$$ a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0) ^ 2 + a_3 (x - x_0) ^ 3 + \cdots = \sum_ {n = 0} ^ \infty a_n (x - x_0) ^ n \qquad (1) $$
Donde $a_0, a_1, a_2, ...$ son constantes y se les conoce como coeficientes de la serie de potencias. A $\color{red}{\textbf x_0}$ se le conoce como el centro de la serie.
Así, la serie $\sum_{n = 0}^\infty (x + 1)^n$ está centrada en $x_0 = - 1$
Vamos a considerar en este curso que nuestro centro de la serie sera $x_0 = 0$, por lo que con esta condición su forma sería ahora:
Así, la serie $\sum_{n = 0}^\infty (x + 1)^n$ está centrada en $x_0 = - 1$
Vamos a considerar en este curso que nuestro centro de la serie sera $x_0 = 0$, por lo que con esta condición su forma sería ahora:
$$ a_0 + a_1 x + a_2 x ^ 2 + a_3 x ^ 3 + \cdots = \sum_ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n \qquad \qquad (2) $$
SERIES E INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Toda función $y = f(x)$ se puede expresar como una serie de Taylor, esto es, de la forma
$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{1 \cdot 2} (x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{1 \cdot 2 \cdot 3} (x - x_0)^3 + \cdots \quad (3)$$
Que como se observa, esta debe tener una condición inicial y de ahí se pueden deducir las demás, como se puede apreciar en el siguiente ejemplo
Tal vez se estén preguntando, y ¿cómo se puede usar la serie de Taylor para resolver una ecuación diferencial?
Una ecuación nos dice mucho más de lo que a primera vista vemos. Si analizamos cualquier fórmula nos vamos a dar cuenta de que tienen, muchas veces, más información de la que imaginamos.
Observemos que la serie de Taylor relaciona una función y un infinito de derivadas de ésta.
Si tenemos una ecuación del tipo $y' + ay = f(x) ^*$ la solución de esta es encontrar $y(x)$ observen que a serie de taylor puede encontrar una aproximación de $y(x)$ con la condición de que se tengan $y'(0),\ y'(0),\ y''(0),\ y'''(0),\ ....$. La ecuación diferencial ya tiene una derivada, pero es necesario que se tengan valores iniciales de la función incógnita $y(0)$ y de las derivadas de esta hasta la derivada anterior a la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial.
En nuestro caso, la derivada mayor es uno (1) por lo que no hay derivada antes de esta pero si esta la función $y(x))$, que se debe tener la condición inicial de esta-
A continuación pongo una tabla de esta relación
Y se preguntarán, ¿de donde sacaremos las otras derivadas de la función si solo tenemos las que están en la ecuación diferencial?.. pues derivándola tantas veces como sea necesario y dándoles condiciones iniciales.
Veamos esto con unos ejemplos para que quede más claro.
* No confundir f(y) con $y$ que es costumbre considerar $f(x) = y$
EJEMPLO 1 Usa la serie de Taylor para hallar la integración aproximada de la ecuación:
$$y' = x^2 + y^3$$Con la condición inicial $y(0) = 1$. Aproximar hasta los cuatro primeros términos diferentes de cero.
SOLUCIÓN 1
Lo primero que tenemos que hacer es encontrar, son los valores de las derivadas de $y$ con el dato inicial, ademas de que ya tenemos el término:
$$\color {blue}{\textbf{y(0) = 1} }$$$$y'(0) = (0)^2 + (1)^3 = 0 $$$$\color {blue}{\textbf{y'(0) = 1} }$$Para encontrar las siguientes derivadas para usarlas en la fórmula de Taylor, tendremos que derivar la ecuación original tantas veces como sea necesario.
