Movimiento sobre una curva

Si una partícula o cuerpo se mueve a lo largo de la curva C de manera que su posición en el tiempo t  está dada por la función de valores vectoriales

$$\textbf r (t) = f(t)\hat {\textbf i} \ + \ g(t)\hat {\textbf j} \ + \ h(t)\hat {\textbf k} $$Se puede describir la velocidad y la aceleración de la partícula en términos de  $\textbf r (t)$
$$\textbf v (t) = \textbf r '(t) = f'(t)\hat {\textbf i} \ + \ g'(t)\hat {\textbf j} \ + \ h'(t)\hat {\textbf k} \qquad \qquad (1)$$$$\textbf a (t) = \textbf r ''(t) = f''(t)\hat {\textbf i} \ + \ g''(t)\hat {\textbf j} \ + \ h''(t)\hat {\textbf k} \qquad \qquad (2)$$Las cuales se denominan la velocidad y la aceleración  de la partícula, respectivamente.  La función escalar
$$|\textbf v (t) | = | \textbf r '(t) | =  \sqrt{ [ f'(t) ]^2 \ + \ [ g'(t) ]^2 \ + \ [ h'(t) ]^2 } \qquad (3)$$es la rapidez de la partícula. 
Observamos que si una curva C es trazada por una función de valores vectoriales suave  $\textbf r (t)$,  entonces su longitud entre el punto inicial en $t = a$  y el punto terminal en $t = b$ está dada por  $L = \int_{a}^{b} | \textbf r '(t) | dt$,  esto es lo mismo que

$$L = \int_{a}^{b} | \textbf v (t) | dt \qquad \qquad (4)$$

EJEMPLO 1    La posición de una partícula en movimiento está dada por  $\textbf r (t) = t^2 \hat {\textbf i} \ + \ t \hat {\textbf j} \ + \ \frac{5}{2} t \hat {\textbf k} $  Grafica la curva C definida por $\textbf r (t)$  y los vectores  $\textbf v (2)$  y   $\textbf a (2)$.

SOLUCIÓN 1   Puesto que $x = t^2$,  $y =  t$,   la trayectoria de la partícula está por arriba de la parábola $x = y^2$ que está en el plano $xy$.
Para ubicar el punto P donde se graficarán los vectores, se consigue evaluando
$$\textbf r (2) = (2)^2 \hat {\textbf i} \ + \ (2) \hat {\textbf j} \ + \ \frac{5}{2} (2) \hat {\textbf k}  =  4 \hat {\textbf i} \ + \ 2 \hat {\textbf j} \ + \  5 \hat {\textbf k}$$Así que el punto es P(4, 2, 5) sobre C. ahora 
$$\textbf v (t) =  \textbf r '(t)  =  2t \hat {\textbf i} \ + \ \hat {\textbf j} \ + \ \frac{5}{2} \hat {\textbf k} $$$$\boxed{\ \ \textbf v (2) =  4 \hat {\textbf i} \ + \ \hat {\textbf j} \ + \ \frac{5}{2} \hat {\textbf k} \ \  } $$$$\textbf a (t) =  \textbf r ''(t)  =  2 \hat {\textbf i} $$$$\boxed {\  \ \textbf a (2) =  2 \hat {\textbf i}\ \  }  $$
Ver la figura 1 para ver la ubicación de estos vectores.

Fig. 1.  Vectores de velocidad y aceleración del problema 1

PROBLEMA 2     Sea la función vectorial  $\textbf r (t)  =  2 cos\ t \hat {\textbf i}\ +\ 2 sen\ t \hat {\textbf j}\ +\ 3 \hat {\textbf k}$   el vector de posición de una partícula.  Grafica los vectores de velocidad y aceleración en $t  =  \pi / 4$

SOLUCIÓN 2     Primeramente identificaremos la curva generada por la función vectorial $\textbf r (t)$.
Sabemos de la función vectorial que sus ecuaciones paramétricas son
$$x = 2 cos\ t, \qquad y = 2 sen\ t, \qquad z = 3$$ de las dos primeras tenemos que
$$x^2 + y^2 = 4$$ que combinada con $z = 3$ tendremos las siguiente gráfica, figura 2

Fig. 2.  Vectores velocidad y aceleración del ejemplo 2

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Movimiento curvilíneo en un plano    Una de las aplicaciones más importantes de las funciones vectoriales ocurre en la descripción del movimiento curvilíneo en un plano.
Al analizar el movimiento de proyectiles balísticos de corto alcance (ver figura 3), se empieza con la aceleración de la gravedad escrita en forma vectorial
$$\textbf a (t)  =  - g\hat {\textbf j}$$

