¿Qué distancia debe recorrer un avión comercial en la pista antes de alcanzar la rapidez de despegue? Cuando lanzamos una pelota de béisbol verticalmente, ¿qué tanto sube?
Cuando se nos resbala un vaso de la mano, ¿cuánto tiempo tenemos para atraparlo antes de que choque contra el piso?
Este es el tipo de preguntas que aprenderás a contestar.
En este capítulo nos concentramos en el tipo de movimiento más sencillo: un cuerpo que viaja en línea recta. Para describir este movimiento, introducimos las cantidades físicas velocidad y aceleración
En esta clase nos enfocaremos en la cinemática, que es la parte de la mecánica que describe el movimiento.
DESPLAZAMIENTO, TIEMPO Y VELOCIDAD MEDIA
Si suponemos que un piloto de autos de arrancones conduce su vehículo por una pista recta (figura 1). Para estudiar su movimiento, necesitamos un sistema de coordenadas.
Determinamos que el eje x va a lo largo de la trayectoria recta del auto, con el origen O en la línea de salida. También elegimos un punto en el auto, digamos su extremo delantero, y representamos todo el vehículo con ese punto y lo tratamos como una partícula.
Una forma útil de describir el movimiento de la partícula que representa el vehículo es en términos del cambio en su coordenada $x$ durante un intervalo de tiempo.
Supongamos que 1.0 s después del arranque, el automóvil (la punta de él) esta en el punto $P_{1}$, a 19 metros del origen, y que 4.0 s después del arranque está en el punto $P_{2}$, a 277 m del origen,
El desplazamiento es un vector que apunta de $P_{1}$ a $P_{2}$.
El desplazamiento es el cambio de valor d $x$ (277 m - 19 m) = 258 m, que se llevó a cabo en (4.0 s - 1.0 s) = 3.0 s.
La velocidad media del automóvil durante este intervalo de tiempo se define como una cantidad vectorial, cuya componente $x$ es el cambio de $x$ dividido entre el intervalo de tiempo, esto es:
$$\boxed{\color {red}{\textbf v_{med-x} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} } }$$ Para este caso
$$v_{med-x} = \frac{277\ m - 19\ m}{4.0\ s - 1.0\ s} = \frac{258\ m}{3.0\ s} = 86 m/s$$
La velocidad media es del automóvil es positiva. Esto significa que, durante el intervalo, la coordenada $x$ aumentó y el auto se movió en la dirección $+x$.
AGUAS!!! Elección de la dirección $x$ positiva. No hay que caer en la tentación de pensar que una velocidad media positiva implica necesariamente movimiento a la derecha. Ve la tabla 1 donde se resumen algunas conclusiones al respecto.
La velocidad media $x$ depende solo del desplazamiento total $\Delta x = x_{2} - x_{1}$. que se da durante el intervalo $\Delta t = t_{2} - t_{1}$, no de los pormenores de lo que sucede dentro de ese intervalo.
Por ejemplo, en el tiempo $t_{1}$, una motocicleta podría haber rebasado al auto de arrancones en el punto $P_{1}$ de la figura 1, para después reventar el motor y bajar la velocidad, pasando por $P_{2}$ en el mismo instante $t_{2}$ que el auto. Ambos vehículos tienen el mismo desplazamiento en el mismo lpso, así que tienen la misma velocidad media $x$.
Tabla 1. Reglas para el digno de la velocidad
La figura 2 es una gráfica de la posición del automóvil de arrancones como una función del tiempo., es decir, una gráfica x-t.
La gráfica es una forma de representar visualmente cómo cambia la posición del autompovil con el tiempo.
Fig 3. Posición de un automóvil de arrancones en función del tiempo.
VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Cuando requerimos de la rapidez o la dirección con la que una partícula se está moviendo en un instante determinado del intervalo, la velocidad media no nos sirve y es cuando hacemos uso de la velocidad instantánea, es decir, la velocidad en un instante específico o en un punto específico de la trayectoria.