$$y'' = 2 x + 3 y^2 y'$$$$y''(0) = 2(0) + 3(1)^2(1)$$$$\color {blue}{\textbf{y''(0) = 3} }$$Observemos que se deriva la función y se va evaluando en $x = 0$
$$y''' = 2 + 3y^2 (y'') + (6yy')y'$$$$y'''(0) = 2 + 3(1)^2(3) + 6(1)(1)(1)$$$$\color {blue}{\textbf{y''(0) = 17} }$$Como ya tenemos los 4 términos diferentes de cero, procedemos a formar la serie de Taylos con estos datos
$$y(x) = f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{1 \cdot 2} (x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{1 \cdot 2 \cdot 3} (x - x_0)^3 + \cdots$$$$ = 1 + x + \frac{3}{1 \cdot 2} x^2 + \frac{17}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3 + \cdots $$$$\boxed{\ \ \ y(x) = 1 + x + \frac{3}{2} x^2 + \frac{17}{6} x^3 + \cdots \ \ \ }$$
EJEMPLO 2 Usa la serie de Taylor para hallar la integración aproximada de la ecuación
$$y'' = x + y^2 $$Con las condiciones iniciales $y(0) = 0$ y $y'(0) = 1$. Hallar los primeros 5 términos diferentes de cero.
SOLUCIÓN 2
ya tenemos
$$\color {blue}{\textbf{y(0) = 0} }$$$$\color {blue}{\textbf{y'(0) = 1} }$$Y procedemos a encontrar los demás términos
$y''(0) = 0 + (0)^2 $
$$\color {blue}{\textbf{y''(0) = 0} }$$
$y''' = 1 + 2yy'$
$y'''(0) = 1 + 2(0)(1)$
$$\color {blue}{\textbf{y'''(0) = 1} }$$
$y^{(IV)} = 2y(y'') + (2y')y' = 2yy'' + 2(y')^2$
$y^{(IV)} = 2(0)(0) + 2(1)^2$
$$\color {blue}{y^{(IV)}(0) = 2} $$
$y^{(V)} = 2y(y''') + (2y')y'' + 4y' y'' = 2yy''' + 6y'y''$
$y^{(V)}(0) = 2(0)(1) + 6 (1)(0)$
$$\color {blue}{y^{(V)}(0) = 0} $$
$y^{(VI)} = 2y(y^{(IV)}) + (2y')y''' + 6y'(y''') + (6y'')y'' = 2yy^{(IV)} + 8y'y''' + 6(y'')^2$
$y^{(VI)}(0) = 2(0)(1) + 8(1)(1) + 6(0)^2$
$$\color {blue}{y^{(VI)}(0) = 8} $$
$y^{(VII)} = 2y(y^{(V)}) + (2y')y^{(IV)} + 8y'(y^{(IV)}) + (8y'')y''' + 12y''y''' = 2yy^{(V)} + 10y'y^{(IV)} + 8y''y''' + 12y''y'''$$y^{(VII)}(0) = 2(0)(0) + 10(1)(2) + 8(0)(1) + 12(0)(1)$
$$\color {blue}{y^{(VII)}(0) = 20} $$Así que tenemos
$$ f (x) = f (x_0) + f '(x_0) (x - x_0) + \frac {f' '(x_0)} {1 \cdot 2} (x - x_0) ^ 2 + \frac { f '' '(x_0)} {1 \cdot 2 \cdot 3} (x - x_0) ^ 3 + \cdots $$
$$ y (t) = (0) + (1) x + \Big (\frac {0} {2!} \Big) x ^ 2 + \Big (\frac {1} {3!} \Big) x ^ 3 + \Big (\frac {2} {4!} \Big) x ^ 4 + \Big (\frac {0} {5!} \Big) x ^ 5 + \Big (\frac {8} {6!} \Big) x ^ 6 + \Big (\frac {20} {7!} \Big) x ^ 7 + \cdots $$
$$ \boxed {\ \ \ y (t) = x + \frac {1} {3!} x ^ 3 + \frac {2} {4!} x ^ 4 + \frac {8} {6!} x ^ 6 + \frac {20} {7!} x ^ 7 + \cdots \ \ \ } $$
CARACTERÍSTICAS DE LAS SERIES DE POTENCIAS
Aquí nos enfocaremos en la series de potencias centradas en $a = 0$ y a continuación esta resumidos algunas características de las series de potencias.