Fig 3 Proyectil balístico

Como se observa en la figura 2, se lanza un proyectil con una velocidad inicial $\textbf v _{0}  =  v_{0} cos\ \theta \hat {\textbf i} \ +\ v_{0} sen\ \theta \hat {\textbf j }$, desde una altura inicial   $\textbf s _{0} = s_{0} \hat {\textbf j} $,  entonces tendremos
$$\textbf v (t) = \int (- g\  \hat {\textbf j} )dt =  - gt\ \hat {\textbf j}  +  \textbf C _{1} \qquad \qquad (5) $$Ahora aplicamos las condiciones iniciales a esta ecuación que son: $\textbf v _{0}  =  v_{0} cos\ \theta \hat {\textbf i} \ +\ v_{0} sen\ \theta \hat {\textbf j }$
$$\textbf v(0)  =  v_{0} cos\ \theta \hat {\textbf i} \ +\ v_{0} sen\ \theta \hat {\textbf j } =  - g(0)\ \hat {\textbf j}  +  \textbf C _{1}$$ Esto es
$$\textbf C _{1}   =  v_{0} cos\ \theta \hat {\textbf i} \ +\ v_{0} sen\ \theta \hat {\textbf j } $$Y si sustituimos este resultado en (5) tendremos
$$\textbf v (t) = \int (- g\  \hat {\textbf j} )dt =  - gt\ \hat {\textbf j}  +  v_{0} cos\ \theta \hat {\textbf i} \ +\ v_{0} sen\ \theta \hat {\textbf j }$$$$\textbf v (t) = \int (- g\  \hat {\textbf j} )dt =   v_{0} cos\ \theta \hat {\textbf i} \ +\ ( -gt  +  v_{0} sen\ \theta ) \hat {\textbf j }$$Integrando nuevamente, considerando que $\textbf r (0)  =  \textbf  s _{0}$ tendremos
$$\textbf r (t)  =  (v_{0} cos\ \theta)t \hat {\textbf i}  +  \Big[ - \frac{1}{2} g t^2  +  (v_{0} sen\ \theta)t  + s_{0}  \Big] \hat {\textbf j}$$

PROBLEMA 3    Un obús es lanzado desde el nivel del suelo con una rapidez inicial de 768 pies/s a un ángulo de elevación de 30°. Encuentra
a) la función vectorial y las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del obús,
b) la altura máxima alcanzada,
c) el alcance del obús y
d) la rapidez en el impacto.


TAREA 1  (para el martes 5 de septiembre)

1.   Encuentra el punto inicial del vector $\vec{P_{1}P_{2}}  = 4 \hat {\textbf i}  +  8 \hat {\textbf j}$  si su punto inicial es ( -3,  10).

2.    Determina cual de los siguiente vectores son paralelos a  $\textbf a = 4 \hat {\textbf i}  +  6 \hat {\textbf j}$:
a)   $\textbf b = - 4 \hat {\textbf i}  -  6 \hat {\textbf j}$
b)   $\textbf c =  - \hat {\textbf i}  -  \frac{3}{2} \hat {\textbf j}$
c)   $\textbf d =  10 \hat {\textbf i}  +  15 \hat {\textbf j}$
d)   $\textbf f = 2( \hat {\textbf i}  -   \hat {\textbf j}) - 3( \frac{1}{2}\hat {\textbf i}  -  \frac{5}{12} \hat {\textbf j})$

En los siguientes problemas,  $\textbf a$  X  $\textbf b  =  4 \hat {\textbf i}   -  3 \hat {\textbf j} +  6 \hat {\textbf k}$   y   $  \textbf c =  2 \hat {\textbf i}   +  4 \hat {\textbf j}  -  \hat {\textbf k}$.  Encuentra el vector o escalar indicado

3.   $\textbf a$ X ($3\textbf b$)

4.   $\textbf b$ X $\textbf a$

5.   ($ \textbf {-a}$) X $\textbf b$

6.   $|\textbf a$ X $\textbf b|$

7.   $(\textbf a$ X $\textbf b)$ X $\textbf c$

8.   $(\textbf a$ X $\textbf b \cdot\textbf c$

9.   $\textbf a \cdot (\textbf b$ X $\textbf c)$

10.  $(4\textbf a ) \cdot (\textbf b$ X $\textbf c )$

Encuentra la ecuación vectorial para la recta con los siguientes datos.