Para obtener la velocidad instantánea del auto de la figura 1 en el punto $P_{1}$, movemos el segundo punto $P_{2}$ cada vez más cerca del primer punto $P_{1}$ y calculamos la velocidad media $v_{med-x} = \Delta x / \Delta$ para estos desplazamientos y lapsos cada vez más cortos.
En el lenguaje del cálculo, el límite de $\Delta x / \Delta$ conforme $\Delta\ t$ se acerca a cero es la derivada de $x$ con respecto a t. A la velocidad instantánea se le designa como $\textbf v_{x}$
$$\boxed {\color {red} { v_{x} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} } } $$
los términos "velocidad" y "rapidez" se usan indistintamente en el lenguaje cotidiano, no obstante, en física tienen diferentes significados. Rapidez denota la distancia recorrida dividida entre el tiempo.
EJEMPLO 1 Un guepardo acecha 20 m al este de un observador (fig 3). En el tiempo t 0. el guepardo comienza a correr al este hacia un antílope que se encuentra 50 m al este del observador. Durante los primeros 2.0 s del ataque, la coordenada $x$ del guepardo varía con el tiempo según la ecuación $x = 20 m + (5.0 m/s^2) t^2$.
a) Obtén el desplazamiento del guepardo entre $t_{1} = 0\ s$ y $t_{2} = 2.0\ s$.
b) Calcula la velocidad media en dicho intervalo,
c) Calcula la velocidad instantánea en $t_{1} = 1.0\ s$ tomando $\Delta t = 0.1\ s$, luego $\Delta t = 0.01\ s$, luego $\Delta t = 0.001\ s$.
d) Deduce una expresión general para la velocidad instantánea del guepardo en función del tiempo y con ella calcula $v_{x}2$ en $t\ =\ 1.0\ s$ y $t\ =\ 2.0\ s$
Fig. 3 Un guepardo ataca a un antílope en una emboscada,
SOLUCIÓN 1
a) En $t_{1} = 1.0\ s$ y $t_{2} = 2.0\ s$, las posiciones del guepardo son:
$x_{1} = 20\ m + (5.0\ m/s^2 )(1.0\ s)^2 = 25\ m$
$x_{2} = 20\ m + (5.0\ m/s^2 )(2.0\ s)^2 = 40\ m$
El desplazamiento en este intervalo $\Delta\ t = t_{2} - t_{1} = 2.0\ s - 1.0\ s = 1.0\ s$ es de:
$\Delta\ x = x_{2} - x_{1} = 40\ m - 25\ m = 15\ m$
b) La velocidad media durante este intervalo es:
$v_{med-x} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{40\ m - 25\ m}{2.0\ s - 1.0\ s} = \frac{15\ m}{1.0\ s} = 15\ m/s$
c) Con $\Delta t = 0.1$, el intervalo es de $t_{1} = 1.0\ s$ a un nuevo $t_{2} = 1.1\ s$ en $t_{2}$, la posición es:
$x_{2} = 20\ m + (5.0\ m/t^2 )(1.1\ s)^2 = 26.05\ m$
Y la velocidad media durante ese intervalo de 0.1 es de:
$v_{med-x} = \frac{26.05\ m - 25\ m}{1.1\ s - 1.0\ s} = 10.5\ m/s$
Al seguir este método, encontramos los valores para las velocidades medias de los intervalos de 0.01 s y de 0.001 s. Los resultados son de 10.05 m/s y de 10.005 m/s. Al disminuir $\Delta t$, la velocidad media se acerca a 10.0 m/s. Por lo que concluimos que la velocidad instantánea en $t = 1.0\ s$ es de 10.0 m/s.