$\star$ Convergencia Una serie de potencias $\sum_{n = 0}^\infty a_n (x - x_0)^n$es convergente en un valor especificado de $x$ si su sucesión de sumas parciales {$S_N$ (x)} converge, es decir, si el $\lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^\infty a_n (x - x_0)^n$ existe. Si el límite no existe en $x$, entonces se dice que la serie es divergente.
$\star$ Intervalo de convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo de
convergencia. El intervalo de convergencia es el conjunto de todos los números reales $x$ para los que converge la serie.
$\star$ Radio de convergencia Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia $R$.
Si $R > 0$, entonces la serie de potencias $ \sum_ {n = 0} ^ \infty a_n (x - x_0) ^n$ converge para $| x - a | <R $ y diverge para $ | x - a | > R $. Si la serie converge sólo en su centro $a$, entonces $R = 0$. Si la serie converge para toda $x$, entonces se escribe $R = \infty$. Recuerden que la desigualdad de valor absoluto $| x – a | < R$ es equivalente a la doble desigualdad $a - R < x < a + R$. Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos $a - R$ y $a + R$ de este intervalo.
$\star$ Convergencia absoluta Dentro de su intervalo de convergencia, una serie
de potencias converge absolutamente. En otras palabras, si $x$ es un número en el intervalo de convergencia y no es un extremo del intervalo, entonces la serie de valores absolutos
$$\sum_{n = 0}^\infty \big| C_n (x - x_0)^n \big|$$
converge. Ver la figura 1.
$\star$ Prueba de la razón
La convergencia de una serie de potencias suele determinarse mediante el criterio de la razón. Supón que $C_n \neq 0$ para toda $n$ y que
$$\lim_{n\ \to \ \infty} \Bigg| \frac{C_{n + 1} (x - x_0)^{n + 1}}{C_n (x - x_0)^n} \Bigg| = |x - x_0|\lim_{n\ \to \ \infty}\Bigg| \frac{C_{n + 1}}{C_n} \Bigg| = L$$SI $L < 1$ la serie converge absolutamente; Si $L > 1$, la serie diverge y si $L = 1$, el criterio no es concluyente.
Por ejemplo, para la serie, checar que resultados nos da el criterio de la razón
$$\sum_{n\ =\ 1}^\infty \frac{(x - 3)^n}{2^n n}$$
SOLUCION
$$L = \lim_{n\ \to \infty} \left| \frac{ \frac{(x - 3)^{n + 1} }{2^{n+1} (n + 1)} } { \frac{(x - 3)^n}{2^n n } } \right| = \lim_{n\ \to \infty} \left| \frac{(x - 3)^{n + 1} 2^n n }{(x - 3)^n 2^{n+1} (n + 1) } \right|$$$$ L = |x - 3| \lim_{n\ \to \infty} \left| \frac{n }{2(n + 1) } \right| = \frac{1}{2}|x - 3| \lim_{n\ \to \infty} \left| \frac{1 }{\frac{n + 1}{n} } \right| = \frac{1}{2}|x - 3| \lim_{n\ \to \infty} \left| \frac{1 }{1 + \frac{1}{n} } \right| $$
Para x = 5
La cual es, una serie divergente en x = 5.
Por lo que su intervalo de convergencia final es: [1, 5)
Y su radio de convergencia es la mitad de la longitud de su intervalo de covergencia:
$$R = \frac{5 - 1}{2} = 2$$
$\star$ Una serie de potencias define una función
Una serie de potencias define una función $f(x) = \sum_{n\ =\ 0}^\infty C_n (x - x_0)^n$ cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie.
Si el radio de convergencia es $R > 0$, entonces $f$ es continua, derivable e integrable en el intervalo $(a - R, a + R)$. Además, $f '(x)$ y $\int f(x)dx$ se encuentran derivando e integrando término a término. La convergencia en un extremo se podría perder por derivación o ganar por integración.
