equipotencial, y las placas inferiores forman otra. Entonces, en una conexión en paralelo, la diferencia de potencial para todos los capacitores individuales es la misma, y es igual a $V_{ab} = V$. Sin embargo, las cargas $Q_1$ y $Q_2$ no son necesariamente iguales, puesto que pueden llegar cargas a cada capacitor de manera independiente desde la fuente (como una batería) de voltaje $V_{ab}$ . Las cargas son
$$Q_1 = C_1 V \qquad y \qquad Q_2 = C_2 V$$La carga total Q de la combinación, y por consiguiente la carga total en el capacitor equivalente, es
$$Q = Q_1 + Q_2 = (C_1 + C_2) V$$O lo que es lo mismo
$$\frac{Q}{V} = C_1 + C_2$$ASí que
$$C_{eq} = C_1 + C_2$$
Fig 8 Capacitores en paralelo
EJERCICIO 1 En las figuras 7 y 8, sean $C_1 = 6.0 \mu F$, $C_2 = 3.0 \mu F$ y $V_{ab} = 18 V$. Encuentra la capacitancia equivalente, la carga y la diferencia de potencial para cada capacitor cuando los dos capacitores se conectan
a) en serie, y
b) en paralelo.
EJERCICIO 2 Encuentra la capacitancia equivalente de la combinación que se muestra en la figura 9.
Fig 9. Ejemplo 6
ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA EN CAPACITORES Y ENERGÍA DE CAMPO ELÉCTRICO
Muchas de las aplicaciones más importantes de los capacitores dependen de su capacidad para almacenar energía. La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor cargado es exactamente igual a la cantidad de trabajo requerido para cargarlo, es decir, para separar cargas opuestas y colocarlas en los diferentes conductores. Cuando el capacitor se descarga, esta energía almacenada se recupera en forma de trabajo realizado por las fuerzas eléctricas.
Podemos determinar la energía potencial U de un capacitor con carga Q mediante el cálculo del trabajo W que se requiere para cargarlo. Si se se carga el capacitor, la carga final es Q y la diferencia de potencial final es V. Estas cantidades están relacionadas, como ya sabemos, de la siguiente forma
$$V = \frac{Q}{C}$$el trabajo $dW$ que se requiere para transferir un elemento adicional de carga $dq$ es
$$dW = u dq = \frac{q}{C} dq$$Esto es $$W = \int_0^W = \frac{1}{C} \int_0^Q q dq$$$$= \frac{1}{C} \frac{1}{2}Q^2$$$$W = \frac{Q^2}{2C}\qquad \qquad (3)$$Que es el trabajo para cargar el capacitor, pero, también es igual al trabajo total realizado por el campo eléctrico sobre la carga cuando el capacitor se descarga. Entonces, $q$ disminuye desde un valor inicial Q hasta cero conforme los elementos de carga $dq$ “caen” a través de las diferencias de potencial $v$ que varían desde V hasta cero.
Si se define la energía potencial de un capacitor sin carga como igual a cero, entonces W en la ecuación (3) es igual a la energía potencial U del capacitor con carga.
La carga final almacenada es $Q = CV$, por lo que $U$ (que es igual a $W$) se expresa como
$$U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(CV)^2}{2C} = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2}(CV)V =$$$$U = \frac{1}{2} QV\qquad \qquad (4)$$
ENERGÍA DEL CAMPO ELÉCTRICO
Un capacitor puede cargarse trasladando electrones directamente de una placa a otra. Esto requiere efectuar trabajo contra el campo eléctrico entre las placas. Así, es posible considerar la energía como si estuviera almacenada en el campo, en la región entre las placas.
Para desarrollar esta relación, debemos encontrar la energía por unidad de volumen en el espacio entre las placas paralelas de un capacitor con área $A$ y separación $d$. Ésta se denomina densidad de energía y se denota con $u$. Así que
$$u = \text{Densidad de energía} = \frac{\frac{1}{2} C V^2}{Ad} = \frac{1}{2} \frac{C V^2}{Ad} $$Pero sabemos por la ecuación (2) que
$$C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}\qquad \qquad \text {y que} \qquad V = Ed \quad o \quad E = \frac{V}{d}$$Por lo que
$$u = \frac{1}{2} \frac{C V^2}{Ad} = \frac{1}{2} \frac{(\varepsilon_0 \frac{A}{d}) V^2}{Ad} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \frac{(V^2}{d^2}$$$$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\qquad \qquad (5)$$
EJEMPLO 5 En la figura 10 se carga un capacitor de capacitancia $C_1 = 8.0 \mu F$ al conectarlo a una fuente con diferencia de potencial $V_0 = 120 V$ (en la figura no aparece). Inicialmente, el interruptor S está abierto. Una vez que $C_1$ se ha cargado, se desconecta la fuente de la diferencia de potencial.