d) Para calcular la velocidad instantánea en función del tiempo. se deriva la expresión de $x$ con respecto a $t$
$v_{x} = \frac{dx}{dt} = (5.0\ m/s) (s t) = (10\ m/s^2)t$
En $t = 1.0\ s$, esto produce $v_{x} = 10\ m/s$, como se vio en el inciso c). En $t = 2.0\ s$, $v_{x} = 20\ m/s$
OBTENCIÓN DE LA VELOCIDAD EN UNA GRÁFICA $x-t$
La velocidad de una partícula también puede obtenerse a partir de la gráfica de la posición de la partícula en función del tiempo. Supón que queremos conocer la velocidad del automóvil de arrancones de la figura 1, conforme $P_{2}$ se acerca a $P_{1}$, el punto $p_{2}$ en la gráfica $x-t$ de las figuras 4a y 4b se acerca al punto $p_{1}$ , y la velocidad media $x$ se calcula en intervalos $\Delta t$ cada vez más cortos. En el límite en que $\Delta t \rightarrow 0$, ilustrado en la figura 4c, la pendiente de la línea $p_{1} p_{2}$ es igual a la pendiente de la línea tangente a la curva en el punto $p_{1}$ . Así, en una gráfica de posición en función del tiempo para movimiento rectilíneo, la velocidad instantánea en cualquier punto es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.
Fig 4.Uso de las gráficas $x-t$
Si la tangente a la curva $x-t$ sube hacia la derecha, como en la figura 4c, entonces su pendiente es positiva, la velocidad es positiva, y el movimiento es en la dirección $+x$. Si la tangente baja hacia la derecha, la pendiente de la gráfica $x-t$ y la velocidad son negativas, y el movimiento es en la dirección $-x$. Cuando la tangente es horizontal, la pendiente y la velocidad son cero. La figura 5 ilustra las tres posibilidades.
Fig. 5. Gráfica del movimiento de una partícula dada
ACELERACIÓN MEDIA INSTANTÁNEA
Así como la velocidad describe la tasa de cambio de la posición con el tiempo, la aceleración describe la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo. Al igual que la velocidad, la aceleración es una cantidad vectorial. En el movimiento rectilíneo, su única componente distinta de cero está sobre el eje en que ocurre el movimiento.
ACELERACIÓN MEDIA
Definimos la aceleración media de la partícula al moverse de $P_{1}$ a $P_{2}$ como una cantidad vectorial cuya componente x es $a_{med-x}$ (conocida como aceleración media en x) igual a $\Delta v_{x}$ , el cambio en la componente x de la velocidad, dividido entre el intervalo de tiempo $\Delta t$:
$$a_{med-x} = \frac{v_{2x} - v_{1x}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta v_{x}}{\Delta t}$$
EJEMPLO 2 Un astronauta sale de una nave espacial en órbita para probar una unidad personal de maniobras. Mientras se mueve en línea recta, su compañero a bordo mide su velocidad cada 2.0 s a partir del instante t = 1.0 s:
Calcule la aceleración media y diga si la rapidez del astronauta aumenta o disminuye durante cada uno de estos intervalos de 2.0 s:
a) $t_{1} = 1.0\ s$ a $t_{2} = 3.0\ s$;
b) $t_{1} = 5.0\ s$ a $t_{2} = 7.0\ s$;
c) $t_{1} = 9.0\ s$ a $t_{2} = 11.0\ s$
d) $t_{1} = 13.0\ s$ a $t_{2} = 15.0\ s$.
SOLUCIÓN 2
Usando la ecuación de la aceleración obtendremos:
a) $a_{mex-x} =\frac{1.2\ m/s - 0.8\ m/s}{3.0\ s - 1.0\ s} = 0.2\ m/s^2$
La rapidez aumenta de 0,8 m/s a 1.2 m/s
b) $a_{mex-x} =\frac{1.2\ m/s - 1.6\ m/s}{7.0\ s - 5.0\ s} = - 0.2\ m/s^2$
La rapidez disminuye de 1.6 m/s a 1.2 m/s
c) $a_{mex-x} =\frac{- 1.0\ m/s - (- 0.4)\ m/s}{11.0\ s - 9.0\ s} = - 0.3\ m/s^2$
La rapidez aumenta de 0,4 m/s a 1.0 m/s
d) $a_{mex-x} =\frac{- 0.8\ m/s - (- 1.6\ m/s}{15.0\ s - 13.0\ s} = 0.4\ m/s^2$
La rapidez disminuye de 1.6,8 m/s a 0.8 m/s
Fig 6. Gráficas de velocidad contra tiempo (arriba) y aceleración media contra
tiempo (abajo) del astronauta.