Si $y = \sum_{n\ =\ 0}^\infty C_n x^n$ es una serie de potencias en x, entonces las primeras dos derivadas son
$$y' = \sum_{n\ =\ 0}^\infty n x^{n\ -\ 1} \qquad y \qquad y'' = \sum_{n\ =\ 0}^\infty n(n - 1)x^{n\ -\ 2}$$ Se puede observar que el primer término en la primera derivada y los dos primeros términos de la segunda derivada son cero. Se omiten estos términos cero y se escriben ahora como
$$\color {red}{y' = \sum_{n\ =\ 1}^\infty n x^{n\ -\ 1} } \qquad y \qquad \color {red}{y'' = \sum_{n\ =\ 2}^\infty n(n - 1)x^{n\ -\ 2}}$$
CORRIMIENTO DEL ÍNDICE DE LA SUMA Debido a que en este tema nos encontraremos con la suma de dos o mas series de potencias expresadas en notación de suma (sigma: $\sum$) y será necesario expresarlas en una sola $\sum$, será necesario modificar el índice de esta nueva sigma como lo veremos en el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 3 Re escribe la serie de potencias de modo que en su término general tenga $x^k$
$$\sum_{n =\ 1}^\infty 2nC_nx^{n + 2}$$
SOLUCIÓN 3
Como queremos que $x^{n + 2}$ sea ahora $x^k$. Como se puede ver que ahora la potencia depende de $k$ y no $n$, y sera necesario poner todas las $n's$ en función de $k$. esto es $k = n + 2$ o $n = k - 2$. Hagamos la sustitución pues:
$$\sum_{n \ \textbf = \ 1}^\infty 2nC_nx^{n + 2}$$$$\sum_{k\ \textbf -\ 2 =\ 1}^\infty 2(k - 2)C_{k - 2}x^k$$$$\boxed {\qquad \sum_{k\ \textbf =\ 3}^\infty 2(k\ \textbf - 2)C_{k\ \textbf - \ 2}x^k \qquad }$$
EJEMPLO 4 Escribe $$\sum_{n\ \textbf = \ 2}^\infty n(n - 1) C_n x^{n\ \textbf - \ 2}\ +\ \sum_{n\ \textbf = \ 0}^\infty C_n x^{n\ \textbf + \ 1} $$
Como una sola serie de potencias cuyo término general implique a $x^k$
SOLUCIÓN 4
Por supuesto que no podremos hacer nada hasta que ambas sumatorias tengan el mismo índice y la misma potencia de $x$.
k = n - 2 k = n + 1 n = k + 2 n = k - 1
En cada sumatoria, en la parte de abajo de la $x$ esta la sustitución que se hará para cada $n$ de cada sumatoria. Es importante notar que cada sumatoria tiene su sustitución por lo que no hay que mezclarlas. Ahora, ponemos a todas las n en función de k:
$$ = 2C_2 + \sum_{k + 2\ \textbf = \ 3}^\infty (k + 2)(k + 2 - 1) C_{k + 2} x^k\ +\ \sum_{k \textbf - 1\ \textbf = \ 0}^\infty C_{k - 1} x^k $$
$$ \boxed {\qquad \sum_{n\ \textbf = \ 2}^\infty n(n - 1) C_n x^{n\ \textbf - \ 2}\ +\ \sum_{n\ \textbf = \ 0}^\infty C_n x^{n\ \textbf + \ 1} = \color {blue} {2C_2 + \sum_{k \ \textbf = \ 1}^\infty [(k + 2)(k + 1) C_{k + 2} x^k\ +\ C_{k - 1}] x^k} \qquad } $$
Tal vez se estén preguntando, y ¿cómo se puede usar la serie de Taylor para resolver una ecuación diferencial?
Una ecuación nos dice mucho más de lo que a primera vista vemos. Si analizamos cualquier fórmula nos vamos a dar cuenta de que tienen, muchas veces, más información de la que imaginamos.
Observemos que la serie de Taylor relaciona una función y un infinito de derivadas de ésta.