a) ¿Cuál es la carga $Q_0$ en $C_1$ si se deja abierto el interruptor S?
b) ¿Cuál es la energía almacenada en $C_1$ si el interruptor S se deja abierto?
c) Inicialmente, el capacitor de capacitancia $C_2 = 4.0 \mu F$ está sin carga. Después de cerrar el interruptor S, ¿cuál es la diferencia de potencial a través de cada capacitor, y cuál es la carga en cada uno?
d) ¿Cuál es la energía total del sistema después de cerrar el interruptor S?
Fig. 10.
EJEMPLO 6 Se desea almacenar 1.00 J de energía potencial eléctrica en un volumen de 1.00 $m^3$ en vacío.
a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico que se requiere?
b) Si la magnitud del campo eléctrico es 10 veces mayor, ¿cuánta energía se almacena por metro cúbico?
SOLUCIÓN 6
a)
$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$
EJEMPLO 7 El capacitor esférico descrito anteriormente tiene cargas + Q y - Q en sus conductores interior y exterior. Calcula la energía potencial eléctrica almacenada en el capacitor
a) Calculando la capacitancia C obtenida en el capacitor esférico, y
b) Integrando la densidad de energía del campo eléctrico.
SOLUCIÓN 7
a) El capacitor esférico tiene una capacitancia de
$$C = 4 \pi \varepsilon \frac{r_a r_b}{r_b - r_a}$$
Y la energía almacenada en este capacitor es
$$U = \frac{Q^2}{2 C} = \frac{Q^2}{2 (4 \pi \varepsilon \frac{r_a r_b}{r_b - r_a}) }$$$$\boxed{\ \ \ U = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon _0} \frac{r_b - r_a}{r_a r_b}\ \ \ }$$
b) El campo eléctrico en el volumen entre las dos esferas conductoras tiene una magnitud de $E = Q/4 \pi \varepsilon _0 r^2$.
Recordemos que el campo eléctrico es igual a cero dentro de la esfera interior y también afuera de la superficie interna de la esfera exterior, ya que una superficie gaussiana con radio $r < r_a$ o $r > r_b$ encierra una carga neta de cero. Así, la densidad de energía es diferente de cero sólo en el espacio comprendido entre las esferas ($r_a < r < r_b$ ). En esta región es:
$$u = \frac{1}{2} \varepsilon _0 E^2 = \frac{1}{2} \varepsilon _0 \bigg( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon _0 r^2 } \bigg)^2 = \frac{Q^2}{32 \pi ^2 \varepsilon _0 r^4}$$Para encontrar la energía total del campo eléctrico se integra $u$ (energía por unidad de volumen) que hay entre las esferas conductoras interior y exterior. Al dividir este volumen en corazas esféricas de radio $r$, área superficial $4 \pi r^2$ , espesor $dr$ y volumen $dV = 4 \pi r^2 dr$, se obtiene
$$U = \int u dV = \int_{r_a}^{r_b} \frac{Q^2}{32 \pi ^2 \varepsilon _0 r^4} 4 \pi r^2 dr = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon _0} \int_{r_a}^{r_b} \frac{dr}{r^2} = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon _0} \bigg( - \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} \bigg)$$$$\boxed{\ \ \ U = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon _0} \frac{r_b - r_a}{r_a r_b}\ \ \ }$$
DIELÉCTRICOS
La mayoría de los capacitores tienen un material no conductor o dieléctrico entre sus placas conductoras. Un tipo común de capacitor emplea tiras largas de hojas (láminas) metálicas como placas, separadas por tiras de hojas de materiales plásticos, como Mylar. Estos materiales dispuestos en forma de emparedado se enrollan para formar una unidad capaz de proveer una capacitancia de varios microfarads en un paquete compacto (figura 11).
Fig. 11. Un tipo común de capacitor utiliza láminas dieléctricas para separar los conductores
La colocación de un dieléctrico sólido entre las placas de un capacitor tiene tres funciones.
La primera es que resuelve el problema mecánico de mantener dos hojas metálicas grandes con una separación muy pequeña sin que hagan contacto.
La segunda función es que un dieléctrico incrementa al máximo posible la diferencia de potencial entre las placas del capacitor.