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
Ahora podemos definir la aceleración instantánea con el mismo procedimiento que seguimos para la velocidad instantánea.
La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Así,
$$\boxed{\ \ a_{x} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta v_{x}}{\Delta t} = \frac{dv_{x}}{dt} \ \ }$$
EJEMPLO 3 Supón que la velocidad $v_{x}$x del automóvil en la figura 7 en un instante t está dada por la ecuación
$$v_{x} = 60\ m/s + (0.50\ m/s^3)t^2$$
a) Calcula el cambio de velocidad del automóvil en el intervalo entre $t_{1} = 1.0\ s\ \ \ y \ \ \ t_{2} = 3.0\ s $
b) Calcula la aceleración media en este intervalo de tiempo.
c) Obtén la aceleración instantánea en $t_{1} = 1.0\ s$ tomando $\Delta t$ primero como 0.1 s, después como 0.01 s y luego como 0.001 s.
d) Deduce una expresión para la aceleración instantánea como función del tiempo y úsala para obtener la aceleración en t = 1.0 s y t = 3.0\ s
Fig 7. Vehículo de fórmula 1 en dos puntos de la recta
SOLUCIÓN 3
Encontraremos las velocidades en cada instante
$v_{1x} = 60\ m/s + (0.50\ m/s^3)(1.0\ s)^2 = 60.5\ m/s$
$v_{2x} = 60\ m/s + (0.50\ m/s^3)(3.0\ s)^2 = 64.5\ m/s$
El cambio en la velocidad $\Delta v_{x}$ en el intervalo de tiempo dado es:
$\Delta v_{x} = v_{2x} - v_{1x} = 64.5\ m/s - 60.5\ m/s = 4.0\ m/s$
b) La aceleración media durante el intervalo de duración es
$$a_{med-x} = \frac{v_{2x} - v_{1x}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{4.0\ m/s}{2.0\ m/s} = 2.0\ m/s^2$$
c) Para $\Delta t = 0.1\ s$
Para calcular la aceleración instantánea, necesitamos encontrar la velocidad final en el tiempo 1.0 s + 0.1 s = 1.1 s
$v_{2x} = 60\ m/s + (0.50\ m/s^3)(1.1\ s)^2 = 60.605\ m/s$:
$a_{med-x} = \frac{v_{2x} - v_{1x}}{\Delta t} = \frac{60.605\ m/s - 60.5\ m/s}{0.1\ s} = 1.05\ m/s^2$
Para $\Delta t = 0.01\ s$
Para calcular la aceleración instantánea, necesitamos encontrar la velocidad final en el tiempo 1.0 s + 0.01 s = 1.01 s
$v_{2x} = 60\ m/s + (0.50\ m/s^3)(1.01\ s)^2 = 60.51005\ m/s$:
$a_{med-x} = \frac{v_{2x} - v_{1x}}{\Delta t} = \frac{60.51005\ m/s - 60.5\ m/s}{0.01\ s} = 1.005\ m/s^2$
Para $\Delta t = 0.001\ s$
Para calcular la aceleración instantánea, necesitamos encontrar la velocidad final en el tiempo 1.0 s + 0.001 s = 1.001 s
$v_{2x} = 60\ m/s + (0.50\ m/s^3)(1.001\ s)^2 = 60.5010005\ m/s$:
$a_{med-x} = \frac{v_{2x} - v_{1x}}{\Delta t} = \frac{60.5010005\ m/s - 60.5\ m/s}{0.001\ s} = 1.0005\ m/s^2$
La solución para los problemas de movimiento con aceleración constante se obtienen usando las siguientes ecuaciones
Fig 8. Ecuaciones de movimiento con aceleración constante
PREGUNTA Un aeroplano vuela en línea recta desde el aeropuerto A hasta el aeropuerto B y a continuación regresa también en línea recta desde B hasta A. Viaja con aire en clama, manteniendo el motor siempre en el mismo régimen. Si soplara un fuerte viento de A hacia B y el número de revoluciones se mantuviera como antes, ¿Sufriría alguna modificación el tiempo invertido en el trayecto de ida y vuelta?