Si tenemos una ecuación del tipo $y' + ay = f(x) ^*$ la solución de esta es encontrar $y(x)$ observen que a serie de taylor puede encontrar una aproximación de $y(x)$ con la condición de que se tengan $y'(0),\ y'(0),\ y''(0),\ y'''(0),\ ....$. La ecuación diferencial ya tiene una derivada, pero es necesario que se tengan valores iniciales de la función incógnita $y(0)$ y de las derivadas de esta hasta la derivada anterior a la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial.
En nuestro caso, la derivada mayor es uno (1) por lo que no hay derivada antes de esta pero si esta la función $y(x))$, que se debe tener la condición inicial de esta-
A continuación pongo una tabla de esta relación
Y se preguntarán, ¿de donde sacaremos las otras derivadas de la función si solo tenemos las que están en la ecuación diferencial?.. pues derivándola tantas veces como sea necesario y dándoles condiciones iniciales.
Veamos esto con unos ejemplos para que quede más claro.
* No confundir f(y) con $y$ que es costumbre considerar $f(x) = y$
EJEMPLO 1 Usa la serie de Taylor para hallar la integración aproximada de la ecuación:
$$y' = x^2 + y^3$$Con la condición inicial $y(0) = 1$. Aproximar hasta los cuatro primeros términos diferentes de cero.
SOLUCIÓN 1
Lo primero que tenemos que hacer es encontrar, son los valores de las derivadas de $y$ con el dato inicial, ademas de que ya tenemos el término:
$$\color {blue}{\textbf{y(0) = 1} }$$$$y'(0) = (0)^2 + (1)^3 = 0 $$$$\color {blue}{\textbf{y'(0) = 1} }$$Para encontrar las siguientes derivadas para usarlas en la fórmula de Taylor, tendremos que derivar la ecuación original tantas veces como sea necesario.
$$y'' = 2 x + 3 y^2 y'$$$$y''(0) = 2(0) + 3(1)^2(1)$$$$\color {blue}{\textbf{y''(0) = 3} }$$Observemos que se deriva la función y se va evaluando en $x = 0$
$$y''' = 2 + 3y^2 (y'') + (6yy')y'$$$$y'''(0) = 2 + 3(1)^2(3) + 6(1)(1)(1)$$$$\color {blue}{\textbf{y''(0) = 17} }$$Como ya tenemos los 4 términos diferentes de cero, procedemos a formar la serie de Taylos con estos datos
$$y(x) = f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{1 \cdot 2} (x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{1 \cdot 2 \cdot 3} (x - x_0)^3 + \cdots$$$$ = 1 + x + \frac{3}{1 \cdot 2} x^2 + \frac{17}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3 + \cdots $$$$\boxed{\ \ \ y(x) = 1 + x + \frac{3}{2} x^2 + \frac{17}{6} x^3 + \cdots \ \ \ }$$
EJEMPLO 2 Usa la serie de Taylor para hallar la integración aproximada de la ecuación
$$y'' = x + y^2 $$Con las condiciones iniciales $y(0) = 0$ y $y'(0) = 1$. Hallar los primeros 5 términos diferentes de cero.