Cualquier material aislante experimenta una ionización parcial que permite la conducción a través de él, si se somete a un campo eléctrico suficientemente grande. Este fenómeno se llama ruptura del dieléctrico. Muchos materiales dieléctricos toleran sin romperse campos eléctricos más intensos que los que soporta el aire. Así que el uso de un dieléctrico permite que un capacitor mantenga una gran diferencia de potencial V y que, por lo tanto, almacene cantidades más grandes de carga y energía.
La tercera función es que la capacitancia de un capacitor de dimensiones dadas es mayor cuando entre sus placas hay un material dieléctrico en vez de vacío. Este efecto se demuestra con ayuda de un electrómetro sensible, dispositivo que mide la diferencia de potencial entre dos conductores sin permitir un flujo apreciable de carga de uno a otro.
La capacitancia original $C_0$ está dada por $C_0 = Q/V_0$, y la capacitancia C con el dieléctrico presente es $C = Q/V$. La carga $Q$ es la misma en ambos casos, y $V$ es menor que $V_0$ , de donde se concluye que la capacitancia $C$ con el dieléctrico presente es mayor que $C_0$ .
Cuando el espacio entre las placas está lleno por completo por el dieléctrico, la razón de $C$ a $C_0$ (igual a la razón de $V_0$ a $V$) se denomina constante dieléctrica del material, K
$$K = \frac{C}{C_0}\qquad \qquad \qquad (6)$$
Que es la definición de constante dieléctrica.
Cuando la carga es constante, $Q = C_0 V_0 = CV$ y $C / C_0 = V_0 / V$ En este caso, la ecuación $K = C / C_0$ se puede expresar de la forma
$$V = \frac{V_0}{K}\qquad \qquad \qquad (7)$$
Con el dieléctrico presente, la diferencia de potencial para una carga Q dada se reduce en un factor de K.
CARGA INDUCIDA Y POLARIZACIÓN
Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo tiempo que la carga se mantiene constante, la diferencia de potencial entre aquéllas disminuye en un factor $K$. Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe reducirse en el mismo factor. Si $E_0$ es el valor con vacío y $E$ es el valor con dieléctrico, entonces
$$E = \frac{E_0}{K}\qquad \qquad \qquad (8) \ \ \text{cuando Q es una constante}$$
Fig. 12. Líneas de campo eléctrico cuando entre las placas hay a) vacío y b) un dieléctrico
Como la magnitud del campo eléctrico es menor cuando el dieléctrico está presente, la densidad superficial de carga (que crea el campo) también debe ser menor. La carga superficial en las placas conductoras no cambia, pero en cada superficie del dieléctrico aparece una carga inducida de signo contrario (figura 12). Originalmente, el dieléctrico era neutro y todavía lo es; las cargas superficiales inducidas surgen como resultado de la redistribución de la carga positiva y negativa dentro del material dieléctrico. Este fenómeno se llama polarización.
Es posible obtener una relación entre esta carga superficial inducida y la carga en las placas. Se denotará como $\sigma_i$ la magnitud de la carga inducida por unidad de área en las superficies del dieléctrico (la densidad superficial de carga inducida). La magnitud de la carga superficial neta en cada lado del capacitor es ( $\sigma - \sigma_i$ ), como se observa en la figura 12b.
El campo entre las placas se relaciona con la densidad superficial de carga de acuerdo con $E = \sigma_{neta} / \varepsilon _0$. Sin el dieléctrico y con éste, respectivamente, se tiene
$$E_0 = \frac{\sigma}{\varepsilon _0} \qquad \qquad E = \frac{\sigma - \sigma_1}{\varepsilon _0}\qquad$$
Al usar estas expresiones en la ecuación (8) y reordenar el resultado, tendemos que
$$\sigma _i = \sigma \Big( 1 - \frac{1}{K} \Big) \qquad \qquad \qquad(9) $$
Que es la densidad superficial de carga inducida
El producto $K \varepsilon _0$ se le llama permitividad del dieléctrico, y se denota con $\varepsilon$
$$\varepsilon = K \varepsilon _0$$Ademas tenemos que
La capacitancia cuando hay un dieléctrico presente está dada por
$$C = K C_0 = K \varepsilon _0 \frac{A}{d} = \varepsilon \frac{A}{d}\qquad \qquad (10)$$
La densidad de carga eléctrica en un dieléctrico es
$$u = \frac{1}{2} K \varepsilon _0 E^2 = \frac{1}{2} E^2 \qquad \qquad \qquad (11)$$
EJEMPLO 8 Supón que cada una de las placas paralelas en la figura 12 tiene un área de $2,000 cm^2 \ (2.00\ \text{x}\ 10^{\ \textbf{-}\ 1}\ m^2 )$ y están separadas por $1.00\ cm \ (1.00\ \text{x}\ 10^{- 2}\ m)$. El capacitor está conectado a una fuente de energía y se carga a una diferencia de potencial V 0 5 3000 V 5 3.00 kV. Después se desconecta de la fuente de energía y se inserta entre las placas una lámina de material plástico aislante, llenando por completo el espacio entre ellas. Se observa que la diferencia de potencial disminuye a 1000 V y que la carga en cada placa del capacitor permanece constante. Calcula
a) la capacitancia original $C_0$ ;
b) la magnitud de la carga Q en cada placa;
c) la capacitancia C después de haber insertado el dieléctrico;
d) la constante dieléctrica K del dieléctrico;
e) la permitividad $\varepsilon$ del dieléctrico;
f) la magnitud de la carga $Q_i$ inducida en cada cara del dieléctrico;
g) el campo eléctrico original $E_0$ entre las placas; y
h) El campo eléctrico E después de insertar el dieléctrico.
