Distribuciones de carga

DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Ya vimos como calcular las fuerzas debido a cargas puntuales, sin embargo, en muchos caso, las fuerzas son debido a objetos cargados, como varillas, placas, sólidos, etc.
Por supuesto que para analizar este tipo de objetos, será necesario hacer consideraciones especiales, como la gran mayor de las veces se hace en un experimento, en la vida real, así que consideraremos que los objetos son aislantes y que la carga se esparce por su superficie o volumen, formando lo que se conoce como una distribución continua de carga.
Es importante recordar que la ley de Coulomb solo se aplica a cargas puntuales, así que no podremos emplearla en esta forma para calcular la fuerza que una varilla cargada ejerce sobre otra.
Como casi siempre, tendremos que valernos de lo que otros han hecho para simplificar nuestro trabajo.
Benjamin Franklin concebía la carga como una propiedad continua y esto consistía en dividir en muchos elemento pequeños $dq$.  Cada uno posee cierta longitud, superficie o volumen, según que consideremos cargas que se distribuyen, respectivamente, en una, dos o tres dimensiones.
expresamos $dq$ en función del tamaño del elemento y de la densidad de carga que describe cómo se distribuyen las cargas en la longitud, superficie o volumen del objeto.

Cuando las cargas se distribuyen dimensión, como delgadas varillas cargadas, en este caso se expresa $dq$ atendiendo a la densidad lineal de carga (carga por unidad de longitud) $\lambda$, cuya unidad básica es $C/m$.  Un elemento pequeño de la varilla con una longitud $dx$ dad por:
$$dq = \lambda dx \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$$Si la varilla presenta una carga uniforme de modo que una carga total $q$ se distribuye uniformemente  por su longitud $L$, entonces $\lambda = q / L$

Si la carga está distribuida en una superficie bidimensional, digamos, la superficie de un disco, en este caso, $dq$ se expresa a partir de la densidad superficial de carga (carga por unidad de superficie) $\sigma$.  Se mide en la unidad de $C/m^2$ del SI, así que un elemento pequeño de la superficie $dA$ tendría una carga dada por
$$dq = \sigma \ dA \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$$
Si una carga $q$ se distribuye uniformemente en una área de superficie $A$, entonces $\sigma = q/A$

La carga también se puede distribuirse en todo el volumen de un objeto tridimensional. En este caso se utiliza la densidad volumétrica (carga por unidad de volumen)  $\rho$. en el sistema SI la unidad es  $C/m^3$.  La carga $dq$ en un elemento de volumen $dV$ será
$$dq = \rho\ dV \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$$ Si la carga se distribuye uniformemente en todo el volumen $V$, entonces $\rho = q/V$

Ahora vamos aplicar lo dicho anteriormente para calcular la fuerza sobre una carga puntual $q_{0}$ que ejerce una distribución de carga continua.
El procedimiento con que se calcula la fuerza que este tipo de distribución y ejerce sobre una carga puntual es el siguiente:

1. Suponemos que la distribución continua está dividida en muchos elementos pequeños de carga.
2. Seleccionamos un elemento arbitrario y se expresa su carga $dq$ a partir de las ecuaciones, 1, 2 o 3, según se distribuya en una línea, en una superficie o volumen respectivamente.
3. Como $dq$ es infinitesimalmente pequeña, se la trata como una carga puntual.  Se expresa la magnitud del elemento de fuerza $dF$ ejercido por la carga $dq$ sobre la carga $q_{0}$ en función de la ley de Coulomb.
   $$dF = \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}}\frac {|dq||q_{0}|}{r^2}$$
   Donde $r$  es la distancia entre $dq$ y $q_{0}$. 
4. se tienen en cuenta los signos y la distancia de $dq$ y de $q_{0}$ para determinar la dirección del elemento  de fuerza $d \vec {\textbf F}$.
5. Luego se calcula la fuerza total, sumando todos sus elementos infinitesimales, que implica la integral
   $$\vec {\textbf F} = \int {d \vec {\textbf F}} \qquad \qquad \qquad (4)$$

Al calcular esta integral se necesita normalmente recordar que los elementos de carga $dq$ pueden producir elementos de fuerza $d \vec {\textbf F}$ en diversas direcciones.  La ecuación 4, en realidad significa tres ecuaciones distintas para los tres componentes de $\vec {\textbf F}$:

$$F_{x} = \int d F_{x}, \qquad \qquad F_{y} = \int d F_{y}, \qquad \qquad F_{z} = \int d F_{z}$$

EJEMPLO 1   Obtén la fuerza que actúa sobre una carga puntual positiva $q$  situada a una distancia $a$  del extremo de una varilla de longitud $L$, con una carga positiva $q$ distribuida uniformemente.