SOLUCIÓN 2
ya tenemos
$$\color {blue}{\textbf{y(0) = 0} }$$$$\color {blue}{\textbf{y'(0) = 1} }$$Y procedemos a encontrar los demás términos
$y''(0) = 0 + (0)^2 $
$$\color {blue}{\textbf{y''(0) = 0} }$$
$y''' = 1 + 2yy'$
$y'''(0) = 1 + 2(0)(1)$
$$\color {blue}{\textbf{y'''(0) = 1} }$$
$y^{(IV)} = 2y(y'') + (2y')y' = 2yy'' + 2(y')^2$
$y^{(IV)} = 2(0)(0) + 2(1)^2$
$$\color {blue}{y^{(IV)}(0) = 2} $$
$y^{(V)} = 2y(y''') + (2y')y'' + 4y' y'' = 2yy''' + 6y'y''$
$y^{(V)}(0) = 2(0)(1) + 6 (1)(0)$
$$\color {blue}{y^{(V)}(0) = 0} $$
$y^{(VI)} = 2y(y^{(IV)}) + (2y')y''' + 6y'(y''') + (6y'')y'' = 2yy^{(IV)} + 8y'y''' + 6(y'')^2$
$y^{(VI)}(0) = 2(0)(1) + 8(1)(1) + 6(0)^2$
$$\color {blue}{y^{(VI)}(0) = 8} $$
$y^{(VII)} = 2y(y^{(V)}) + (2y')y^{(IV)} + 8y'(y^{(IV)}) + (8y'')y''' + 12y''y''' = 2yy^{(V)} + 10y'y^{(IV)} + 8y''y''' + 12y''y'''$$y^{(VII)}(0) = 2(0)(0) + 10(1)(2) + 8(0)(1) + 12(0)(1)$
$$\color {blue}{y^{(VII)}(0) = 20} $$Así que tenemos
$$ f (x) = f (x_0) + f '(x_0) (x - x_0) + \frac {f' '(x_0)} {1 \cdot 2} (x - x_0) ^ 2 + \frac { f '' '(x_0)} {1 \cdot 2 \cdot 3} (x - x_0) ^ 3 + \cdots $$
$$ y (t) = (0) + (1) x + \Big (\frac {0} {2!} \Big) x ^ 2 + \Big (\frac {1} {3!} \Big) x ^ 3 + \Big (\frac {2} {4!} \Big) x ^ 4 + \Big (\frac {0} {5!} \Big) x ^ 5 + \Big (\frac {8} {6!} \Big) x ^ 6 + \Big (\frac {20} {7!} \Big) x ^ 7 + \cdots $$
$$ \boxed {\ \ \ y (t) = x + \frac {1} {3!} x ^ 3 + \frac {2} {4!} x ^ 4 + \frac {8} {6!} x ^ 6 + \frac {20} {7!} x ^ 7 + \cdots \ \ \ } $$
CARACTERÍSTICAS DE LAS SERIES DE POTENCIAS
Aquí nos enfocaremos en la series de potencias centradas en $a = 0$ y a continuación esta resumidos algunas características de las series de potencias.
$\star$ Convergencia Una serie de potencias $\sum_{n = 0}^\infty a_n (x - x_0)^n$es convergente en un valor especificado de $x$ si su sucesión de sumas parciales {$S_N$ (x)} converge, es decir, si el $\lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^\infty a_n (x - x_0)^n$ existe. Si el límite no existe en $x$, entonces se dice que la serie es divergente.
$\star$ Intervalo de convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo de
convergencia. El intervalo de convergencia es el conjunto de todos los números reales $x$ para los que converge la serie.
$\star$ Radio de convergencia Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia $R$.
Si $R > 0$, entonces la serie de potencias $ \sum_ {n = 0} ^ \infty a_n (x - x_0) ^n$ converge para $| x - a | <R $ y diverge para $ | x - a | > R $. Si la serie converge sólo en su centro $a$, entonces $R = 0$. Si la serie converge para toda $x$, entonces se escribe $R = \infty$. Recuerden que la desigualdad de valor absoluto $| x – a | < R$ es equivalente a la doble desigualdad $a - R < x < a + R$. Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos $a - R$ y $a + R$ de este intervalo.
$\star$ Convergencia absoluta Dentro de su intervalo de convergencia, una serie
de potencias converge absolutamente. En otras palabras, si $x$ es un número en el intervalo de convergencia y no es un extremo del intervalo, entonces la serie de valores absolutos
$$\sum_{n = 0}^\infty \big| C_n (x - x_0)^n \big|$$
converge. Ver la figura 1.
Fig. 1 Convergencia absoluta
$\star$ Prueba de la razón
La convergencia de una serie de potencias suele determinarse mediante el criterio de la razón. Supón que $C_n \neq 0$ para toda $n$ y que
$$\lim_{n\ \to \ \infty} \Bigg| \frac{C_{n + 1} (x - x_0)^{n + 1}}{C_n (x - x_0)^n} \Bigg| = |x - x_0|\lim_{n\ \to \ \infty}\Bigg| \frac{C_{n + 1}}{C_n} \Bigg| = L$$SI $L < 1$ la serie converge absolutamente; Si $L > 1$, la serie diverge y si $L = 1$, el criterio no es concluyente.