SOLUCIÓN 8
a) Con vacío entre las placas K = 1 y entonces
$$C_0 = \varepsilon _0 \frac{A}{d} = (8.85\ \text{x}\ 10^{- 12}\ F/m) \frac{2.00\ \text{x}\ 10^{- 1}\ m^2}{1.00\ \text{x}\ 10^{- 2}\ m}$$
$$\boxed{\ \ \ C_0 = 1.77\ \text{x}\ 10^{- 10}\ F = 177\ pF\ \ \ }$$
b)
A partir de la definición de capacitancia tenemos
$$C = C_0 V_0 = (1.77\ \text{x}\ 10^{- 10}\ F)(3.00\ \text{x}\ 10^3\ V)$$$$\boxed{\ \ \ 5.31\ \text{x}\ 10^{- 7}\ C = 0.531\ \mu C\ \ \ }$$
c)
Cuando se inserta el dieléctrico, la carga permanece sin cambio, pero el potencial disminuye a V = 1000 V. Por ello, la nueva capacitancia es
$$C = \frac{Q}{V} = \frac{ 5.31\ \text{x}\ 10^{- 7}\ C }{ 1.00\ \text{x}\ 10^3\ V }$$$$\boxed{\ \ \ C = 5.31\ \text{x}\ 10^{- 10}\ F = 531 \ pF \ \ \ }$$
d)
La constante dieléctrica esta dada por
$$K = \frac{C}{C_0} = \frac{5.31\ \text{x}\ 10^{- 10}\ F}{1.77\ \text{x}\ 10^{- 10}\ F}$$$$\boxed{\ \ \ K = 3.00 \ \ \ }$$
e)
Al sustituir el valor de K, la permitividad es
$$\varepsilon = K \varepsilon _0 = (3.00)(8.85\ \text{x}\ 10^{- 12}\ C^2/N \cdot m^2)$$$$\boxed{\ \ \ 2.66\ \text{x}\ 10^{- 11}\ C^2/N \cdot m^2\ \ \ \ }$$
f)
La carga inducida $Q_i = \sigma _i A$ en términos de la carga $Q = \sigma A$ cada placa es
$$Q_i = Q\Big( 1 - \frac{1}{K} \Big) = (5.31\ \text{x}\ 10^{- 7}\ C)\Big( 1 - \frac{1}{3.00} \Big)$$$$\boxed{\ \ \ Q_i = 3.54\ \text{x}\ 10^{- 7}\ C \ \ \ }$$
g)
Como el campo eléctrico entre las placas es uniforme, su magnitud es la diferencia de potencial dividida entre la separación de las placas
$$E_0 = \frac{V_0}{d} = \frac{3, 000\ V}{1.00\ \text{x}\ 10^{- 2}\ m}$$$$\boxed{\ \ \ E_0 = 3.00\ \text{x}\ 10^5\ V/m \ \ \ }$$
h)
Con la nueva diferencia de potencial después de insertar el dieléctrico
$$E = \frac{V}{d} = \frac{1,000\ V}{1.00\ \text{x}\ 10^{- 2}\ m}$$$$\boxed{\ \ \ E = 1.00\ \text{x}\ 10^5\ V/m \ \ \ }$$
EJERCICIOS
1. En la figura 13, la batería tiene una diferencia de potencial de V = 10.0 V y los 5 capacitores, cada uno tienen una capacitancia de 10.0 $\mu F$. ¿Cuál es la carga en
a) el capacitor 1
b) el capacitor 2
2. En la figura 14 Una batería de 20.0 V es conectada a través de capacitores de capacitancias: $C_1 = C_6 = 3.00\ \mu F$ y $C_3 = C_5 = 2.00\ \mu F$, $C_1 = C_6 = 3.00\ \mu F$
muy util
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