Ley de Ohm
La corriente que circula por un conductor dado es directamente proporcional a la diferencia de potencial entre sus puntos extremos.
$$V = I R$$
Cuanto mayor sea la resistencia R, tanto menor será la corriente I para un voltaje dado V. La unidad de medición de la resistencia es el ohm, cuyo símbolo es la letra griega mayúscula omega ( $\Omega$ ).
$$1\ \Omega = \frac{1\ V}{1\ A}$$
Una resistencia de un ohm permitirá una corriente de un ampere cuando se aplica a sus terminales una diferencia de potencial de un volt.
Veamos ahora la aplicación del la ley de Ohm a circuitos de corriente directa.
Los resistores se encuentran en toda clase de circuitos, desde secadoras para el cabello y calentadores espaciales hasta circuitos que limitan o dividen la corriente, o reducen o dividen un voltaje. Es frecuente que tales circuitos contengan varios resistores, por lo que es apropiado considerarlos como combinaciones de resistores.
Supón que se tienen tres resistores con resistencias $R_1$, $R_2$ y $R_3$ . La figura 1 muestra cuatro formas diferentes en que éstos se pueden conectar entre los puntos a y b.
Cuando se conectan en secuencia varios elementos de circuito, como resistores, baterías y motores —como en la figura 1a — con una sola trayectoria de corriente entre los puntos, se dice que están conectados en serie.
Anteriormente, estudiamos los capacitores en serie; vimos que, en virtud del principio de conservación de la carga, todos tenían la misma carga si al principio se hallaban descargados. Es frecuente que al estudiar circuitos estemos más interesados en la corriente, que es el flujo de carga por unidad de tiempo.
Se dice que los resistores de la figura 26.1b están conectados en paralelo entre los puntos a y b. Cada resistor ofrece una trayectoria alternativa entre los puntos. Para los elementos de circuito conectados en paralelo, la diferencia de potencial es la misma a través de cada elemento.
En la figura 1c, los resistores $R_2$ y $R_3$ están en paralelo, y esta combinación está en serie con $R_1$ . En la figura 1d, $R_2$ y $R_3$ están en serie, y esta combinación está en paralelo con $R_1$.
Para cualquier combinación de resistores siempre es posible encontrar un resistor único que podría remplazar la combinación y dar como resultado la misma corriente y diferencia de potencial totales.
La resistencia de este resistor único se llama resistencia equivalente de la combinación. Si se remplazara cualquiera de las redes de la figura 1 por su resistencia equivalente $R_{eq}$ , se podría escribir
$$V_{ab} = I R_{eq} \qquad \text{o bien} \qquad R_{eq} = \frac{V_{ab}}{I}$$
donde $V_{ab}$ es la diferencia de potencial entre las terminales a y b de la red, e I es la corriente en el punto a o b. Para calcular una resistencia equivalente, se supone una diferencia de potencial $V_{ab}$ a través de la red real, se calcula la corriente I correspondiente y se obtiene la razón $V_{ab} / I$
RESISTORES EN SERIE
Es posible determinar ecuaciones generales para la resistencia equivalente de una combinación de resistores en serie o en paralelo. Si los resistores están en serie, como en la figura 1a, la corriente $I$ debe ser la misma en todos ellos.
La corriente no “se gasta” cuando pasa a través de un circuito. Al aplicar $V = IR$ a cada resistor, se obtiene
$$V_{ax} = I R_1\qquad V_{xy} = I R_2\qquad V_{yb} = I R_3 $$
Las diferencias de potencial a través de cada resistor no necesariamente son las mismas (excepto para el caso especial en que las tres resistencias son iguales). La diferencia de potencial $V_{ab}$ a través de toda la combinación es la suma de estas diferencias de potencial individuales:
$$V_{ab} = V_{ax} + V_{xy} + V_{yb} = I( R_1 + R_2 + R_3 )$$Por lo que:
$$\frac{V_{ab}}{I} = R_1 + R_2 + R_3$$Donde la razón es por definición, la resistencia equivalente $R_{eq}$ Por lo tanto
$$ R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$$
Se puede generalizar este resultado para cualquier número de resistores
$$\boxed{\ \ \ R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots \qquad \text{Resistores en serie}\ \ (1) \ \ \ }$$
RESISTORES EN PARALELO
Si los resistores están en paralelo, como en la figura 1b, la corriente a través de cada resistor no necesariamente es la misma. Pero la diferencia de potencial entre las terminales de cada resistor es la misma e igual a $V_{ab}$.
Designemos las corrientes en los tres resistores con $I_1$, $I_2$ e $I_3$, y como sabemos que $I = V / R$, entonces:
$$I _1 = \frac{V_{ab}}{R_1}\qquad \ \ \ I _2 = \frac{V_{ab}}{R_2}\qquad \ \ \ I _3 = \frac{V_{ab}}{R_3} $$
Como la carga no se acumula o escapa del punto a, la corriente total I debe ser la suma de las tres corrientes en los resistores:
$$I = I _1 + I _2 + I _3 = V_{ab}\Big( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \Big) $$O bien
$$\frac{I}{V_{ab}} = \Big( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \Big) $$Y en función de la resistencia equivalente tenemos
$$\frac{1}{R_{eq}} = \Big( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \Big) $$
Y de nuevo, podemos generalizar este resultado a cualquier numero de resistencias
$$\boxed{\ \ \ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \cdots \qquad (2)\ \ \ } $$
EJEMPLO 1 Calcula la resistencia equivalente de la red que se ilustra en la figura 3, y obtén la corriente en cada resistor. La fuente de fem tiene resistencia interna insignificante.