Por ejemplo, para la serie, checar que resultados nos da el criterio de la razón
$$\sum_{n\ =\ 1}^\infty \frac{(x - 3)^n}{2^n n}$$
SOLUCION
$$L = \lim_{n\ \to \infty} \left| \frac{ \frac{(x - 3)^{n + 1} }{2^{n+1} (n + 1)} } { \frac{(x - 3)^n}{2^n n } } \right| = \lim_{n\ \to \infty} \left| \frac{(x - 3)^{n + 1} 2^n n }{(x - 3)^n 2^{n+1} (n + 1) } \right|$$$$ L = |x - 3| \lim_{n\ \to \infty} \left| \frac{n }{2(n + 1) } \right| = \frac{1}{2}|x - 3| \lim_{n\ \to \infty} \left| \frac{1 }{\frac{n + 1}{n} } \right| = \frac{1}{2}|x - 3| \lim_{n\ \to \infty} \left| \frac{1 }{1 + \frac{1}{n} } \right| $$
$$L = \frac{1}{2} |x - 3| $$Si hacemos L < 1 hacemos que haya convergencia absoluta, por tanto
$$\frac{1}{2} |x - 3| < 1$$Esto nos da una doble desigualdad, pero primero tenemos que dejar la cantidad en barras de valor absoluto sola, sin ningún coeficiente
$$|x - 3| < 2$$Y aplicamos la doble desigualdad
$$- 2 < x - 3 < 2$$$$1 < x < 5$$
Así, el intervalo de convergencia es: (1, 5), hay convergencia absoluta en este intervalo, pero no podemos decir aun nada en sus extremos 1 y 5.
Para saber lo que se hace es sustituir el valor de $x$ en la serie y se puede saber si hay o no convergencia por ejemplo.
Para x = 1
$$\sum_{n\ =\ 1}^\infty \frac{(1 - 3)^n}{2^n n} = \sum_{n\ =\ 1}^\infty \frac{(- 2)^n}{2^n n} = \sum_{n\ =\ 1}^\infty \frac{(- 1)^n}{n} =$$$$= -1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \cdots$$
Como es una serie alternante de fracciones, la serie converge en x = 1.Para x = 5
$$\sum_{n\ =\ 1}^\infty \frac{(5 - 3)^n}{2^n n} = \sum_{n\ =\ 1}^\infty \frac{(2)^n}{2^n n} = \sum_{n\ =\ 1}^\infty \frac{1}{n} =$$$$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots$$
La cual es, una serie divergente en x = 5.
Por lo que su intervalo de convergencia final es: [1, 5)
Y su radio de convergencia es la mitad de la longitud de su intervalo de covergencia:
$$R = \frac{5 - 1}{2} = 2$$
$\star$ Una serie de potencias define una función
Una serie de potencias define una función $f(x) = \sum_{n\ =\ 0}^\infty C_n (x - x_0)^n$ cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie.
Si el radio de convergencia es $R > 0$, entonces $f$ es continua, derivable e integrable en el intervalo $(a - R, a + R)$. Además, $f '(x)$ y $\int f(x)dx$ se encuentran derivando e integrando término a término. La convergencia en un extremo se podría perder por derivación o ganar por integración.