Fig. 1- Gráfica del problema 1. Distribución lineal

SOLUCIÓN 1  Como les comenté, primeramente se debe hacer una gráfica relativo al problema. etiquetando correctamente todo.
Acto seguido, se dividirá la varilla en pequeñas longitudes diferenciales $dr$ y se encuentra su diferencial de carga $dq$ para esa pequeña parte mostrada en la gráfica que hicimos.
$$dq =  \lambda \ dr$$  Pero como conocemos la carga total de la varilla, así como su longitud tendremos que:
$$\lambda = \frac {Q}{L}$$ Y ahora tenemos que
$$dq = \frac {Q}{L} \ dr$$
Cada una longitud diferencial de carga contribuye con un diferencial de fuerza expresado como:
$$dF = \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac {q \ dQ}{r^2}dr = \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac{q \ Q}{r^2 \ L} dr $$
Y ahora integramos
$$F = \int dF = \int _x^{x + L} \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac {q \ Q}{r^2\ L} dr$$
$$F =  \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac{q \ Q}{L} \int _x^{x + L} \frac {1}{r^2} dr$$
$$F =  \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac{q \ Q}{L} \Big [ - \frac {1}{r}\Big ]_{x}^{x + L}$$
$$F =  \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac{q \ Q}{L} \Big [ - \frac {1}{x + L } + \frac {1}{x}\Big ]$$
$$\boxed {\color {red} {F =  \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac{q \ Q}{L} \Big [ \frac {1}{x} - \frac {1}{x + L } \Big] } } $$

PROBLEMA 2  Encuentra la fuerza que la barra de carga $q$  y de longitud $L$ de la figura 2 ejerce sobre la carga puntual positiva $q_{0}$

Fig, 2.  Gráfica del problema 2. Distribución lineal

SOLUCIÓN 2  Lo primero que debemos notar es que este sistema está en  $\mathbb R^3$  y aunque el problema no lo especifica, vamos a suponer que su carga está distribuida uniformemente de modo que la densidad lineal de carga es $\lambda = q\ / \ L$.
Como queremos calcular la fuerza que la varilla ejerce sobre la carga puntual positiva $q_{0}$ ubicada en la bisectriz perpendicular de la varilla (eje positivo y) a una distancia y de su centro.
Cuidado. No confundir el eje y con la distancia $y$ a la que se encuentra la carga puntual.
Aplicando la ley de Coulomb en forma diferencial para la carga diferencial $dq = \lambda \ dz$ de la varilla y la carga puntual $q_{0}$ tenemos:
$$dF = \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \ \frac{q_{0} \ dq}{r^2}$$
En la gráfica se muestra la dirección de $d \vec {\textbf F}$ y se puede observar que este diferencial de fuerza no tiene componentes es la dirección de $x$, así que $F_{x} = 0$ y también se puede acudir a un argumento de simetría para mostrar que $F_{z} = 0$ ya que por cada elemento $dq$ ubicado en la posición de $+ z$ hay otro elemento de carga en $- z$ los cuales al sumarse, estos se anularan, así que solo nos queda calcular
$$dF_{y} = dF \ cos \theta$$ Pero sabemos que $dq = \lambda \ dz$, ademas que $r^2 = y^2 + z^2$   y   $cos \theta = y /  r = y / \sqrt {y^2 + z^2}$. Por lo que
$$dF_{y} = dF \ cos \theta = \frac{1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac {q_{0} \lambda dz}{(y^2 + z^2)} \frac {y}{\sqrt {y^2 + z^2}}$$  Como se va a integrar con respecto a $z$, sacamos de la integral lo que no dependa de $Z$
$$F_{y} = \int d F_{y} =  \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} q_{0} y \lambda \int_{- L/2}^{L/2} \frac {dz}{(y^2 + z^2)^{3/2}}$$
Aquí les dejaré la solución de esta integral, pero ustedes deben de buscar el método usado para resolver esta integral:
$$\int \frac {dz}{(y^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{z}{y^2 \sqrt{y^2 + z^2}}$$
Así que nuestra solución será:
$$F_{y} =   \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} q_{0} y \lambda \Big [\frac{z}{y^2 \ \sqrt{y^2 + z^2 }} \Big ]_{-L/2}^{L/2} = $$
$$F_{y} =   \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} q_{0} y \lambda \Bigg [\frac{L/2}{y^2 \ \sqrt{y^2 + (L/2)^2 }}   -  \frac{- L/2}{y^2 \ \sqrt{y^2 + ( - L/2)^2 }}\Bigg] $$
$$F_{y} =   \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac {q_{0} y \lambda}{y^2 } \Bigg [\frac{L/2}{ \sqrt{y^2 + (L/2)^2 }}   +  \frac{L/2}{ \sqrt{y^2 + ( - L/2)^2 }}\Bigg] $$
$$F_{y} =   \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac {q_{0} \lambda \ L}{y  \sqrt{y^2 + (L/2)^2 }} $$ Pero sabemos que $\lambda = q/L$, así que
$$F_{y} =   \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac {q_{0} (q/L) \ L}{y  \sqrt{y^2 + (L/2)^2 }} $$ Y finalmente tenemos la solución:
$$ \boxed {\color {red}{F_{y} =   \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac {q_{0} q}{y  \sqrt{y^2 + L^2/4 }} }}$$