11.   (4, 6, -7),   $\textbf v  = \langle 3,  \frac{1}{2},  - frac{3}{2}\rangle$

12.   (0, 0, 0)  ,  $\textbf =  5 \hat {\textbf i}  +   9\hat {\textbf j}  +  4 \hat {\textbf k}$

13.   $\Big(\frac{1}{2},  - frac{1}{2},  1\Big) $,   $\Big( - \frac{3}{2},  \frac{5}{2},  - \frac{1}{2} \Big)$

Encuentra las ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por los puntos indicados

14.   (1, 0, 0),  (3, - 2, - 7)

15.   $\Big( 4,  \frac{1}{2},  \frac{1}{3} \Big)$,   $\Big(- 6,  - \frac{1}{4}, \frac{1}{6}  \Big)$

16.   Encuentra las ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por (6, 4, -2)   y es paralela a la recta  $\frac{x}{2} = \frac{1  -  y}{3}  =  \frac{z-5}{6}$

17.    Dadas que las rectas $L_{1}$   y   $L_{2}$  definidas por las ecuaciones paramétericas

$L{1}:\qquad x = 3  +  2t,\ \ y = 4 - t, \ \ z = - 1  +  6t$

$L{2}:\qquad x = 5  -  s,\ \ y = 3  +  \frac{1}{2} s, \ \ z = 5  -  3s$

son iguales 

a)   Encuentra un valor de t  tal que  (- 7,  9,  -31)  sea un punto sobre $L_{1}$   y

b)   Encuentra un valor de s  tal que   (- 7,  9,  -31)   sea un punto sobre $L_{2}$

Grafica la curva trazada por la función vectorial que se indica

18.   $\textbf r (t) = 2sen\ t \hat {\textbf i} +4 cos\ t \hat {\textbf j} + t \hat {\textbf k}, \quad t \geq 0$ 

19.   $\textbf r (t) =  t \hat {\textbf i} +  2t \hat {\textbf j} + cos\ t \hat {\textbf k}, \quad t \geq 0$ 

20.    $\textbf r (t) =  \langle e^t,   e^{2t}\rangle, \quad t \geq 0$

21.   Encuentra una ecuación del plano que contenga   $(\frac{1}{2},  \frac{3}{4},  -\frac{1}{2})$  y sea perpendicular a  $6 \hat{\textbf i} +  8 \hat{\textbf j}  -  4\hat{\textbf k}$

Encuentra la ecuación del plano que satisfaga las condiciones indicadas

22.  Contiene a  (2,  3,  - 5)  y es paralelo a  $x  +  y  - 4z = 1$

23.  Contiene a  (-7,  -5,  18)  y es perpendicular al eje $y$ 

24.  Contiene  a las rectas  $x = 1 + 3t, \ \ y = 1 - t, \ \  z = 2 + t$;   $x = 4  + 4s, \ \ y = 2s, \ \ z = 3 + s$

25.   Contiene a (2, 4, 8)  y es perpendicular a la recta $x = 10 - 3t,  y = 5 + t,  z = 6 - \frac{1}{2}t$

26.   Contiene a (1, 1, 1)  y es perpendicular a la recta que pasa por (2,  6,  -3)  y  (1, 0,  -2) 

27.    Calcula la rapidez de boca (máxima rapidez inicial) de un cañón cuyo alcance máximo es de 24.5 km.

28.   Un proyectil se dispara con una rapidez inicial de 500 m/s con un ángulo de elevación de 45°a)   ¿Cuándo y qué tan lejos tocará tierra el proyectil?b)   ¿A qué altura estará el proyectil cuando se encuentre a una distancia horizontal de 5 km?

c)   ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por el proyectil?

29.   Una máquina que lanza pelotas de golf, dispara al nivel del suelo una pelota con un ángulo de 45°.  La pelota toca tierra a 10 m de distancia.

a)   ¿Cuál fue la rapidez inicial de la pelota?

b)   Para la misma rapidez inicial, obtenga los dos ángulos de lanzamiento para los cuales el alcance sea de 6 m.

30.    Un electrón en un cinescopio de TV es lanzado horizontalmente con una rapidez de $5$ x $10^6 m/s hacia la parte delantera del tubo a 40 cm de distancia. Aproximadamente ¿ a qué distancia caerá el electrón antes de que choque?

31.    ¿Cuáles son los dos ángulos de elevación que harán que un proyectil alcance un objetivo a 16 km de distancia al mismo nivel del arma si la velocidad inicial del proyectil es de 400 m/s?