EJERCICIO 1 Un motociclista que viaja al este cruza una pequeña ciudad y viaja con aceleración constante de 4.0 $m/s^2$ después de pasar los límites de la ciudad (figura 9). En el tiempo t = 0, está a 5.0 m al este del letrero de límite de la ciudad, y se desplaza al este a 15 m/s.
a) Calcula su posición y velocidad en t = 2.0 s.
b) ¿Dónde está el motociclista cuando su velocidad es de 25 m/s?
Fig. 9. Un motociclista que viaja con aceleración constante
EJERCICIO 2 Una persona conduce su vehículo con rapidez constante de 15 m/s (aproximadamente 34 mi/h) y pasa por un cruce escolar, donde el límite de velocidad es de 10 m/s (aproximadamente 22 mi/h). En ese preciso momento, un oficial de policía en su motocicleta, que está detenido en el cruce, arranca para perseguir al infractor, con aceleración constante de 3.0 $m/^2$ (figura 10).
a) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el oficial de policía alcance al infractor?
b) ¿A qué rapidez va el policía en ese instante?
c) ¿Qué distancia total habrá recorrido cada vehículo hasta ahí?
Fig 10. a) Cuerpo en movimiento con aceleración constante que alcanza a un cuerpo en
movimiento con velocidad constante. b) Gráfica de x contra t para cada vehículo
Resumen de ecuaciones de movimiento
- $v = v_{0} + at$
- $x = x_{0} + v_{0}\ t + \frac{1}{2}\ a\ t^2$
- $v_{f}^2 = v_{0}^2 + 2a(x_{f} - x_{0}) $
- $x_{f} = x_{0} + \frac{1}{2}(v_{0} + v_{f})$
1. Manejas tu BMW por una carretera recta durante 5.2 mi/h, en cuyo punto te quedas sin gasolina. Caminas 1.2 millas hacia adelante hasta la estación de gasolina más próxima durante 27 min. Cuál fue la velocidad promedio desde el momento en que arrancaste con tu automóvil hasta el momento en que llegaste a la estación de gasolina.?
2. Un automóvil, durante la primera mitad del tiempo que estuvo en movimiento, llevó una velocidad
de 80 km/h y durante la segunda mitad la velocidad fue de 40 km/h. ¿ Cuál fue la velocidad media de este automóvil?
3. Un automóvil recorrió la primera mitad del camino con una velocidad de 80 km/h y la segunda mitad con una velocidad de 40 km/h. ¿ Cuál fue la velocidad media de este automóvil ?
4. Un barco navega por un río desde un punto A hasta un punto B con la velocidad de $v_{1} 10\ km/h$ y en sentido contrario con la velocidad $v_{2} = 16\ km/h$ Halla la velocidad promedio del barco
5. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba volvió a la tierra al cabo de 3 s. a) ¿Cuál era su velocidad inicial? b) ¿ A qué altura se elevó?
6. Una piedra es lanzada hacia arriba hasta una altura de 10 m. a) ¿ Cuánto tiempo tardará en llegar a tierra? b¿ Hasta qué altura subirá la piedra si su velocidad inicial aumentara el doble?
7. Desde un aerostato que se encuentra a 300 m de altura cae una piedra. ¿ Cuánto tiempo tardará en llegar a tierra si: a) el aerostato se eleva a una velocidad de 5 m/s, 2) el aerostato desciende con la velocidad de 5 m/s c) el aerostato no se mueve.
8. Un cuerpo se lanza con una velocidad $v_{0}$ formando cierto ángulo con el horizonte, su vuelo dura un tiempo de 2.2 s. Halla la altura máxima a que se elevó este cuerpo.
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