Ya tenemos dos configuraciones de distribución lineal de carga, ahora veremos un tercer caso, y es cuando la carga está distribuida en un anillo.

PROBLEMA 3  Encontrar la fuerza ejercida por un anillo delgado de radio $R$ y carga neta uniformente distribuida $q$ sobre una carga puntual $q_{0}$, como se muestra en la figura 3.

Fig. 3.  Gráfica del problema 3. Distribución lineal


SOLUCIÓN 3   Como se aprecia en la figura, el anillo tiene un radio $R$ y tiene una carga positiva $q$ que está uniformemente distribuida a lo largo del anillo, por lo que su densidad de carga lineal es $\lambda = q/(2\pi R)$.
Como queremos calcular la fuerza que ejerce el anillo sobre la carga puntual positiva $q_{0}$ ubicada en el eje del anillo.  Recordando nuestros tempranos días de cuando batallábamos con la trigonometría pero que al menos nos dejo de recuerdo que la longitud de un arco subtendido por un ángulo $\phi$ y radio $R$, está dado por:  $ds = R \phi$ y la carga de este segmento está dado por:  $dq = \lambda ds = \lambda R d\phi$, así que el diferencial de fuerza $dF$ ejercido sobre $q_{0}$ por $dq$ es:
$$dF = \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac {q_{0} dq}{r^2} = \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac{q_{0} \lambda R d \phi}{(z^2 + R^2)^2}$$
Podemos valernos del argumento de simetría de que para cualquier segmento en el anillo, habrá en el lado opuesto otro segmento que anulará su componente horizontal dando como resultado que las únicas componente que contribuyen a la fuerza total, son las componentes sobre el eje $z$.así que:
$$F_{z} = \int dF_{z} = \int cos \theta \ dF = $$
$$ = \int \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac {z}{\sqrt{z^2 + R^2}} \frac {q_{0} \ dq}{(z^2 + R^2)}$$
$$ = \int \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}} \frac {z}{\sqrt{z^2 + R^2}} \frac {q_{0} \ \lambda  R d\phi}{(z^2 + R^2)}$$
$$ = \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}}  \frac {q_{0}\lambda  R\ z}{(z^2 + R^2)^{3/2}}  \Big [ \phi  \Big ]_{0}^{2\ \pi}$$  Evaluando y sustituyendo el valor de $\lambda$
$$ = \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}}  \frac {q_{0}(q/2 \pi R)  R\ z}{(z^2 + R^2)^{3/2}}  (2 \pi - 0)$$
$$\boxed{\color {red} { F_{z} = \frac {1}{4 \ \pi \ \epsilon_{0}}  \frac {q_{0}\ q \ z}{(z^2 + R^2)^{3/2}}    } } $$


TAREA 2

1. Resuelve la integral
   $$\int \frac {dz}{(y^2 + z^2)^{3/2}}$$
   
2. Resuelve el problema 2, pero ahora considerando que la mitad de la barra tiene carga positiva y la mitad de abajo tiene carga negativa.
   
3. Si en el problema 3, en lugar de un anillo se tuviese un disco con los mismos datos de dicho problema, ¿cual sería la fuerza que el disco ejercerá sobre la carga prueba?