Si $y = \sum_{n\ =\ 0}^\infty C_n x^n$ es una serie de potencias en x, entonces las primeras dos derivadas son
$$y' = \sum_{n\ =\ 0}^\infty n x^{n\ -\ 1} \qquad y \qquad y'' = \sum_{n\ =\ 0}^\infty n(n - 1)x^{n\ -\ 2}$$ Se puede observar que el primer término en la primera derivada y los dos primeros términos de la segunda derivada son cero. Se omiten estos términos cero y se escriben ahora como
$$\color {red}{y' = \sum_{n\ =\ 1}^\infty n x^{n\ -\ 1} } \qquad y \qquad \color {red}{y'' = \sum_{n\ =\ 2}^\infty n(n - 1)x^{n\ -\ 2}}$$
CORRIMIENTO DEL ÍNDICE DE LA SUMA Debido a que en este tema nos encontraremos con la suma de dos o mas series de potencias expresadas en notación de suma (sigma: $\sum$) y será necesario expresarlas en una sola $\sum$, será necesario modificar el índice de esta nueva sigma como lo veremos en el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 3 Re escribe la serie de potencias de modo que en su término general tenga $x^k$
$$\sum_{n =\ 1}^\infty 2nC_nx^{n + 2}$$
SOLUCIÓN 3
Como queremos que $x^{n + 2}$ sea ahora $x^k$. Como se puede ver que ahora la potencia depende de $k$ y no $n$, y sera necesario poner todas las $n's$ en función de $k$. esto es $k = n + 2$ o $n = k - 2$. Hagamos la sustitución pues:
$$\sum_{n \ \textbf = \ 1}^\infty 2nC_nx^{n + 2}$$$$\sum_{k\ \textbf -\ 2 =\ 1}^\infty 2(k - 2)C_{k - 2}x^k$$$$\boxed {\qquad \sum_{k\ \textbf =\ 3}^\infty 2(k\ \textbf - 2)C_{k\ \textbf - \ 2}x^k \qquad }$$
EJEMPLO 4 Escribe $$\sum_{n\ \textbf = \ 2}^\infty n(n - 1) C_n x^{n\ \textbf - \ 2}\ +\ \sum_{n\ \textbf = \ 0}^\infty C_n x^{n\ \textbf + \ 1} $$
Como una sola serie de potencias cuyo término general implique a $x^k$
SOLUCIÓN 4
Por supuesto que no podremos hacer nada hasta que ambas sumatorias tengan el mismo índice y la misma potencia de $x$.
- Empezamos checando la potencia de $x$ de cada serie ($\sum$).
Cuando empieza la primer serie con $n\ =\ 2$, la potencia de $x$ es $n - 2 =2 - 2 = 0$, Y cuando empieza la potencia de la segunda serie es $n + 1 = 0 + 1= 1$ - Como los exponentes no son iguales, se tienen que igualar al iniciar ambas series, y ¿cómo se hace esto?. Si no se tienen los exponentes de $x$ iguales, siempre habrá uno mayor y este se toma de referencia para que todos empiecen en esa potencia, Veamos en este ejemplo. la potencia mayor es 1
$$\sum_{n\ \textbf = \ 2}^\infty n(n - 1) C_n x^{n\ \textbf - \ 2}\ = 2(2 - 1)C_2x^{2\ \textbf - \ 2} + \sum_{n\ \textbf = \ 3}^\infty n(n - 1) C_n x^{n\ \textbf - \ 2}\ =$$$$= 2C_2 + \sum_{n\ \textbf = \ 3}^\infty n(n - 1) C_n x^{n\ \textbf - \ 2}$$
Si observamos, ya las potencias empiezan en 1 ahora hay que hacer un corrimiento en el índice
k = n - 2 k = n + 1 n = k + 2 n = k - 1
En cada sumatoria, en la parte de abajo de la $x$ esta la sustitución que se hará para cada $n$ de cada sumatoria. Es importante notar que cada sumatoria tiene su sustitución por lo que no hay que mezclarlas. Ahora, ponemos a todas las n en función de k:
$$ = 2C_2 + \sum_{k + 2\ \textbf = \ 3}^\infty (k + 2)(k + 2 - 1) C_{k + 2} x^k\ +\ \sum_{k \textbf - 1\ \textbf = \ 0}^\infty C_{k - 1} x^k $$
$$ \boxed {\qquad \sum_{n\ \textbf = \ 2}^\infty n(n - 1) C_n x^{n\ \textbf - \ 2}\ +\ \sum_{n\ \textbf = \ 0}^\infty C_n x^{n\ \textbf + \ 1} = \color {blue} {2C_2 + \sum_{k \ \textbf = \ 1}^\infty [(k + 2)(k + 1) C_{k + 2} x^k\ +\ C_{k - 1}] x^k} \qquad } $$
Profe denos el examen para llevar
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