Ecuación de Cauchy-Euler

Hasta ahora, hemos hecho énfasis en las ecuaciones lineales con coeficientes constantes porque existe un procedimiento sistemático para resolver tales ecuaciones. Sin embargo, no hay ningún procedimiento análogo para resolver ecuaciones lineales con coeficientes variables, salvo para algunos tipos.

Un tipo de ecuación diferencial lineal que es adecuado tratar (porque siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes constantes) es la ecuación de Euler (también llamada ecuación de Cauchy-Euler o ecuación equidimensional), que se expresa como:
$$ax^2 y'' + bxy' + cy  =  f(x)\qquad \qquad (1)$$
donde a, b y c son constantes.* La característica distintiva de esta ecuación es que el coeficiente de $y$ es una constante, el coeficiente de $y'$ es una constante multiplicada  por $x$  y, en general, el coeficiente de la n-ésima derivada de $y$ es un múltiplo constante de la potencia $n$  de  $x$.   Es decir, cada término en el lado izquierdo es de la forma $Cx^n y^{(n)}$ donde C es una constante cualquiera. 
La ecuación de Euler puede escribirse en la forma estándar dividiendo cada término entre el coeficiente de la derivada de orden superior,
$$y'' + \frac{b}{ax}y' +  \frac{c}{ax^2}y = F(x), \quad x\neq 0 \qquad \qquad(2)$$
donde $F(x) = r(x)/x^2$  . Es claro que los coeficientes de esta ecuación no son continuos en $x = 0$   y, por tanto, debemos excluir este punto de cualquier intervalo para que los teoremas fundamentales sean aplicables. Así mismo, para evitar la molestia de un signo de valor absoluto, solo consideraremos el intervalo $x > 0, a menos que se especifique lo contrario.
La solución para la ecuación de Cauchy-Euler, se obtiene, primeramente haciendo la suposición de una solución a esta ecuación.
Como ya habíamos hecho una suposición similar basados en su formato de los coeficientes de $y$  y sus derivadas, también aquí podemos hacer lo mismo.
Si observamos, esta ecuación tiene como coeficiente $x^n$  por lo que es de esperarse que su solución puede ser del tipo $y = x^m$de donde necesitaremos encontrar el valor de $m$.
Para resolver esta situación,  obtenemos $y',  y''$, etc.  y los sustituimos en la (1)
$y = x^m,\quad y' = mx^{m\ -\ 1}, \quad y'' = m(m\ -\ 1)x^{m\ -\ 2}$,  así que sustituimos estos valores en (1)
$$ax^2[m(m\ -\ 1)x^{m\ -\ 2}]  +  bx[mx^{m\ -\ 1}]  +c[x^m]$$$$am(m\ -\ 1)x^{2\ +\ m\ -\ 2} + bmx^{1\ +\ m\ -\ 1} +  cx^m  =  f(x)$$$$[am(m\ -\ 1) + bm + c] x^m = f(x)$$
Empezaremos por la función homogénea de Cauchy-Euler, además como no estamos interesados en la solución trivial de esta ecuación, esto es:  $x = 0$, por lo tanto $x^m$  no debe ser ser cero y lo que es cero, debe ser lo que está entre corchetes
$$[am(m\ -\ 1) + bm + c] = 0$$$$an^2 - am + bm + c = 0$$$$am^2 + (b - a)m  + c = 0$$Observamos que es esta ecuación se puede resolver de manera algebraica usando factorización y si no se puede, usamos la ecuación general cuadrática, mejor conocida en el bajo mundo como "La Chicharronera"
$$m_{1,\ 2} = \frac{- (b\ -\ a) \pm \sqrt {(b\ -\ a)^2 - 4ac}}{2a}$$
Como  es de esperarse, tendremos 3 casos en esta preclara ecuación considerando a $D = (b\ -\ a)^2 - 4ac$

Caso 1  D > 0   Dos soluciones reales
Nuestra ecuación entonces será del tipo
$$y(x) = C_1 x^{m_1}  +  C_2 x^{m_2}$$

EJEMPLO 1
Resolver la ecuación:  $x^2y'' - xy' + y = 0$

SOLUCIÓN  1
Recordemos que esta ecuación la podemos resolver con  su  ecuación característica:



EJEMPLO 1


SOLUCIÓN  1



EJEMPLO 1


SOLUCIÓN  1





EJEMPLO 1


SOLUCIÓN  1




EJEMPLO 1


SOLUCIÓN  1




EJEMPLO 1


SOLUCIÓN  1



TAREA  XX  del viernes  5  de octubre de 2018  al  viernes 12 de octubre 
Resolver las siguiente ecuaciones 
1.   $x^2 y''  -  xy  + y = 8 x^3$  ( la que quedó pendiente de la clase del viernes)
2.   $x^2y'' + xy'  + 4y  =  10x$
3.   $x^3 y'' -  2 xy  = 6 Ln|x|$  (Ojo,  no es error el $x^3$)
4.   $(x + 2)^2 y'' - 4(x + 2)y' + 6y = 0$
5.   $x^2 y''  -  xy'  -  3y  =  - \frac{16 Ln|x|}{x}$
6.   $x^2 y''  +  xy'  -  y  = x^m, \qquad |m| \neq 1$
7.   $x^2 y''  +  xy'  + 2y = 2 Ln^2|x|  + 12 x$

Nota   Con lo que hemos visto ya pueden resolver esta tarea, pero estaré actualizando ya este tema y pondré algunos ejemplos que puedan ayudarlos a la resolución de problemas. en el trascurso de esta semana 8 al 12 de octubre de 2018 estaré actualizando estos temas.