SOLUCIÓN 1
REGLAS DE KIRCHHOFF
Una red eléctrica es un circuito complejo que consta de cierto número de trayectorias cerradas o mallas por donde circula corriente. Es complicado aplicar la ley de Ohm cuando se trata de redes complejas que incluyen varias mallas y varias fuentes de fem.
En el siglo XIX , el científico alemán Gustav Kirchhoff desarrolló un procedimiento más directo para analizar circuitos de ese tipo. Su método se apoya en dos leyes: la primera y la segunda leyes de Kirchhoff.
Primera ley de Kirchhoff: La suma de las corrientes que entran en una unión o nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de esa unión o nodo.
$$\sum I_{entrante} = \sum I_{saliente}$$
Segunda ley de Kirchhoff: La suma de las fem alrededor de cualquier malla cerrada de corriente es igual a la suma de todas las caídas de IR alrededor de dicha malla.
$$\sum \mathcal {E} = \sum IR $$
Un nodo es cualquier punto en un circuito donde confluyen tres o más alambres. La primera ley simplemente establece que la carga debe fluir continuamente; no se puede acumular en un nodo.
En la figura 2, si llegan 12 C de carga al nodo cada segundo, entonces deben salir 12 C de carga cada segundo. La corriente suministrada a cada rama es inversamente proporcional a la resistencia de esa rama.
Fig. 2. La suma delas corrientes que entran en un nodo debe ser igual a la
suma de las corrientes que salen de él.
Al aplicar las reglas de Kirchhoff han de seguirse procedimientos bien definidos. Los pasos del procedimiento general se presentarán considerando el ejemplo planteado en la figura 3a.
1. Elije una dirección de la corriente para cada malla de la red.
Las tres mallas que podrían considerarse están representadas en la figura 3b, c y d. Si consideramos todo el circuito mostrado en la figura 3a, se supone que la corriente $I_1$ fluye en contrasentido a las manecillas del reloj en la parte superior de la malla, se supone que $I_2$ circula a la izquierda en el ramal del centro y que $I_3$, fluye contra las manecillas del reloj en la malla inferior. Si las suposiciones son correctas, la solución al problema nos dará un valor positivo para la comente; si son incorrectas, un valor negativo indicará que la corriente en realidad circula en dirección opuesta.
2. Aplicar la primera ley de Kirchhoff para escribir una ecuación de la corriente para todos y cada uno de los nodos.
Escribir la ecuación de la corriente para cada nodo sería duplicar la ecuación. En nuestro ejemplo, hay dos nodos que se indican como m y n. La ecuación de la corriente para m es
$$\sum I_{entrante} = \sum I_{saliente}$$
$$I_1 + I_2 = I_3$$
Fig 3. Aplicación de las leyes de Kirchhoff a un circuito complejo.
Nota: Resultaría la misma ecuación si se considerara el nodo n, y no se obtendría ninguna nueva
información.
3. Indica, mediante una flecha pequeña junto al símbolo de cada fem, la dirección en la que la fuente, si actuara sola, haría que una carga positiva circulara por el circuito.
En nuestro ejemplo, $\mathcal {E}_1$ y $\mathcal {E}_2$ se dirigen a la izquierda y $\mathcal {E}_3$ a la derecha.
4. Aplica la segunda ley de Kirchhoff ( $\sum = \sum IR$ ) para cada una de las mallas. Habrá
una ecuación para cada malla.
Al aplicar la segunda regla de Kirchhoff hay que partir de un punto específico de la malla y hacer un seguimiento de ésta en una dirección consistente hasta volver al punto de partida. La elección de una dirección de seguimiento es arbitraria; sin embargo, una vez establecida se convierte en la dirección positiva ( + ) para la convención de signos. (Las direcciones de seguimiento de las tres mallas de nuestro ejemplo están indicadas en la figura 3.) Se aplican las siguientes convenciones de signos:
- Cuando se suman las fems en toda una malla, el valor asignado a la fem es positivo si su salida (véase el paso 3) coincide con la dirección del seguimiento; se considera negativo si la salida es en contra de esa dirección.
- Una caída de potencial IR se considera positiva cuando se supone que la comente sigue la dirección del seguimiento y negativa cuando se supone que se opone a ella.
Fig 4 Convención de los signos para la ley de Kirchhoff
Vamos a aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada malla del ejemplo.
Malla 1 Partiendo del punto m y en un seguimiento contra las manecillas del reloj se tiene
$$- \mathcal {E}_1 + \mathcal {E}_2 = - I_1 R_1 + I_2 R_2 \qquad \qquad (3)$$
Malla 2 Partiendo del punto m y en un seguimiento contra las manecillas del reloj se tiene
$$\mathcal {E}_3 + \mathcal {E}_2 = I_3 R_3 + I_2 R_2 \qquad \qquad (4)$$
Malla 3 Partiendo del punto m y haciendo el seguimiento contra las manecillas del reloj
se tiene
$$\mathcal {E}_3 + \mathcal {E}_1 = I_3 R_3 + I_1 R_1 \qquad \qquad (5)$$
EJEMPLO 2 Determina las corrientes desconocidas que se muestran en la figura 5 usando las leyes de Kirchhoff.
Fig 5
SOLUCIÓN 2
EJEMPLO 3 En el circuito que se ilustra en la figura 6, una fuente de energía eléctrica de 12 V con resistencia interna desconocida r está conectada a una batería recargable descargada con fem $\mathcal {E}$ desconocida y resistencia interna de 1 V, y a una bombilla indicadora con resistencia de 3 V que transporta una corriente de 2 A. La corriente a través de la batería descargada es igual a 1 A en el sentido que se indica. Calcula la corriente desconocida I, la resistencia interna r y la fem $\mathcal {E}$.
Fig 6. Ejemplo 3
SOLUCIÓN 3
Ley de ohmio formula comleta
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